函數Lipschitz連續的一個充要條件

彭康青，馬振明

（1.隴南師范高等專科學校，甘肅成縣 742500；2.西北師范大學，甘肅蘭州 730070）

函數Lipschitz連續的一個充要條件

彭康青1，馬振明2

（1.隴南師范高等專科學校，甘肅成縣 742500；2.西北師范大學，甘肅蘭州 730070）

導函數有界是函數f( x)在區間I上Lipschitz連續的充分條件，文章證明了它同時也是必要條件。

Lipschitz連續；有界；充要條件

在分析學科，特別在微分方程中，常要求函數Lipschitz連續[1]。于是，關于函數Lipschitz連續的判定就顯得十分重要。對于區間I上的可導函數我們已經知道，其導函數有界是其在I上Lipschitz連續的一個充分條件[2]。本文證明這一條件也是必要條件。

證明 設M是集合B的上界，即對任何x和x0∈I，且 x≠x0，有

由函數 在點x0∈I可導，即得，即M也是集合A的上界。

推論 supA=supB。

證 由supB是集合B的上界，即得supB也是集合A的上界，于是就有supA≤supB。

的上界，因此，又有supA≥supB。于是得supA=supB。

綜上，可以得出以下結論：

在區間[0，1]上的Lipschitz連續性。

解 該函數在區間[0，1]上可導。由定理3，考察其Lipschitz連續性可歸結為考察其導函數在區間[0，1]上的有界性，于是有

解 該函數在區間（0，+∞）內可導。由定理3，這里的問題是確定α的取值范圍，使函數在區間（0，+∞）內有界。易見 α＞1或 α＜0時在（0，+∞）內無界。

當 0＜ α＜1 時，注意到 x→0+時 sinxα～xα，就有

［1］東北師范大學微分方程教研室．常微分方程（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2005：78．

［2］馬振民．數學分析的方法與技巧選講［M］．蘭州：蘭州大學出版社，1999：51.

［3］王嬌嬌，李軍.局部 Lipschitz連續函數差的刻畫［J］.四川理工學院學報（自然科學版），2014，27（1）：94-97.

［4］劉亞軍，范勝君.用Lipschitz函數序列一致逼近一致連續函數［J］.高等數學研究，2015，18（5）：7-9.

A Sufficient and Necessary Condition for the Continuity of Function Lipschitz

PENG Kang-qing1，MA Zhen-ming2
（1.Longnan Teachers College,Chengxian 742500，China；2.Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China)

Derivative functionis bounded,which is the sufficient condition to assure the Lipschitz continuity of function in the interval I.In this paper we prove the condition is also necessary.

Lipschitz continuity；boundedness；sufficient and necessary condition

O17

A

1674-3229（2017）04-0009-02

2017-06-20

甘肅省隴南市科技計劃項目（2016-21）

彭康青（1968-），女，隴南師范高等專科學校數信學院副教授，研究方向：數學分析。