利用微元思維在國際高中物理課程中實(shí)施跨學(xué)科融合教學(xué)

周全

【摘要】本文主要討論如何通過微積分作為數(shù)學(xué)工具來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和理解國際高中物理課程中運(yùn)動(dòng)學(xué)的相關(guān)知識。本文使用了微積分中最基本的微分和積分定義，通過將物理量套用到微積分定義公式中來幫助學(xué)生推導(dǎo)出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式。該方法能夠清晰準(zhǔn)確地體現(xiàn)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移關(guān)于時(shí)間非線性變化的運(yùn)動(dòng)學(xué)過程。從而實(shí)現(xiàn)物理老師利用高級數(shù)學(xué)工具進(jìn)行跨學(xué)科融合教學(xué)的方法和手段。

【關(guān)鍵詞】國際高中 跨學(xué)科 課程融合 運(yùn)動(dòng)學(xué) 微積分 AP A-Level

【中圖分類號】G633.7 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）47-0162-01

近幾年來，國際高中辦學(xué)受到社會各界廣泛關(guān)注，各種國際高中項(xiàng)目層出不窮，百花齊放。其中最受廣泛認(rèn)可的國際高中項(xiàng)目有兩個(gè)分別是A-Level課程和AP課程。這兩個(gè)課程中的微積分和物理學(xué)都作為必修科目來設(shè)置，對學(xué)生來說至關(guān)重要。而相對從初中就接觸的物理學(xué)來說，微積分對于學(xué)生要陌生得多。很多同學(xué)在上了微積分課以后，能夠把里面的公式記得滾瓜爛熟，使用公式解決很多純數(shù)學(xué)問題。但是學(xué)生對于微積分的理解也往往只限于公式的使用，而缺少一種很重要的意識和思路，那就是微積分是一種有效的數(shù)學(xué)工具，利用這種數(shù)學(xué)工具可以解決很多別的學(xué)科的問題，比如利用微積分來解決物理中的各類問題。因此，如何解決學(xué)生在未來能夠真正地利用好微積分這一數(shù)學(xué)工具來解決更多實(shí)際問題成為了需要亟待解決的問題。

造成這種情況的原因是大多數(shù)同學(xué)在高中階段學(xué)習(xí)微積分時(shí)候，缺少對于微積分作為數(shù)學(xué)工具來理解的重要引導(dǎo)，只注重單純的公式套用和解題。老師在講解定義的時(shí)候，同學(xué)也沒有仔細(xì)去理解定義的含義，而是把注意力都放在了解題上。然而，數(shù)學(xué)本身是抽象的，它實(shí)質(zhì)是一種邏輯思維的體現(xiàn)。如果沒有好好理解定義，大家是不可能真正地學(xué)好數(shù)學(xué)，那也就更 不可能在解決問題的時(shí)候做到有的放矢了。

所以要真正理解微積分，數(shù)學(xué)和物理老師要引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)出所謂的“微元”思維。這種“微元”思維是指在處理問題是，從對事物的極小部分（在數(shù)學(xué)上稱之為“高階無窮小量”）分析入手，即將較為復(fù)雜的大系統(tǒng)在微觀層面拆分成“無窮多”個(gè)相對簡單的小系統(tǒng)，并對其進(jìn)行分析，找到其中規(guī)律，再累計(jì)求和，將小系統(tǒng)疊加還原成原來復(fù)雜的大系統(tǒng)，最終達(dá)到對于整體大系統(tǒng)的本質(zhì)了解。

通過上述思維定義，我們可以知道，“微積分“實(shí)際上分為兩大部分：微分（differential） 和積分（integral）。微分是將整體的東西拆解成微小的部分，而積分是將微小的部分疊加成整體。由此可以看出微分和積分是互逆的兩個(gè)過程。而“積分”這個(gè)中文名詞讓很多同學(xué)產(chǎn)生了誤解，認(rèn)為”積“是乘積的意思，而實(shí)際上”積“是累積的意思。老師在教授微積分定義的時(shí)候，必須把這一點(diǎn)說明清楚，以避免學(xué)生產(chǎn)生不必要的理解錯(cuò)誤。

知道微積分的意思以后，對于我們分析問題就給明的最根本的方向。比如我們在以前的數(shù)學(xué)課上有一個(gè)說法“無數(shù)個(gè)點(diǎn)可以連成一條線，無數(shù)條線可以組成一個(gè)面“。這個(gè)說法其實(shí)錯(cuò)誤地影響了很多學(xué)微積分的同學(xué)。在微積分中，能組成一條線的是無窮多條短線，這些線無窮短，但永遠(yuǎn)不會是一個(gè)點(diǎn)；能組成一個(gè)面的是無窮多個(gè)小面，這些面的面積無窮小，但永遠(yuǎn)不會變成一條線。

那么這兩種表達(dá)方法的區(qū)別其實(shí)非常的明顯：線如果要組成面，必須通過乘積，因?yàn)榫S度不一樣，線是一維的，面是二維的。可能學(xué)生對于“維度”（dimension）這個(gè)詞不熟悉，但是對于線和面在坐標(biāo)系上的函數(shù)表達(dá)式還是比較熟悉的：線在平面直角坐標(biāo)系上最少是用一次函數(shù)表示的，而面積在平面直角坐標(biāo)系上最少也是用二次函數(shù)表示的。比如y=x就是一條直線，而要表示這條直線和x軸以及任意垂直于x軸的豎線組成的面積是，必須使用三角形面積公式，即底乘以高除以2，得到x？鄢y/2。又因y=x， 所以結(jié)果就成了x2/2。這并不符合我們微積分的“累積”原理，而如果是無窮多個(gè)小面組成一個(gè)大面積，那么自然是符合“累積”原理的。這一點(diǎn)，老師要提醒學(xué)生一定特別注意，微分和積分的過程必須要在同一個(gè)維度上進(jìn)行，即”由線到線“和”由面到面”。

上圖中就是一個(gè)求面積的例子，要求的函數(shù)y=p（x）關(guān)于x的積分，實(shí)際是求函數(shù)y=p（x）這條曲線和x軸，以及x=-∞ 和 x=∞兩條豎線所包裹的面積。那么首先要把這個(gè)大面積拆分成無窮多個(gè)小面積，而這些小面積都是矩形。每一個(gè)小矩形都是由長（坐標(biāo)系中任意p（x）的值）和寬（橫軸上無窮短的小線段dx）所組成的。所以每一個(gè)小矩形的面積都是p（x）？鄢dx，然后再把這無窮多個(gè)小矩形的面積加在一起，就得到了最后的面積F（x）的值了，疊加小矩形的符號不適用+號，而是用積分符號∫。

在物理學(xué)中，也會遇到很多需要微分和積分思維來解決的問題。比如學(xué)生在遇到運(yùn)動(dòng)學(xué)中勻變速直線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)問題時(shí)就往往需要微元思維來更好地理解。我們還是拿上圖這個(gè)例子來做一個(gè)物理量的套用。我們把y=p（x）中各個(gè)字母都設(shè)定一個(gè)對應(yīng)的物理量： p代表物體的運(yùn)動(dòng)速度，x代表時(shí)間（當(dāng)然時(shí)間的定義域是從0到+∞），那么函數(shù)y就是一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)速度關(guān)于時(shí)間變化的函數(shù)，而無窮短的小線段dx就代表無窮短的時(shí)間段了，也可以等效看成某一時(shí)刻對應(yīng)的那一瞬間。這時(shí)每一個(gè)小矩形的面積p（x）？鄢dx的物理學(xué)定義是x時(shí)刻物體的運(yùn)動(dòng)速度p（x）乘以時(shí)間段dx，得到在這一時(shí)刻物體進(jìn)過的位移。最后，無窮多個(gè)小矩形的面積累積在一起，就可以得到在整個(gè)計(jì)算的時(shí)間段內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的總位移F（x）。

這個(gè)勻加速直線運(yùn)動(dòng)位移公式對于學(xué)習(xí)過運(yùn)動(dòng)學(xué)的同學(xué)來說，應(yīng)該是非常熟悉的。國內(nèi)高中物理教學(xué)中，要推導(dǎo)出上述公式，老師往往采用的是平均速度的方式。而在國際高中的學(xué)習(xí)的學(xué)生由于具備一定的微積分學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，熟悉微積分的基本公式，物理老師可以通過這種微元思維把非線性的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式推導(dǎo)出來。使用這種方式進(jìn)行跨學(xué)科融合式教學(xué)，不僅使得公式推導(dǎo)更加地精準(zhǔn)，還能夠培養(yǎng)學(xué)生利用微元思維分析和理解各類物理學(xué)問題，幫助學(xué)生更好地理解微積分這一數(shù)學(xué)工具的實(shí)際意義。