消聲器中高頻傳遞損失計算的有限元-模態匹配混合方法

楊 亮， 季振林

(哈爾濱工程大學 動力與能源工程學院，哈爾濱 150001)

消聲器中高頻傳遞損失計算的有限元-模態匹配混合方法

楊 亮， 季振林

(哈爾濱工程大學 動力與能源工程學院，哈爾濱 150001)

提出了有限元-模態匹配混合方法用于計算消聲器中高頻傳遞損失，將消聲器進出口面上的節點聲學量展開為模態疊加的形式并代入有限元方程，以本征函數為權系數對進出口面上的聲壓進行積分，從而建立起以內部節點聲學量和進出口模態幅值系數為未知量的線性方程組。結合邊界條件計算得到消聲器進出口面上的各階模態幅值系數，進而得到進出口聲功率用于傳遞損失的計算。分別對抗性和阻性消聲器的傳遞損失進行了計算，驗證了有限元-模態匹配混合方法在全頻段范圍的有效性。

消聲器；傳遞損失；中高頻；有限元；模態匹配

傳遞損失是消聲器最主要的性能評價指之一，目前在大部分研究中，消聲器傳遞損失的計算都是基于進出口為平面波假設進行的[1-3]，但是對于空調暖通管道、電站消聲器以及大型船用消聲器等實際工程問題，由于消聲器進出口尺寸大或者目標計算頻率高，通常在消聲器進出口管道中存在多個可傳播的高階模態，此時傳統的傳遞損失計算方法不再適用，因此，研究用于消聲器中高頻傳遞損失的計算方法具有重要的現實意義。

Zhou等[4]基于互易性原理和阻抗矩陣方法[5]，使用邊界元法計算消聲器平面波以上的傳遞損失，但由于邊界元方法自身的局限性，給方法的推廣應用帶來了一定困難。Kirby等[6-7]使用配點法計算了空調暖通管道的聲學性能并通過與實驗值的比較驗證了方法的正確性，但是配點法對配點位置的選擇較為敏感，可能會導致收斂不穩定等問題。在較新版本的商業軟件LMS Virtual. Lab中，包含有計算平面波截止頻率以上傳遞損失的計算模塊，但是目前該方法還只能用于進出口截面為圓形和方形的規則結構。

考慮到有限元法對復雜結構聲學計算的適應性，以及模態匹配法可獲得等截面管道內的聲模態幅值系數，本文試圖將二者結合形成一種新的混合方法用于計算消聲器寬頻范圍內(進出口管道內為平面波和非平面波)的傳遞損失，出發點是考慮得到消聲器進口入射波以及出口透射波的模態幅值系數，進而利用聲功率進行傳遞損失計算。該方法的基本思想是：將進出口的聲學量展開為模態疊加的形式并代入有限元方程中，在進出口面上利用本征函數的正交性，對聲壓展開式以本征函數為權系數在進出口面上積分，最后得到以結構內部節點聲學量和模態幅值系數為未知量的線性方程。本文將對有限元-模態匹配混合方法的理論推導、平面波以上傳遞損失計算方法以及混合方法在抗性和阻性消聲器的應用進行詳細的分析。

1 理論基礎

1.1 抗性消聲器

抗性消聲器內部聲場控制方程為Helmholtz方程，應用伽遼金加權余量法，根據格林公式可以得到：

(1)

式中:p為節點聲壓向量;n為外表面的法線方向;N為形函數;k為波數。外邊界Γ分為三個部分：入口面ΓA、出口面ΓB以及外部剛性壁ΓR，如圖1所示。由于剛性壁面質點振速為0，因此式(1)右端項可以改寫為

(2)

圖1 消聲器模型Fig.1 Model of silencer

消聲器進口管內的聲壓和質點振速可以表示為模態的形式

(3)

v(x,y,0)=

(4)

式中:Φ為進口截面特征函數(或本征函數);A和B分別為入射波和反射波的模態幅值系數;kn,z為軸向波數;Ni為進口聲波模態展開項的個數;ρa為空氣密度;ω為角頻率。將出口設定定無反射邊界，即出口管內只有透射波，因此出口的聲壓和質點振速可表示為

(5)

(6)

式中:l為出口在z方向的坐標;Ψ為出口截面的特征函數;C為透射波的模態幅值系數;No為模態展開項的個數，則式(2)右端項可以改寫為

(7)

式中,j為虛數單位。引入模態匹配的概念，在進出口截面分別對聲壓的模態展開表達式取相應截面的本征函數作為權系數并且在截面積上進行積分[8]，則對式(3)和(5)可以得到

(8)

(m=0,1,2,…,M)

(9)

在本文中，為了將計算擴展為任意截面進出口消聲器的傳遞損失計算，截面本征函數的求解使用的是二維有限元方法[9-10]，對于圓形以及矩形截面，本征函數存在解析表達式[11]。關于本征函數的計算方法本文不再贅述。

在消聲器傳遞損失的計算中，進口處的入射波通常給定為平面波，即：A0=1，An=0(n≠0)。將公式(1)以及式(8)、(9)整理為以進口反射波和出口透射波模態幅值系數以及消聲器內部節點聲學量為未知量的方程：

[D]{p}+j[E]T{B}+j[E′]T{C}=j[G]T

(10)

-[F]{B}+[E]{p}=[H]

(11)

-[F′]{B}+[E′]{p}=[0]

(12)

其中：

將式(10)～(12)進一步整理為矩陣的形式，可以表示為

(13)

求解線性方程組(13)即可同時得到透射波的各階模態幅值系數以及消聲器內部節點的聲壓值，之后即可利用進出口的聲功率計算消聲器的傳遞損失。

1.2 阻性消聲器

對于如圖2所示的阻性消聲器，兩個區域ΩA和ΩB的控制方程可以分別表示為

(14)

(15)

圖2 穿孔管阻性消聲器Fig.2 Perforated tube dissipative silencer

穿孔壁面Sp1和Sp2處的法向質點振速un和壓力跳躍Δp可以通過穿孔的特性聲阻抗聯系，即

(16)

式中：ξp為穿孔特性聲阻抗;ca為聲速;pp1和pp2分別為穿孔壁面處空氣一側和吸聲材料一側的聲壓。

在區域Ωa內，根據伽遼金加權余量法以及格林公式，并代入相應邊界條件整理可得：

(17)

同理，對區域Ωb，由加權余量法以及格林公式，代入邊界條件整理可得：

(18)

根據進出口質點振速的模態展開表達式(4)及(6)，式(17)中右端項可以表示為

(19)

進出口聲壓的模態展開形式與抗性消聲器相同。以本征函數為權系數分別在進出口面上積分得到與式(11)～式(12)相同的表達式，最后，整理式(11)～(12)及式(17)～(18)可以得到如下線性方程組

(20)

其中，

2 考慮高階模態傳播的傳遞損失計算

當計算的頻率高于消聲器進出口管道的平面波截止頻率時，進出口管道內的聲波將不再以平面波的形式傳播，若干個高階模態成為可傳播的模態，為此需考慮高階模態的影響。消聲器傳遞損失的計算公式為

TL=10lg10(WI/WO)

(21)

由于進口處為平面波激勵，則入射聲功率可以表示為

WI=0.5S1/ρaca

(22)

出口設置為無反射端，出口的透射聲功率為

(23)

式中，Re(·)表示對括號內的數值取實部，Conj(·)為對括號內的數值取共軛，n為出口截面的單元總數，S1和S2分別為進出口的面積。

3 算例驗證

本節通過三個消聲器算例驗證提出的混合方法的正確性。

對如圖1所示的簡單膨脹腔抗性消聲器，膨脹腔內徑D=800 mm，膨脹腔長度l=400 mm，進出口管直徑d1=300 mm，d2=300 mm，聲速為c0=343 m/s，空氣密度為ρ0=1.2 kg/m3。對于此消聲器，進出口平面波的截止頻率約為1 395 Hz，圖4傳遞損失計算結果的比較。可以看出，由于均考慮了高階模態的影響，本文提出的混合方法與Zhou等的邊界元方法吻合較好；而基于傳統進出口平面波假設的傳遞損失計算結果在平面波截止頻率以上出現了負值，這是不合理的，因此也說明了考慮可傳播的高階聲模態對消聲器傳遞損失計算結果的影響是十分必要的。

圖3 簡單膨脹腔消聲器Fig.3 A simple expansion chamber

圖4 簡單膨脹腔傳遞損失計算結果Fig.4 Transmission loss prediction of the simple expansion chamber

對于如圖5所示的穿孔管阻性消聲器，膨脹腔內徑D=800 mm，膨脹腔長度l=400 mm，進出口管直徑d1=300 mm，d2=300 mm，穿孔管穿孔率φ=25%。吸聲材料采用長纖維玻璃絲棉，該吸聲材料的特性阻抗和波數的表達式分別為[12]

j0.085(ρaf/σ)-0.732

(24)

j0.189(ρaf/σ)-0.595

(25)

式中:σ為材料的流阻率;f為計算頻率;當材料的填充密度為100 g/L時，此材料的流阻率為4 896 Rayls/m。該消聲器進出口的平面波截止頻率約為1 395 Hz。

圖5 直通穿孔管阻性消聲器Fig.5 Straight-through perforated tube dissipative silencer

圖6為消聲器傳遞損失計算結果比較。可以看出，本文混合方法計算結果與Virtual. Lab管道聲模態方法結果在整個頻率范圍內吻合較好，與抗性消聲器類似，傳統基于進出口平面波傳播假設的方法在平面波截止頻率以上會出現不合理的負值，進一步說明了本文混合方法的合理性以及考慮可傳播高階聲模態對消聲器中高頻傳遞損失影響的重要性。

圖6 直通穿孔管阻性消聲器傳遞損失計算結果

Fig.6 Transmission loss of the straight-through perforated tube dissipative silencer

本文提出的混合方法理論上可以應用于進出口為任意形式截面的傳遞損失計算中，下面通過一個進出口為橢圓形截面的阻性消聲器說明方法的可行性。消聲器結構如圖7所示，結構尺寸為：膨脹腔長度l=400 mm，膨脹腔直徑D=800 mm，進出口橢圓長軸長度d1=500 mm，短軸長度d2=300 mm,穿孔管穿孔率以及吸聲材料與上例相同。傳遞損失計算結果如圖8所示，對于本例，由于沒有可用的成熟商業軟件作為檢驗標準，本文使用進出口所有單元的聲壓平均值計算傳遞損失，在頻率較低范圍，混合方法與傳統方法計算結果吻合良好，在高頻范圍，傳統方法會出現不合理的數值突變，而混合方法傳遞損失曲線則較為光滑，說明了方法對任意形式截面管道的適用性；另一方面，也說明了使用聲壓平均值仍然無法考慮高階聲模態的影響，混合方法的應用具有實際意義。

圖7 帶有橢圓進出口的直通穿孔管阻性消聲器

Fig.7 Straight-through perforated tube dissipative silencer with ellipse inlet/outlet

圖8 橢圓進出口直通穿孔管阻性消聲器計算結果

Fig.8 TL of Straight-through perforated tube dissipative silencer with ellipse inlet/outlet

4 結 論

鑒于有限元方法在消聲器聲學性能計算方面的通用性，本文提出了一種直接求解方法：有限元-模態匹配混合方法用于計算消聲器平面波以上的傳遞損失，在傳統有限元方法的基礎上，將消聲器進出口面上的質點振速表示為模態展開的形式并代入有限元方程；對于聲壓的模態表達式以截面本征函數為權系數并且在進出口截面上積分，通過求解線性方程組得到透射聲波的各階模態幅值系數，進而利用進出口聲功率計算消聲器的傳遞損失。通過簡單膨脹腔抗性消聲器和穿孔管阻性消聲器兩個算例驗證了方法的正確性，最后，通過對一個進出口為橢圓形截面的消聲器傳遞損失的計算，說明了混合方法在實際問題中的普適性。

有限元-模態匹配方法理論上可以計算進出口截面為任意形狀消聲器寬頻范圍內的傳遞損失，兼顧了有限元方法的計算通用性以及模態匹配方法直接計算模態幅值系數簡便性的優勢，可用于計算任意頻率下消聲器的傳遞損失，突破了傳統方法只能計算進出口管道內為平面波時消聲器傳遞損失的局限性。

[1] WU T W, WAN G C. Muffler performance studies using a direct mixed-body boundary element method and a three-point method for evaluating transmission loss[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 1996, 118(3): 479-484.

[2] WU T W, ZHANG P, CHENG C Y R. Boundary element analysis of mufflers with an improved method for deriving the four-pole parameters[J]. Journal of Sound and Vibration, 1998, 217(4): 767-779.

[3] MEHDIZADEH O Z, PARASCHIVOIU M. A three-dimensional finite element approach for predicting the transmission loss in mufflers and silencers with no mean flow[J]. Applied Acoustics, 2005, 66(8): 902-918.

[4] ZHOU L, WU T W, RUAN K, et al. A reciprocal identity method for large silencer analysis[J]. Journal of Sound and Vibration, 2016, 364: 165-176.

[5] WANG P, WU T W. BEM analysis of large tuned dissipative silencers and bar silencers[C]∥INTER-NOISE and NOISE-CON Congress and Conference Proceedings. Institute of Noise Control Engineering, 2015, 250(2): 4767-4776.

[6] KIRBY R, WILLIAMS P T, HILL J. A three dimensional investigation into the acoustic performance of dissipative splitter silencers[J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 2014, 135(5): 2727-2737.

[7] KIRBY R, AMOTT K, WILLIAMS P T, et al. On the acoustic performance of rectangular splitter silencers in the presence of mean flow[J]. Journal of Sound and Vibration, 2014, 333(24): 6295-6311.

[8] KIRBY R. Modeling sound propagation in acoustic waveguides using a hybrid numerical method[J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 2008, 124(4): 1930-1940.

[9] FANG Z, JI Z L. Numerical mode matching approach for acoustic attenuation predictions of double-chamber perforated tube dissipative silencers with mean flow[J]. Journal of Computational Acoustics, 2014, 22(2): 678-702.

[10] KIRBY R. A comparison between analytic and numerical methods for modelling automotive dissipative silencers with mean flow[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 325(3): 565-582.

[11] 季振林. 消聲器聲學理論與設計[M]. 北京：科學出版社，2015.

[12] 徐貝貝，季振林. 穿孔管阻性消聲器聲學特性的有限元分析[J]. 振動與沖擊，2010, 29(3): 58-62.

XU Beibei, JI Zhenlin. Finite element analysis of acoustic attenuation performance of perforated tube dissipative silencers[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(3): 58-62.

FE-modematchinghybridapproachfortransmissionlosspredictionofsilencersinmid-highfrequencyrange

YANG Liang, JI Zhenlin

(College of Power and Energy Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

A FE-mode matching hybrid method was proposed to evaluate the transmission loss of silencers in mid-high frequency range. The acoustic variables at the inlet and outlet were expressed in terms of modal superposition form and then substituted into the FE equation of a silencer. The intrinsic functions were adopted as weight functions the sound pressures at the inlet and outlet area were integrated. Therefore, the linear equations with internal nodal acoustic variables and modal amplitude coefficients at the inlet and outlet as the unknown variables were established. The modal amplitude coefficients at the inlet and outlet were then obtained by solving the linear equations combining the corresponding boundary conditions. Furthermore, the sound powers at the inlet and outlet were gained to calculate the transmission loss of a silencer. The transmission losses of reactive and dissipative silencers were calculated respectively to verify the effectiveness of the proposed approach in the whole frequency domain.

silencer; transmission loss; mid-high frequency; finite element (FE); mode matching

國家自然科學基金(11174065)

2016-08-02 修改稿收到日期：2016-09-13

楊亮 男，博士生，1989年生

季振林 男，教授，博士生導師，1965年生

TB535

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.035