材料內阻對旋轉復合材料軸動力學穩定性的影響研究

任勇生， 時玉艷， 張玉環

(山東科技大學 機械電子工程學院，山東 青島 266590)

材料內阻對旋轉復合材料軸動力學穩定性的影響研究

任勇生， 時玉艷， 張玉環

(山東科技大學 機械電子工程學院，山東 青島 266590)

由于復合材料與金屬材料相比，具有更為突出的阻尼耗散能力，超臨界旋轉復合材料軸在材料內阻的作用下更容易產生不穩定自激振動。從復合材料本構關系、應變-位移關系基本方程出發，基于Bernoulli-Euler梁理論，并考慮復合材料的黏彈性阻尼耗散特性，在導出旋轉復合材料軸的動能、勢能和內阻耗散能的基礎上，采用Hamilton原理建立了轉子系統的運動微分方程，采用Galerkin法對復數形式的彎曲方程進行求解，導出轉子系統的特征方程。通過數值分析得到固有頻率-轉速曲線和阻尼-轉速曲線，求得了臨界轉速和失穩閾。研究了鋪層角、長徑比和鋪層方式的影響。模型結果的正確性，通過與文獻結果對比，得到了驗證。

復合材料軸;內阻;振動穩定性

將高性能先進復合材料用于航空、汽車、船舶傳動軸系統的結構設計，不僅能帶來明顯的輕量化效果，增加有效載荷重量，提高載運工具的效率，同時也可以借助于復合材料比剛度、比強度高的特點，采用一根直徑更短、跨度更長的復合材料傳動軸取代兩根組裝在一起的金屬傳動軸，以解決汽車傳動軸系結構復雜的問題。特別是，采用復合材料的鋪層設計可獲得更高的臨界轉速，從而提高傳動軸的能效和傳動功能。然而，由于復合材料具有比金屬材料更強的阻尼耗散能力[1]，當轉速大于臨界轉速時，轉子系統在材料內阻的影響下，往往會出現不穩定的渦動現象，并引發嚴重的后果。因此，超臨界轉速下的內阻失穩問題，是復合材料軸轉子系統的研究與設計中應該著重考慮的問題。

迄今為止，絕大多數的有關材料內阻對轉子系統穩定性影響的研究僅限于旋轉金屬軸[2-6]。研究表明，當轉速超過第一階臨界轉速時，材料內阻(或稱為旋轉阻尼)將會引發轉子渦動，即轉子系統運動失去穩定性。近年來，隨著高速復合材料轉子動力學研究的發展，考慮復合材料內阻的轉子系統動力學分析以及材料內阻的失穩預報，已經開始受到關注。Singh等[7]采用分層梁理論提出了一個具有內阻的復合材料轉子的動力學分析模型。Kim等[8]研究錐形復合材料懸臂軸的受迫振動與穩定性問題。Montagnier等[9]研究位于黏彈性支承上的復合材料軸的超臨界動力學特性。然而，上述這些研究大多采用人為給定的等效黏性阻尼系數來表示材料的內阻。Sino等[10]基于簡化的均勻梁有限元模型(SHBT)，研究帶有剛盤和彈性支承的旋轉復合材料軸的動力學特性，其中采用黏彈性復合材料復本構關系描述內阻特性。

復合材料軸的內阻一般來源于材料內部能量的耗散。Saravanos等[11]提出了一個預測各向異性復合材料空心梁模態阻尼的有限元模型，但它僅適用于非旋轉的復合材料梁或者葉片。Ren等[12]基于變分漸進(variational asymptotical approach)復合材料薄壁梁理論建立復合材料軸轉子系統的動力學模型，其中采用單層-截面-軸多尺度方法對復合材料內阻進行建模。

本文基于Bernoulli-Euler梁理論，提出一個考慮復合材料內阻的轉子動力學模型。從復合材料應力-應變和應變-位移基本方程出發，并且考慮復合材料的黏彈性阻尼耗散特性，在導出復合材料軸的應變能、動能和阻尼耗散能的基礎上，采用Hamilton原理導出運動方程。建模過程對復合材料軸的壁厚(薄壁或厚壁)不加任何限制。為了研究旋轉復合材料軸的彎曲振動與穩定性，本文采用復數坐標表示并借助于Galerkin法，對彎曲振動方程進行求解。在導出轉子系統的復特征方程的基礎上，通過數值計算獲得了復合材料軸的固有頻率和阻尼隨轉速的變化曲線，揭示了纖維鋪層角、鋪層方式和長徑比對臨界轉速和失穩閾的影響規律。本文分析模型的正確性通過與文獻結果的對比，得到了驗證。

1 理論模型

為了建立如圖1所示，轉速為Ω,長度L的旋轉復合材料軸的運動微分方程，采用Hamilton原理

(1)

式中:δT和δU分別表示動能和勢能的變分;δW表示復

圖1 旋轉復合材料軸結構示意圖Fig.1 Schematic of the rotating composite shaft

合材料軸由于黏彈性阻尼產生的耗散應變能。

應力-應變方程為

(2)

應變-位移方程為

(3)

式中:ux表示中性軸沿x軸方向的位移;kxz和kxy分別表示軸在z和y方向的曲率;φ表示橫截面繞x軸的扭轉角。

復合材料軸的應變能

(4)

式中:軸向力Nx;彎矩My;Mz和扭矩Mxα分別表示如下

(5)

其中

(6)

根據Bernoulli-Euler梁理論

(7)

式中:ψz和ψy分別表示橫截面繞y和z軸的轉角;uy和uz分別表示中性軸沿y和z軸方向的位移。

將式(7)中前兩式代入(5)中第2、3式，有

(8)

復合材料軸的動能

(9)

其中

(10)

式中，“·”表示對時間t求導，ρk為復合材料單層的密度。

由式(4)和式(7)，應變能變分δU導出如下

(11)

動能的變分為

(12)

復合材料阻尼耗散力的虛功

(13)

(14)

經過與式(11)類似的推導，可得

(15)

(16)

其中

(17)

將式(11)、(12)和(15)代入方程(1)，得

(18)

可以看到，方程(18)中的第2和第3個方程組成彎-彎耦合方程，第1和第4個方程組成拉-扭耦合方程，這兩組方程之間是相互獨立的。

由彎-彎耦合方程，并借助于式(5)和(16)，可以導出位移表示的彎曲振動方程

(19)

(20)

(21)

設方程(21)滿足簡支邊界條件的解，具有形式

(22)

式中:λn=ωn+idn(n=1,2，…)為復特征值，實部ωn和虛部dn分別為固有圓頻率和模態阻尼。顯然，如果虛部dn大于0，則轉子系統是穩定的，否則系統是不穩定的。

將式(22)代入式(21)，采用Galerkin法進行化簡，得下列復特征方程

(23)

2 數值結果與分析

2.1 模型驗證

采用本文模型和計算方法，得到圓形空心復合材料懸臂梁的固有頻率和模態阻尼數值結果，如表1所示。將這些結果與文獻[11]的有限元模型結果進行了比較，可以發現固有頻率的計算結果比較接近，但模態阻尼存在一定的差異，這可能是由于本文的彎曲振動模型不涉及拉-彎耦合剛度的緣故。

表1空心圓截面復合材料懸臂梁的固有頻率和模態阻尼

Tab.1Naturalfrequencyanddampingofvariouscantileverlaminatedtubularcircularbeams

鋪層方式模態固有頻率/Hz耗散因子/%文獻[11]本文文獻[11]本文[0°8]s一階拍打3.23.330.661.08一階揮舞3.23.330.661.08[90°8]s一階拍打1.91.922.352.28一階揮舞1.91.922.352.28[0°2/90°2/45°2/-45°2]s一階拍打2.42.551.441.68一階揮舞2.42.551.441.68[45°/-45°]8一階拍打2.02.392.451.91一階揮舞2.02.392.451.91

表2給出采用本文模型預測得到的一個旋轉復合材料軸的臨界轉速，同時也列出來自其它文獻的計算結果。該復合材料軸由硼/環氧層合材料制成，鋪層方式[90°/45°/-45°/0°6/90°]，長度2.47 m，平均直徑和厚度分別為12.69 cm和1.321 mm[13]。由表2可知，本文結果與采用等效模量梁理論(EMBT)得到的結果[16]是相近的。

表2 復合材料軸轉子系統的臨界轉速Tab.2 The critical speed of composite shaft rotor

2.2 轉速對固有頻率和阻尼的影響分析

為了研究旋轉復合材料軸的固有頻率和阻尼隨轉速的變化規律，確定臨界轉速和失穩閾，下面的數值算例取復合材料軸的平均半徑為0.176 m，厚度0.010 16 m，采用角鋪設[±θ]8的層合方式，長度L根據長徑比確定。復合材料力學參數如表3所示。

表3 材料力學特性[11]Tab.3 Mechanical properties of material[11]

圖2和圖3分別表示長徑比18的旋轉復合材料軸的第一階固有頻率和阻尼隨轉速的變化曲線，其中也顯示出鋪層角θ分別取0°，30°和60°的影響。

圖2 不同鋪層角復合材料軸第一階固有頻率隨轉速變化曲線(L/d=18)

Fig.2 First natural frequencies versus rotating speed for different ply angle (L/d=18)

圖3 不同鋪層角復合材料軸第一階阻尼隨轉速變化曲線(L/d=18)

Fig.3 First dampings versus rotating speed for different ply angle (L/d=18)

由圖2可以看到，轉速為0時，固有頻率隨著鋪層角的減小而增加，因此，臨界轉速也隨著鋪層角的減小而增加。這是由于沿纖維縱向的彈性模量E11明顯大于沿橫向的彈性模量E22(見表3)。所以，鋪層角越小，則軸的彎曲剛度D11越大，固有頻率和臨界轉速也越大。

由圖3看到，阻尼-轉速曲線上分支的阻尼值在整個轉速范圍內始終保持為正值，這說明轉子系統的正進動渦動是穩定的。而阻尼-轉速曲線下分支的阻尼值，在一定的轉速范圍內為正的，隨著轉速的增加并且一旦超過某個界限，就開始由正變為負，這意味著轉子系統喪失穩定性。阻尼為0的轉速，就是轉子系統的失穩閾。

此外，由圖3還可以看到，失穩閾隨著鋪層角的增加而減小。這是因為失穩閾的大小與復合材料內阻的大小成反比。既然纖維橫向的阻尼能力要遠高于纖維縱向的阻尼能力(見表3)，所以，鋪層角越大，即纖維越靠近軸的橫向鋪設，沿此方向上內阻也越大，因此，產生失穩的轉速也就越小，即轉子系統也越容易發生失穩。

2.3 長徑比、鋪層角和鋪層方式對臨界轉速和失穩閾的影響分析

表4給出對應于三種不同的長徑比的、具有鋪層方式[0°]16、[±30°]8和[±60°]8的轉子系統的臨界轉速和失穩閾的計算結果。由表2可知，臨界轉速和失穩閾隨著長徑比的增加而減小，說明在其它條件相同的情況下，長度較長的軸相對更容易失穩。上述結論與文獻[10]的結論是一致的。由表4也可以看到，第一階臨界轉速與失穩閾相同，說明轉子系統一旦超過臨界轉速進入超臨界范圍，就會產生不穩定現象。

表4 長徑比對臨界轉速和失穩閾的影響Tab.4 Effect of length aspect ratio on critical speed and instability threshold

表5的結果表明，鋪層中含0°鋪層角的單層越多，則失穩閾越大，轉子系統越不容易產生材料內阻失穩。事實上，鋪層方式對穩定性的影響是每個單層影響效果的綜合體現。單層的影響包括鋪層角以及單層在疊層中的位置。如果單層的鋪層角不變，僅改變它在疊層中的位置，失穩閾也同樣會發生變化，例如，在鋪層方式(5)和(6)中的鋪層角為90°、45°和0°單層的數目是相同的，它們分別為5,2和9，但這些單層在疊層中相對位置的變化，也會導致失穩閾變化。

表5 鋪層方式對失穩閾的影響(L/d=30)Tab.5 Effect of stacking sequence on instability threshold(L/d=30)

由此看來，在穩定性設計中，可以利用鋪層方式作為參數，對復合材料轉子系統的動力學特性進行優化，從而最大限度地提高系統在超臨界旋轉下的運行穩定性。

3 結 論

本文基于復合材料的應力-應變關系、應變-位移關系、Bernoulli-Euler梁理論和Hamilton原理，建立具有內阻的旋轉復合材料軸的動力學方程。模型從單層復合材料的黏彈性阻尼耗散特性出發，引入復合材料內阻的影響。采用復數坐標表示旋轉復合材料軸的彎曲振動方程，基于Galerkin法得到系統的復特征方程并進行求解。本文模型能夠用于揭示旋轉復合材料軸的固有振動特性和阻尼特性隨轉速的變化規律，預測轉子系統的臨界轉速和失穩閾，評價纖維鋪層角、鋪層方式和長徑比的影響效果。主要研究結論如下：

(1)材料的內阻耗散特性是導致旋轉復合材料軸在超臨界狀態下產生動力不穩定的根本原因，對臨界轉速和失穩閾能夠產生影響的主要因素包括纖維鋪層角、鋪層方式和長徑比。

(2)臨界轉速和失穩閾隨著鋪層角的增加而減小，同時也隨著長徑比的增加而減小。

(3)鋪層方式能夠影響復合材料軸的彎曲剛度和彎曲阻尼，從而影響轉子系統臨界轉速和失穩閾，在本文給出的所有鋪層方式中，[±60°]8對應的彎曲剛度系數最小，彎曲阻尼系數最大，失穩閾最小，因此，最容易發生失穩，所以，最不適合在超臨界范圍內應用。

(4)由于旋轉復合材料軸的穩定性對鋪層方式的高度敏感性，可取鋪層方式作為參數，對轉子系統的穩定性進行優化設計，以便能夠極大地提高轉子系統在超臨界旋轉下的運行穩定性。

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Effectsofinternaldampingondynamicstabilityofarotatingcompositeshaft

REN Yongsheng, SHI Yuyan, ZHANG Yuhuan

(College of Mechanical and Electronic Engineering, Shandong University of Science and Technology, Qindao 266510, China)

As composite material has a higher damping capacity than metallic materials, a supercritical rotating composite shaft under the action of material’s internal damping is easier to have an unstable self-excited vibration. Here, based on the basic equations for constitutive relations and strain-displacement relations of composite material, the kinetic energy, the potential energy, and the internal damping dissipative energy of the rotor system including the rotating composite shaft were derived with Bernoulli-Euler beam theory and considering dissipative characteristics of viscoelastic damping. The rotor system’s equations of motion were deduced using Hamilton principle. Galerkin method was used to solve the rotor system’s equations of motion in complex coordinates to derive the characteristic equations of the rotor system. The rotor system’s natural frequency versus rotating speed curve and damping versus rotating speed curve were obtained through numerical analysis. From these curves,the critical rotating speed and instability threshold of the system were gained. The effects of ply angle, stacking sequences, and ratio of length to outer radius on the system’s critical rotating speed and instability threshold were analyzed .The correctness of the dynamic model built here for the rotor system was verified by comparing the calculated results of critical speedand damping of the rotor system with those available in literatures.

rotating composite shaft; internal damping; dynamic stability

國家自然科學基金(11272190;11672166)

2016-10-24 修改稿收到日期：2017-02-10

任勇生 男，博士，教授，1956年生

TB33

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.027