非高斯脈動風壓的非迭代模擬算法

李錦華, 李春祥, 蔣 磊, 鄧 瑩

(1.華東交通大學 土木建筑學院，南昌 330013; 2.上海大學 土木工程系,上海 200444)

非高斯脈動風壓的非迭代模擬算法

李錦華1, 李春祥2, 蔣 磊2, 鄧 瑩2

(1.華東交通大學 土木建筑學院，南昌 330013; 2.上海大學 土木工程系,上海 200444)

建立了無需反復迭代的非高斯隨機過程模擬算法，避免了反復迭代可能出現不收斂的問題?；诜蔷€性平移過程，詳細分析了潛在高斯隨機過程與非高斯隨機過程的轉換關系。通過反證法證明了非高斯隨機過程的目標功率譜與邊緣概率分布函數需要協調一致，并建立了判斷非高斯目標功率譜與邊緣概率分布函數是否協調的標準，即潛在高斯目標功率譜是否出現負值。對于目標函數不協調的情況提出了相應的修正方案，建立了模擬單變量非高斯隨機過程的非迭代算法。采用該算法對不同斜度的非高斯脈動風壓進行了數值模擬分析，并通過相關函數、功率譜、概率密度函數與目標函數的對比驗證了該算法的有效性。

高斯；非高斯；隨機過程；脈動風壓；非線性平移；模擬算法

風荷載是重大工程結構的重要設計荷載。在結構風振動分析中，根據假定的風壓譜、概率密度函數和風壓空間相關性等，進行風荷載數值模擬是一個重要的環節。而基于蒙特卡洛Monte-Carlo的隨機模擬技術，使得人工模擬風荷載得到了廣泛的應用[1-2]。迄今，相關模擬研究仍然采用高斯風壓模型的假定。然而，在考慮分離流作用的一些重要區域(如建筑屋蓋邊緣、屋面轉角等)風荷載表現出強烈的非高斯特性[3-4]。風洞試驗表明：位于分離流和漩渦流中的測試點，其風壓均具有明顯的尖峰，這些尖峰使得風壓概率密度函數成偏態分布。相比于高斯風荷載，非高斯風荷載更容易使結構發生疲勞破壞。因此，發展有效的數值算法來模擬具有非高斯特性的風荷載是非常有必要的[5]。非高斯過程的數值模擬可以分為兩類：第一類，根據任意指定的高階特征統計參數(例如斜度與峰度)和目標功率譜模擬產生非高斯過程；第二類，根據任意指定的邊緣概率分布函數和目標功率譜模擬產生非高斯過程。對于第一類非高斯過程的模擬，Seong等[6-8]做了許多研究工作。這些方法都是先模擬生成潛在的高斯過程，然后通過建立的合適非線性轉換關系間接地將潛在的高斯過程轉換成具有目標功率譜、高階特征統計參數的非高斯過程。而第二類則根據指定的邊緣概率密度函數、目標功率譜模擬產生非高斯過程。目前，第二類數值模擬主要采用的是迭代算法。Yamazaki等[9]基于非線性平移理論，采用迭代的譜方法模擬了具有目標功率譜和邊緣概率密度函數的非高斯過程。對于高斜度非高斯過程，這種方法并不能得到精確的邊緣概率密度函數。Deodatis等[10]認為這主要是在迭代過程中潛在的高斯過程已不具有高斯特性的原因，而目標功率譜與目標邊緣概率密度函數的不協調對此影響不大。隨后，許多學者不斷地修正目前基于平移過程的非高斯模擬方法來實現高斜度非高斯過程的模擬。這些方法均需要反復迭代，并且均是進行經驗性的不斷調整，以得到模擬計算獲得的邊緣概率密度函數、功率譜與目標邊緣概率密度函數、功率譜的吻合，但迭代的收斂缺乏必然性依據[11-12]。問題是不一定隨著迭代次數的增加而逐漸逼近目標值。而且，當迭代到一定次數時，反而可能出現發散現象。鑒于此問題，本文基于非線性平移過程，詳細分析潛在的高斯過程與非高斯過程間轉換關系，研究具有普遍適用性的非高斯過程非迭代模擬算法。

1 非線性平移過程

非線性平移過程是將一高斯過程通過非線性轉換平移成非高斯過程。高斯過程可通過譜表示即諧波合成法來獲得。單變量零均值高斯過程可表示為

(1)

對某一高斯過程，通過無記憶非線性平移能使平移后的非高斯過程具有目標概率密度函數特征。該平移過程主要是邊緣概率密度分布函數的映射過程即：

(2)

(3)

(6)

平移后的非高斯過程比例相關函數可表示為:

(7)

|ρY(τ)|≤|ρX(τ)|

(8)

2 目標功率譜與邊緣概率分布函數的協調性

當某一具有目標功率譜SX的高斯過程X,經過非線性平移后可以得到滿足目標邊緣概率分布函數的非高斯過程Y；但非高斯過程目標功率譜SY也將是高斯過程目標功率譜SX的非線性轉化。因此，基于非線性無記憶平移過程模擬獲得具有目標功率譜和邊緣概率分布函數的非高斯過程，需建立平移后非高斯過程目標功率譜SY與平移前高斯過程目標功率譜SX的非線性轉化關系。根據維納-辛欽定理，平穩隨機信號的功率譜與相關函數滿足：

(9)

于是，平移后非高斯過程目標功率譜SY與平移前高斯過程目標功率譜SX的非線性轉化關系可以表示為

(10)

因此，先要確定目標功率譜SY與目標邊緣概率密度分布函數F是否滿足式(10)，并計算出平移前高斯過程的目標功率譜SX。通過式(10)計算出的功率譜SX可能出現非負值或負值。當SX為非負值時，通過非線性平移過程式(2)可模擬出具有目標功率譜SY與目標邊緣概率分布函數F的非高斯過程；當SX出現負值時，其高斯過程是不存在的。因此，當選定的SY與F滿足式(10)，且對應的SX為非負值時，說明SY與F是協調一致的；當選定的SY與F滿足式(10)，而對應的SX出現負值時，說明SY與F是不協調一致的。通過反證法可看出具有SY與F不協調的非高斯過程是否存在。假定存在具有SY與F不協調的一組非高斯隨機序列樣本Yk(k=1,2,…,n)。因此，可將這組非高斯樣本通過非線性無記憶平移生成一組高斯隨機系列樣本Xk(k=1,2,…,n)即：

(11)

于是，根據生成的高斯隨機系列樣本Xk(k=1,2,…,n)可以獲得其功率譜：

(12)

從(12)知高斯隨機系列樣本Xk(k=1,2,…,n)的功率譜SX為非負值，這與假定SY與F不協調即選定的SY與F滿足式(10)且對應的SX出現負值是相矛盾的。因此，非高斯過程不存在。

3 目標函數的修正

假定非高斯目標功率譜為

(13)

目標邊緣概率分布函數為對數分布函數即：

(14)

設置對數分布函數F1的參數(μL,σL)=(2.33,0.2)，F2的參數(μL,σL)=(1.55,0.4)和F3的參數(μL,σL)=(0.49,0.8)三種情況。三組對數分布函數與非高斯目標功率譜均滿足式(10)，高斯過程比例相關函數與非高斯過程比例相關函數的對應關系如圖1所示。從該圖可看出|ρY(τ)|≤|ρX(τ)|，隨著非高斯斜度增大即非高斯強度增大，非高斯比例相關函數的絕對值逐漸變小。雖然目標分布函數與非高斯目標功率譜滿足式(10)，但還需判斷高斯目標功率譜是否會出現負值。圖2給出了對應于目標非高斯功率譜函數的三條潛在高斯目標功率譜。從圖看出，三條潛在高斯目標功率譜均出現負值，即非高斯指定的目標功率譜與目標對數分布函數F1、F2和F2均不協調。隨著非高斯強度增大，高斯功率譜出現負值部分增多，目標函數協調性也越差。因此，可解釋Yamazaki等[9]方法模擬高斜度非高斯較差的原因。

圖1 高斯過程與非高斯過程比例相關函數的轉換關系

Fig.1 Transform relationship of proportional correlation functions between underlying Gaussian and non-Gaussian process

Yamazaki和Shinozuka的方法沒有考慮目標函數的協調性，假定非高斯目標功率譜為潛在高斯目標功率譜，然后基于假定的潛在高斯目標功率譜產生高斯過程，最后經過非線性平移和反復迭代模擬出高斜度非高斯過程。當指定的非高斯目標功率譜與目標邊緣概率分布函數具有協調性時，通過反復迭代可找到潛在高斯過程的目標功率譜，以模擬出高斜度非高斯過程。即該方法是通過反復迭代尋找潛在高斯過程的目標功率譜。當指定的非高斯目標函數不滿足協調性時，基于反復迭代最終找到的潛在高斯功率譜是正值，將生成的潛在高斯過程經過平移產生非高斯過程，其功率譜函數與概率分布函數是協調的，但這只可能近似于不協調的目標函數。這種近似受到目標函數協調性強弱限制。當非高斯目標函數協調性越差，那么這種近似就越差，其實反復迭代方法是不能很好地模擬具有不協調目標函數的高斜度非高斯過程。

因此，非高斯過程模擬時需驗證SY與F的協調性。若SY與F不協調，需對SY或F進行修正，使修正后的目標函數具有協調性。對目標邊緣概率分布函數的修正，通過改變邊緣概率分布函數的參數，使修正后的目標邊緣概率分布函數與非高斯目標功率譜滿足協調性。對非高斯目標功率譜的修正，通過保持目標功率譜的高功率部分不變，將高斯功率譜出現負值部分對應的非高斯目標功率譜的某部分低功率進行修正。

以前述三種情況的非協調目標函數為例，說明非高斯目標功率譜的修正。如圖2(a)，基于不協調非高斯目標功率譜SY與邊緣概率分布函數F1、F2、F3，計算出的高斯功率譜1、2、3在低頻和高頻部分均出現負值。為使高斯功率譜均為非負值，將高斯功率譜出現負值的低、高頻部分對應的非高斯目標功率譜的低功率部分設置為非高斯目標功率譜最大功率的百分之幾來進行修正。如圖2(b)、(c)、(d)所示，非高斯目標功率譜的低、高頻部分低功率分別設置為最大功率的2%、5%和16%。從這三幅圖可看出，低斜度非高斯目標功率譜的修正幅度小于高斜度非高斯目標功率譜的修正幅度。對于高斜度非高斯目標功率譜，這種修正方法仍然能保證高功率部分譜不變，而只是修正低功率部分譜。

圖2 非高斯目標功率譜的修正Fig.2 The modification of the prescribed power spectra of non-Gaussian process

4 數值分析

單變量非高斯過程模擬流程如圖3所示。第一步，指定非高斯過程的目標功率譜函數與目標邊緣概率分布函數。第二步，基于式(10)，計算高斯功率譜是否出現負值，即驗證目標函數是否協調一致。第三步，若目標函數非協調，修正目標功率譜函數或目標邊緣概率分布函數；若目標函數協調，直接進入下一步。第四步，基于非高斯目標函數或修正的目標函數計算出的高斯目標功率譜，模擬高斯過程。第五步，通過無記憶非線性平移，將高斯過程平移生成非高斯過程。顯然，在整個過程中沒有迭代。

以下根據任意給定的目標功率譜和邊緣概率分布函數，采用該方法進行非高斯脈動風壓的第二類數值模擬分析。非高斯脈動風壓的目標功率譜密度函數給定為以下式(15)，指定的目標邊緣概率分布函數分別采用低斜度、中斜度和高斜度的對數分布函數，其參數分別取為(μL,σL)=(4.22,0.3)、(μL,σL)=(3.59,0.5)和(μL,σL)=(2.61,0.9)。

(15)

圖3 單變量非高斯過程第二類模擬流程Fig.3 Flowchart of simulating the univariate non-Gaussian stochastic process

基于非高斯目標功率譜與對數分布函數，低斜度、中斜度和高斜度非高斯與高斯比例相關函數的對應轉換關系如圖4(a)、(b)、(c)所示。低斜度非高斯與高斯比例相關函數非常接近，然而隨著非高斯斜度的增加，非高斯比例相關函數與相應的高斯比例相關函數的偏離程度越明顯。這將導致低斜度、中斜度和高斜度非高斯目標相關函數、功率譜與對應的高斯目標相關函數、功率譜，隨著非高斯斜度的增加，兩者之間的偏離程度逐漸增加，如圖5、6所示。圖5(a)、(b)、(c)分別為低斜度、中斜度和高斜度非高斯目標相關函數與對應的高斯目標相關函數。圖6(a)、(b)、(c)分別為低斜度、中斜度和高斜度非高斯目標功率譜與對應的高斯目標功率譜。此外，圖6中的高斯目標功率譜均為正值，說明非高斯目標功率譜與目標邊緣概率分布函數具有協調性。

圖4 高斯與非高斯過程比例相關函數的轉換關系Fig.4 Transformation between Gaussian and non-Gaussian proportional correlation functions

圖5 非高斯與對應的高斯過程目標相關函數Fig.5 Prescribed non-Gaussian and underlying Gaussian correlation functions

圖6 非高斯與對應的高斯過程目標功率譜Fig.6 Prescribed non-Gaussian and underlying Gaussian power spectral density

圖7 基于高斯目標功率譜生成的潛在高斯過程Fig.7 Simulated underlying Gaussian process based on prescribed Gaussian PSD

圖8 基于潛在高斯過程通過非線性平移模擬的非高斯脈動風壓Fig.8 Simulated non-Gaussian wind pressure based on underlying Gaussian process through memoryless nonlinear translation

基于低斜度、中斜度和高斜度非高斯目標功率譜轉換后的高斯目標功率譜如圖6(a)、(b)、(c)所示，生成的潛在高斯過程分別如圖7(a)、(b)、(c)所示。然后，將生成的潛在高斯過程經過無記憶非線性平移生成了低斜度、中斜度和高斜度的非高斯脈動風壓分別如圖8(a)、(b)、(c)。為了驗證生成的非高斯脈動風壓具有非高斯目標相關函數、功率譜、邊緣概率分布函數。圖9、10分別對模擬的非高斯脈動風壓相關函數、功率譜與目標相關函數進行了對比。模擬的低斜度、中斜度和高斜度非高斯脈動風壓相關函數均與目標相關函數很好地吻合，分別如圖9(a)、(b)、(c)所示。圖10(a)、(b)、(c)分別表明模擬的低斜度、中斜度和高斜度非高斯脈動風壓功率譜均與目標功率譜相吻合。盡管低、中和高斜度非高斯脈動風壓的相關函數、功率譜與目標值很好地吻合，但還是存在小幅波動。這是由于具有各態歷經的潛在高斯過程經過非線性平移后必然導致生成的非高斯脈動風壓不具有各態歷經性。然而，多樣本的平均相關函數、功率譜與目標值隨著樣本數增多而趨于一致，分別如圖9(d)、10(d)所示。圖9(d)、10(d)給出了50組高斜度非高斯脈動風壓的平均相關函數、功率譜與目標值的對比。

圖9 模擬非高斯脈動風壓相關函數與目標相關函數的對比Fig.9 Simulated non-Gaussian wind pressure correlation function with respect to the prescribed one

圖10 模擬非高斯脈動風壓功率譜與目標功率譜的對比Fig.10 Simulated non-Gaussian wind pressure PSD with respect to the prescribed PSD

圖9、10表明了模擬的低斜度、中斜度和高斜度非高斯脈動風壓均具有目標相關函數和目標功率譜。為了進一步驗證模擬的非高斯脈動風壓具有目標非高斯特征，即目標概率密度函數。圖11對模擬的低斜度、中斜度和高斜度非高斯脈動風壓概率密度函數與目標概率密度函數進行了對比。從如11(a)、(b)、(c)中可以分別觀察到低斜度、中斜度和高斜度非高斯脈動風壓均具有目標概率密度函數。因此，該方法能有效性地模擬不同斜度非高斯隨機過程，模擬效果并不受非高斯斜度的影響。

圖11 模擬非高斯脈動風壓概率密度函數與目標概率密度函數的對比Fig.11 Simulated non-Gaussian wind pressure probability density function (PDF) with respect to the prescribed PDF

5 結 論

基于非線性平移過程及對潛在高斯與非高斯過程轉換關系的分析，建立了判斷非高斯目標功率譜與邊緣概率分布函數是否協調的標準，其中將潛在高斯目標功率譜是否出現負值作為判斷協調性的關鍵因素。通過反證法證明了非高斯過程的目標功率譜與邊緣概率分布函數需要協調一致，并針對不協調的目標功率譜與邊緣概率分布函數提出了相應的修正方法。最后，對不同斜度非高斯脈動風壓進行了數值模擬，并通過相關函數、功率譜、概率密度函數與目標值的對比驗證了本文提出的無需反復迭代非高斯過程模擬算法的有效性。

因此，給定目標功率譜和目標邊緣概率分布函數，使用本文提出的非高斯模擬方法，就可以避免迭代運算，因而可以提高計算效率，計算過程穩定。

[1] 李春祥, 劉晨哲, 申建紅, 等. 土木工程下擊暴流風速數值模擬的研究[J]. 振動與沖擊, 2010, 29(12):49-54.

LI Chunxiang, LIU Chenzhe, SHEN Jianhong, et al. Numerical simulations of downburst wind speeds in civil Engineering[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(12):49-54.

[2] 張文福, 謝丹, 劉迎春,等.下擊暴流空間相關性風場模擬[J]. 振動與沖擊, 2013, 32(10):12-16.

ZHANG Wenfu, XIE Dan, LIU Yingchun, et al. Simulation of downburst wind field with spatial correlation[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(10):12-16.

[3] 葉繼紅, 侯信真. 大跨屋蓋脈動風壓的非高斯特性研究[J]. 振動與沖擊, 2010, 29(7):9-15.

YE Jihong, HOU Xinzhen. Non-Gaussian features of fluctuating wind pressures on long span roofs[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(7):9-15.

[4] 羅堯治, 蔡朋程, 孫斌, 等. 國家體育場大跨度屋蓋結構風場實測研究[J]. 振動與沖擊, 2012, 31(3):64-68.

LUO Yaozhi, CAI Pengcheng, SUN Bin, et al. Field measurement of wind characteristics on roof of the national stadium[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(3):64-68.

[5] YANG Qingshan, TIAN Yuji. A model of probability density function of non-Gaussian wind pressure with multiple samples[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 2015, 140: 67-78.

[6] SEONG S H, PETERKA J A. Digital generation of surface-pressure fluctuations with spiky features[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 1998, 73(2): 181-192.

[7] SURESH KUMAR K, STATHOPOULOS T. Computer simulation of fluctuating wind pressures on low building roofs[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 1997, 69/70/71: 485-495.

[8] GURLEY K, KAREEM A. Simulation of correlated non-gaussian pressure fields[J]. Meccanica, 1998, 33: 309-317.

[9] YAMAZAKI F, SHINOZUKA M. Digital generation of non-Gaussian stochastic fields[J]. Journal of Engineering Mechanics, 1988, 114(7):1183-1197.

[10] DEODATIS G, MICALETTI R C. Simulation of highly skewed non-Gaussian stochastic processes[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2001, 127(12): 1284-1295.

[11] GURLEY K. Simulation of a class of non-normal random processes[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 1996, 31(5): 601-617.

[12] PUIG B, AKIAN J L. Non-Gaussian simulation using Hermite polynomials expansion and maximum entropy principle[J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 2004, 19(4): 293-305.

[13] GRIGORIU M. Simulation of stationary non-Gaussian translation processes[J]. Journal of Engineering Mechanics, 1998, 124(2): 121-126.

Anon-iterativealgorithmforsimulationofnon-Gaussianfluctuatingwindpressure

LI Jinhua1, LI Chunxiang2, JIANG Lei2, DENG Ying2

(1. Department of Civil Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China;2. Department of Civil Engineering, Shanghai University, Shanghai 200444, China)

A non-iterative algorithm for simulating non-Gaussian random process was proposed to avoid the divergence problem in iteration. Firstly, based on the nonlinear translation process, the conversion relationship between latent Gaussian stochastic process and non-Gaussian one was analyzed in detail. Then, it was proved with the reduction to absurdity that the target power spectral density (PSD) and the marginal probability distribution (MPD) function for an arbitrary non-Gaussian random process being compatibleis necessary. Thereby, the criterion to judge the compatibleness between the target PSD and the MPD was established (i.e., the target PSD function of the latent Gaussian stochastic process must be a nonnegative function).Furthermore, the modification programs were developed for the case of the target PSD and the MPD being incompatible, a non-iterative algorithm was proposed for simulating a non-Gaussian random process with a single variable.Finally, a non-Gaussian fluctuating wind pressure with different skewness was simulated with the proposed non-iterative algorithm. Its feasibility and validity were verified through comparing correlation functions, PSD, and MPD with their corresponding targets.

Gaussian; non-Gaussian; stochastic process; fluctuating wind pressure; nonlinear translation; simulation algorithm

國家自然科學基金(51378304);江西省自然科學基金(2017IBAB206051)

2016-04-26 修改稿收到日期：2016-09-22

李錦華 男,博士,副教授,碩士生導師，1981年生

李春祥 男，博士，教授，博士生導師，1964年生

E-mail: li-chunxiang@vip.sina.com。

TU311

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.032