稀疏恢復的梯度投影算法在PPG信號重建中的研究

胡凱麗 金 杰 張瑞峰

（天津大學電子信息工程學院，天津 300072）

稀疏恢復的梯度投影算法在PPG信號重建中的研究

胡凱麗 金 杰 張瑞峰?

（天津大學電子信息工程學院，天津 300072）

光電容積描記（PPG）法是一種無創測量人體脈搏信號的方法，其波形反映血管中的血液容積變化，在診斷心血管疾病時具有重要作用。然而，這種方法容易因病人有意或無意運動產生運動偽影（MA）而影響診斷結果的準確性。為解決這一問題，基于壓縮感知理論框架，采用稀疏恢復的梯度投影（GPSR）算法，對PPG信號進行濾噪和恢復。對于非稀疏信號，壓縮感知包括稀疏和恢復兩個步驟：首先為保證信號的重要信息不被破壞，利用哈爾小波基找到最佳稀疏域，對信號進行稀疏變換；然后采用GPSR算法，在恢復信號的同時去除MA噪聲。實驗測量3種受MA影響的帶噪PPG信號，并用GPSR算法處理分析。另測50名健康成年人在垂直運動時產生的帶噪PPG信號，計算帶噪與重建PPG信號的心率和均方誤差（MSE）。將得到的兩種心率分別與無噪聲PPG信號心率通過Bland-Altman方法做對比分析，結果顯示，帶噪與無噪聲PPG信號的差異范圍在±23 beat/min，而重建PPG信號在±2.7 beat/min。由均方誤差的Box Plot圖可知，重建信號的MSE比帶噪信號降低約50%。這些結果均表明，GPSR算法能明顯降低信號中的運動干擾。

稀疏恢復的梯度投影；光電容積描記法；壓縮感知；運動偽影

引言

脈搏血氧儀是目前廣泛采用的一種無創測量光電容積描記（photoplethaysmography，PPG）信號的儀器［1-2］。該儀器的測量原理是基于一種光電技術，即當一定波長的光照射到物體上時，光的吸收量與物體濃度成正比，利用人體組織在血管搏動時產生的透光率不同來進行PPG信號測量。當固定波長的光照射到皮膚表面（比如人的指尖、腳趾、耳垂或手腕）時，吸收和反射的光強度反映了人體的生命特征［3-4］。脈搏血氧探頭包括兩個LED（一個紅光LED波長為660nm，另一個紅外LED波長為940nm）和一個光電二極管。當光束透過人體外周血管時，由于動脈搏動充血容積變化，導致透光率發生改變，同時，光電二極管將接收到的光信號轉變為電信號。由于心率是隨心臟搏動而周期性變化的信號，動脈血管容積也隨之周期性變化，因此光電二極管輸出的電信號的變化周期就是心率，該電信號即為PPG信號。

然而，脈搏血氧儀在測量過程中極易由于受試者運動產生運動偽影（motion artifact，MA）干擾PPG信號，從而影響最終的心率計算結果［5］。通常，脈搏血氧儀輸出的PPG信號頻帶在0.6～4 Hz之間。當受試者緩慢移動時，MA的頻帶比PPG信號低很多；而當受試者劇烈運動時，MA的頻帶與PPG信號重疊［6］。此時，傳統的帶固定截止頻率的濾波器（低通或高通濾波器）不再適用。因此，尋找合適的算法降低MA的影響，就成為亟待解決的問題。

近年來，學者們為減少MA的影響和重構帶噪PPG信號，已做了大量研究工作，并取得一定成果。Lee等利用粒子濾波器，從帶噪信號中提取PPG信號［7］。雖然非線性和非高斯性決定粒子濾波可以用在任何情形中，但這種方法需要用大量樣本才能很好地近似系統的后驗概率密度，這會在很大程度上造成資源浪費［8］。PPG信號中的MA屬于帶內噪聲，而自適應濾波器利用遞歸算法更新濾波器參數［9］，能有效消除帶內噪聲。但這種濾波器需要一個與MA相關的參考信號，這個信號可由硬件產生，比如三軸加速度計［10-11］，也可以從帶噪信號自身中產生［12-13］，無論哪種方法都會使處理過程繁瑣。獨立成分分析（independent component analysis，ICA）是一種能從混合信號中恢復出有用信號的有效方法［14］，Kim等就是利用ICA，將 PPG信號和 MA看作是相互獨立的，并從受干擾信號中提取出PPG信號［15］。不過，這種方法應用的前提是信號的相互獨立性，而實際中信號并不是完全不相關的［16］。

本研究基于壓縮感知理論框架［17-18］，利用哈爾小波尋找信號的最佳稀疏域對信號進行稀疏，并用稀疏恢復的梯度投影［19］（gradient projection for sparse recovery，GPSR）算法對PPG信號濾噪和稀疏恢復。壓縮感知是一個將已知信號先稀疏再恢復的過程，稀疏時要保證信號的重要信息不被破壞，才能實現信號的精確恢復。本研究的主要目的是在信號稀疏恢復的同時，濾除PPG信號中的MA。實驗中PPG信號的獲取是通過一個信號采集模塊，測量時有意運動產生噪聲并用GPSR算法處理。為使結果更具說服力，測量50個年齡在20～40歲之間的健康成年人的帶噪PPG信號，計算重建PPG信號的均方誤差（mean square error，MSE）與心率（heart rate，HR），并畫出 Box Plot與 Bland-Altman圖，用統計方法驗證GPSR算法的有效性。

1 材料和方法

1.1 PPG信號測量

通過信號采集系統獲取PPG信號，系統框圖如圖1所示。利用基于光電容積法的指夾式脈搏血氧探頭（DS-100A血氧探頭）獲取PPG信號：夾子上下兩側分別是光電二極管和兩個LED，探頭的另一端為九針串口。在串口上連接一段LED驅動電路來驅動探頭工作，將輸出的微弱電流信號連接到電流電壓轉化電路，得到一個微弱的電壓信號，再經過放大電路得到放大的PPG信號。在實驗中，系統噪聲可經過低通濾波器進行濾噪。由于只需觀察PPG信號，所以將紅外燈接地，紅光接VCC，以保證上電時只有紅光LED工作，并輸出PPG信號。輸出的模擬PPG信號經模數轉化模塊DT9816轉化成數字信號，并保存成txt格式存儲到計算機上。

圖1 PPG信號獲取系統框圖Fig.1 Diagram of PPG signal acquisition system

PPG信號受試者為成年健康男性，測量時將血氧探頭夾在右手中指上。為驗證GPSR算法在信號稀疏恢復及除噪過程中的精度與效率，測量時受試者有意運動產生MA，并測量3種類型噪聲：垂直運動手臂產生的MA、水平運動手臂產生的MA、彎曲運動手臂產生的MA。測量時左手手臂保持不動，并用相同的裝置測量左手中指的PPG信號，得到無噪聲PPG信號并將其作為參考信號。因此，總共測得3組PPG數據：帶噪PPG信號以及參考信號。為使算法處理結果更具說服性，另測50名年齡在20～40周歲之間的健康成年人垂直運動時產生的帶噪PPG信號與參考信號，其中噪聲強度為隨機的。

1.2 基于GPSR的稀疏恢復和MA濾除算法

壓縮感知首先采集信號的非自適應線性投影（測量值），然后根據相應的恢復算法由測量值恢復原始信號，這里要恢復的原始信號必須是可壓縮的或在某個變換域是稀疏的。由于自然信號大多是非稀疏的，所以在線性投影之前需對原始信號進行稀疏變換，得到的稀疏信號再經過稀疏變換的反變換得到原始信號。

壓縮感知本質上是矩陣的運算，有

式中，X是N×1維的原始信號，Φ是M×N維的觀測矩陣，M?N。

用觀測矩陣Φ對信號X進行觀測，得到觀測集合Y∶（M×1），然后在已知Y與Φ的前提下恢復原始信號X。但由于X是非稀疏信號，需首先進行稀疏變換，其原理是用一個正交基矩陣Ψ對信號X進行變換，即Θ＝ΨTX。其中，Ψ為N×N維正交基矩陣，變換得到的Θ：（N×1）是稀疏信號。此時，在已知Y、Φ與Ψ的前提下恢復稀疏信號Θ，這一過程稱為信號的稀疏恢復。再根據X＝ΨΘ重建信號X，這一過程稱為信號的重建。

1.2.1 信號的稀疏表示

由于小波分析較其他方法能更“稀疏”地表示一維信號，對信號的時、頻局域分析能力也優于其他算法，因此本研究利用最簡單的哈爾小波變換對信號進行稀疏變換。哈爾小波的理論框圖如圖2所示。

經過一級變換后，得到一個低頻信號（Li）和一個高頻信號（Hi），長度各為原始信號長度的1/2。其中高頻信號是信號的細節部分，其值接近零，在計算時可將其視為零。以此類推，每經過一級哈爾小波變換，信號的稀疏度就會降低一半。

由小波變換的原理可知，隨著小波變換級數不同，信號稀疏度不同，恢復精度也會隨之不同。為驗證小波級數對恢復精度的影響，根據哈爾小波變換級數的不同，將壓縮感知理論表達式變形為

圖2 哈爾小波變換理論框圖Fig.2 Diagram of the Haar wavelet transform theory

從變換式中可以看出，Yi是ΦΨiΘi（i＝1，2，3，…，N）的迭代，且迭代次數決定了PPG信號的恢復效果。

m級小波變換的PPG信號重建誤差可用MSE表示，有

式中，Xm是m級小波變換的重建PPG信號，X′m是無噪聲的參考信號，N是PPG信號的長度。

截取一段帶噪PPG信號，計算每一級小波變換后利用GPSR算法稀疏恢復并重建PPG信號的MSE，逐級比較就可得到信號的最佳稀疏域。

1.2.2 觀測矩陣的設計

觀測矩陣的作用有：一是在對信號X∈Rn進行觀測時，保證信號從N維降到M維時重要信息不遭破壞；二是稀疏恢復時保證能準確重構稀疏信號Θ。對于從式（1）中求出Θ是一個欠定性問題，一般來說無解；但是當ACS滿足有限等距性質（restricted Isometry property，RIP）時，方程具有確定解。為降低問題的復雜度，Baraniuk找到了一種易于實現RIP的替代方法［20］，即如果保證觀測矩陣Φ和正交基Ψ不相干，則ACS很大概率上滿足RIP。由于高斯隨機觀測矩陣與絕大多數稀疏信號基互不相干，重建時所需要的數據量比較少，所以為滿足RIP，本研究選擇高斯隨機矩陣為觀測矩陣。

1.2.3 重構算法的設計

信號重構算法主要解決優化問題。GPSR算法的基本模型是Donoho等將信號稀疏恢復的優化問題歸結為l1范數問題，使得求解更加簡單，有

對于式（4）帶約束條件的問題，可用拉格朗日乘數建立目標函數，表示為

這里τ是一個非負常數。從貝葉斯的角度來看，式（2）可看作為關于觀測集合Y的最大后驗估計，當信號是帶噪信號時，噪聲作為輸入，Y可表示為

式中，x為無噪聲PPG信號，而n0為噪聲。

制定式（2）的二次規劃表達，處理的方法是對信號X進行正、負數部分的分解，此處引入向量u和v，用向量u表示信號的正數部分，向量v表示信號的負數部分，有

引入長度為N的全1 向量1n＝［1，1，．．．，1］T，則l1范數可表示為，代入到目標函數后，式（2）可改寫為

式（8）可看作簡單的帶約束二次規劃問題（bound-constructed quadratic program，BCQP），再進一步簡化這個表達式，將其轉化為標準的受限二次規劃式，有

其中

在每次迭代中，首先要計算當前點zk的負梯度-?F（zk），然后投影到有效約束域中，式（6）經過轉化后BCQP的約束條件是z≥0，也就是將負梯度投影到非負象限內。引入一個變量gk來表示投影后的梯度方向，則gk的表達式為

使用精確步長規則計算步長的初始值，即

得到的結果是

在通常情況下，為使線性搜索更具目的性，并減少不必要的計算，要對這個初始步長限定在一個確定的范圍內，即

在本研究中，設置GPSR的初始值為αmin＝10-30，αmax＝1030，參數τ選為

圖3所示為本研究整個算法的流程，包括壓縮感知部分和GPSR算法部分。經過算法處理和分析，最后重建的信號即為無噪聲PPG信號，可用其計算心率。

圖3 算法流程。（a）壓縮感知流程；（b）GPSR算法流程Fig.3 Algorithm flow chart.（a）The flow chart of Compressed Sensing；（b）The flow chart of the GPSR

1.3 心率的計算方法

在一段給定時間T（s）內，確定心動周期的數量Q，根據60Q/T（beat/min）計算心率。計算的心率包括PPG信號的心率HR1、運動產生帶噪PPG信號的心率HR2、用GPSR去除MA后的PPG信號的心率HR3。之后計算HR2-HR1與HR3-HR1的差值，并將結果用Bland-Altman圖呈現。

2 結果

2.1 PPG信號獲取

用DT9816采集PPG信號，其中采樣頻率為200 Hz。圖4（a）為實驗測得的一段時長為10 s的無噪聲PPG信號。

2.2 GPSR濾除MA

首先采用哈爾小波變換對信號稀疏表示，尋找信號的最佳稀疏域，結果顯示在表1中。可以看出恢復經過4級小波變換后的稀疏信號重建效果最佳，誤差最小。

表1 不同小波變換級數和稀疏度時的MSETab.1 The MSE of different wavelet decomposition levels and sparsity

圖4（b）是對圖4（a）利用GPSR算法稀疏恢復4級小波變換后的信號重建，圖4（c）是對圖4（a）的帶噪聲PPG信號，圖4（d）是對圖4（c）經過 GPSR恢復4級小波變換并重建后的圖形。可以看出，從圖4中也可得出與表1相同的結論。

測得3種類型噪聲的原始PPG信號如圖5（a）～7（a）所示，圖5（b）～7（b）為利用 GPSR 算法稀疏恢復后的波形，圖5（c）～7（c）為利用X＝ΨΘ重建后的無噪聲PPG信號。從這些圖中可以明顯看出，GPSR算法能有效去除帶噪PPG信號中的MA。但是，只通過波形圖不足以充分證明GPSR算法的可行與高效，因此分別計算重建信號與原始信號的心率以及MSE，并將其結果進行對比，進一步證明GPSR算法能明顯降低信號中的運動干擾。

2.3 心率與MSE的計算與顯示

圖8為垂直運動時重建PPG信號和帶噪PPG信號分別與參考信號心率差值的Bland-Altman圖，可以看出HR2-HR1的差值范圍在±23 beat/min，而HR3-HR1在±2.7 beat/min。計算重建信號和帶噪信號與參考信號的MSE，結果如圖9的 Box Plot所示。由圖可知，重建信號的MSE比原始帶噪信號降低了約50%。由此可得，GPSR算法能有效去除帶噪信號中的MA，降低運動干擾。

圖4 4級小波變換后的重建波形。（a）參考PPG信號；（b）用GPSR恢復（a）經過4級小波變換后的PPG信號；（c）是（a）的 PPG 信號被 MA 影響；（d）用 GPSR 恢復（c）經過4級小波變換后的PPG信號Fig.4 the reconstruction of the waveform after 4th level transforms.（a）Reference PPG signals；（b）PPG extracted from（a）with only the forth Haar wavelet transformation；（c）PPG in（a）corrupted with MA；（d）PPG extracted from（c）using the GPSR method with forth wavelet transformation

圖5 彎曲運動手指的PPG。（a）帶噪PPG信號；（b）GPSR算法進行稀疏恢復；（c）重建PPG信號Fig.5 Red PPG with “bending finger”.（a）Corrupted PPG signal；（b）Sparse recovery with GPSR；（c）Reconstruct PPG signal with GPSR

3 討論

本研究基于壓縮感知理論，利用GPSR算法對PPG進行稀疏恢復，并最終實現PPG信號的完美重建以及噪聲的高效濾除。

圖6 水平運動手指的PPG。（a）帶噪 PPG信號；（b）GPSR算法進行稀疏恢復；（c）重建PPG信號Fig.6 Red PPG with “horizontally waving the hand”.（a）Corrupted PPG signal；（b）Sparse recovery with GPSR；（c）Reconstruct PPG signal with GPSR

圖7 垂直運動手指的PPG。（a）帶噪PPG信號；（b）GPSR算法進行稀疏恢復；（c）重建PPG信號Fig.7 Red PPG with “vertically waving the hand”.（a）Corrupted PPG signal；（b）Sparse recovery with GPSR；（c）Reconstruct PPG signal with GPSR

在現有理論中，信號恢復的最基本依據是信號在某個變換空間是稀疏的，而噪聲的存在則破壞了信號在空間中的稀疏性。在使用優化算法恢復信號的同時，如果對帶噪信號采用單一的稀疏性約束原則，則無法有效恢復原始稀疏信號。這時，仍可以采用其他有效的恢復信號的方法，主要的不同之處在于：恢復過程所使用的優化目標函數的形式不同，參數的設置不同，不同的優化目標函數使得信號的恢復效果也不盡相同。

Reddy等提出利用循環傅里葉級數濾除PPG信號中的MA［21］。該方法的原理是將PPG信號中每一個相鄰的波谷到波谷之間的波形視為周期信號，利用傅里葉級數將這段信號展開；展開后再用逆變換恢復出原始信號，且逆變換時噪聲分量恰好為零，即可除去PPG信號中的噪聲。但在用循環傅里葉級數展開時，誤差隨著噪聲強度增加而增加，在劇烈運動情形下不再適用。本實驗測量3種類型噪聲信號，并分別利用GPSR算法進行處理，結果顯示GPSR算法能有效去除帶噪PPG信號中的MA。為進一步證明GPSR算法的有效性，另測50名健康成年人垂直運動時產生的帶噪PPG信號及其參考信號，噪聲強度隨機。通過心率與MSE的計算，結果均表明GPSR算法能有效降低運動中MA干擾。

圖8 重建PPG信號和帶噪PPG信號分別與參考信號心率的Bland-Altman圖Fig.8 Bland-Altman plot for the reference signals’heartrate with reconstructed and corrupted PPG signals respectively

圖9 重建信號和帶噪信號的MSEFig.9 The MSE of the reconstructed and corrupted PPG signals

Zhang等將問題歸結為信號稀疏重建，為方便稀疏恢復的應用，利用奇異值分析與差分運算移除信號中的MA［22-23］。該方法雖能有效恢復PPG信號，但是在移除MA時有兩個缺陷，一是MA只能部分移除，二是移除MA的同時可能將有用信號一并去除，不利于信號的有效恢復。而本研究利用哈爾小波對信號進行稀疏變換，保證了信號在稀疏時重要信息不被破壞，并通過實驗尋找信號的最佳稀疏域，使得恢復效率更高。由于本實驗中的信號和噪聲都是未知的，所以把尋找稀疏解問題歸結為帶約束二次規劃問題，利用GPSR算法恢復PPG信號并濾除信號中的噪聲干擾，結果顯示能高效恢復出原始PPG信號，且不會造成有用信號的遺漏。

4 結論

本研究提出利用GPSR算法稀疏恢復PPG信號并濾除原始信號中MA的技術方案。算法基于壓縮感知理論框架，利用哈爾小波尋找信號的最佳稀疏域對信號進行稀疏，并用GPSR算法將所得的稀疏信號從觀測集合中恢復，最后再重建的原始PPG信號即為無噪聲信號。為驗證GPSR算法的可行性，對受試者測量3組不同類型的噪聲：垂直運動手臂產生的MA、水平運動手臂產生的MA、彎曲運動手臂產生的MA，并同時測量無噪聲的參考信號。結果顯示，GPSR算法能有效去除帶噪信號中的MA。進一步，另測50名健康成年人垂直運動時產生的帶噪PPG信號與參考信號。計算測得的重建PPG信號和原始帶噪PPG信號的心率，并計算二者與參考信號心率的差值，畫出Bland-Altman圖；計算重建PPG信號和帶噪PPG信號的MSE。結果均表明，GPSR算法能明顯降低PPG信號中的運動干擾。

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Research on Gradient Projection for Sparse Recovery Algorithm in PPG Signals Reconstruction

Hu Kaili Jin Jie Zhang Ruifeng?
（School of Electronic Information Engineering，Tianjin University，Tianjin300072，China）

Photoplethaysmography（PPG）is a noninvasive technique that reflects blood volume changes in the vessel and plays a vital role in the diagnosis of cardiovascular diseases.Nevertheless，it is extremely susceptive to motion artifact（MA）caused by the objects’ intentional or unintentional movements and then affects the accuracy of the diagnosis results.To solve this problem，this paper employed the gradient projection for sparse recovery（GPSR）algorithm based on the compressed sensing（CS）theoretical framework.For the non-sparse signals，the CS theory mainly consist two steps：sparse and recovery.First，in order to ensure the significant information not be destroyed，the Haar wavelet base was used to find the best sparse field for sparse the signals.After that the MA was removed from the contaminated PPG signals while the sparse signals were recovered.During the experiment，three types of noise were measured，and then GPSR algorithm was used to process the noisy signals，results showed that the GPSR algorithm significantly reduced the movement interference in the signals.In order to make the conclusions more convincing，other 50 healthy adults with vertical movement of MA were measured，the heart rate and mean square error（MSE）of the original and reconstruct PPG signals were calculated.Comparing the obtained heart rates with the noiseless PPG signals’ heart rates through the Bland-Altman analysis method，it was shown that the range of the differences between the noisy and noiseless PPG signals were about ±23 beat/min，and the reconstructed PPG signals were about ±2.7 beat/min.The Box Plot chart indicated that the MSE of the reconstructed signals was reduced about 50%compared with that of the noisy signals.

gradient projection for sparse recovery；photoplethaysmography；compressed sensing；motion artifact

R318 文獻標志碼：A 文章編號：0258-8021（2017）05-0536-07

10.3969 /j.issn.0258-8021.2017.05.004

2016-08-03，錄用日期：2016-11-28

國家自然科學基金（61571320）

?通信作者（Corresponding author），E-mail：17561843858@163.com