一種計算金融風險在險價值的新方法

喬霞， 藺富明

(四川理工學院數學與統計學院， 四川自貢643000)

一種計算金融風險在險價值的新方法

喬霞， 藺富明

(四川理工學院數學與統計學院， 四川自貢643000)

如何計算金融風險度量的在險價值(VaR)和預期不足(ES)一直是業界、學術界關心的課題?；诜治粩档霓k法計算在險價值(簡稱QVaR)直觀易于理解，但也有非常大的缺陷：QVaR度量只關注下方風險，即只給出一個損失的分位數，并未給出具體損失程度，而且對尾部極端風險不敏感。研究表明預期不足對尾部極端風險非常敏感而且給出了尾部損失的具體值，但預期不足不象在險價值那么易于理解和便于業界使用。針對上述問題，提出了一種基于2.5次冪期望分位數計算在險價值的方法(簡稱GEVaR)，核心是將非對稱最小二乘法的2次冪改為2.5次冪，其定義與傳統的期望分位數類似。研究表明一些情形下GEVaR對尾部極端風險的敏感性與ES相當。

金融風險度量；VaR；ES；k次冪期望分位數

引言

金融風險度量與管理一直是是金融管理機構和金融企業非常關心的核心問題。本文主要關注金融市場風險。較早的金融風險度量有靈敏度方法、波動性方法等。J.P.Morgan的風險管理人員于1994年提出著名的VaR(在險價值)方法，即度量處在一定風險下的資產價值，這一價值與一定的概率有關系。由于該方法直觀、易于理解和簡便實用，在各種度量金融市場風險的方法中脫穎而出。美中不足的是VaR不能區分不同風險水平的資產組合。作為VaR的有益補充，ES(預期不足)定義為資產超出VaR的平均損失大小，它具有次可加性，因此是一致風險度量方法[]。張慧麗[2]比較了兩類風險度量方法。Maganelli s等人[3]將VaR和ES的計算方法總結為三類：參數方法、非參數方法和半參數方法。參數方法核心是假設了資產收益率的分布，如假設為正態分布或t分布。非參數方法直接從數據獲得經驗分布，用此分布計算VaR，如著名的歷史模擬法。作為半參數方法的代表分位數回歸方法用于計算VaR得天獨厚，但此時計算的VaR對極端損失的大小不敏感[4]。Kuan c m等人[4]提出使用期望分位數和謹慎指數來調整、計算VaR(簡稱EVaR)，此時計算的VaR可以根據極端風險調整顯著性水平來更好度量風險。

現有文獻多采用Expectile回歸模型探討股票或指數的風險問題，蘇辛等人[5]提出了改進的條件自回歸Expectile(CARE)模型，將其運用到基金業績評價中。鐘山等人[6]以Expectile模型為基礎，結合CAViaR模型，構建出條件自回歸期望分位數模型，并以此計算收益序列的VaR和RS，研究表明模型在ES度量方面有著明顯的優勢。謝尚宇等人[7]擴展了Kuan c m等人[4]的條件自回歸模型(CARE)使其可以處理具有異方差的數據，即引入ARCH效應，提出了ARCH-Expectile模型。并應用Expectile間接評估ES和VaR風險大小，提出兩步估計法估計參數，分析了股票收益的風險。呂偉偉[8]利用GARCH模型計算基于Expectile的VaR作為輸入變量，進而分析各金融子行業的風險溢出效應的大小和方向。劉曉倩等[9]提出了AR模型的加權復合Expectile回歸(WCER)估計，并探討估計的最優權重，建立大樣本性質，將模型應用于恒生指數和標準普爾500指數進行實證分析。肖火平[10]采用Kuan等[4]的EVaR分析行業下端風險的影響因素及大小，并對各行業的風險進行排序和分析說明，同時也表明Expectile不僅可以應用于金融界，在其它領域也可使用。Minjo k等人[11]使用非線性期望分位數回歸模型估計條件ES和VaR，并研究了非線性期望分位數回歸模型參數估計量的漸近正態性。但Kuan c m等人[4]的Expectile方法顯示其EVaR敏感性低于ES。本文受文獻[4]的啟發，提出使用2.5次冪期望分位數回歸計算VaR，可以看作是EVaR方法的推廣，稱為GEVaR。隨機模擬和對比研究發現，本文的方法對極端風險的敏感性大于EVaR方法，幾乎與ES相同。對喜好用ES度量風險的金融風險管理者，GEVaR是一個非常好的選擇。

1 k次冪期望分位數回歸方法概述

1.1 基本概念

k次冪期望分位數回歸方法建立在損失函數上，

(1)

Y是一個隨機變量，最小化E(Qτ,k(Y-m))得到最小值點m0為Y的k次冪期望分位數。X是另外一個隨機向量，β是參數向量，最小化E(Qτ,k(Y-X'β))得到的X'β0是Y的條件期望分位數。k=1，m0為分位數，k=2，m0為期望分位數。

1.2 k次冪期望分位數與分位數之間的關系

當Y的分布函數為F，最小化E(Qτ,k(Y-m))得到的m0實際上是τ的函數，當τ取值在(0,1)時，容易看出m0是某個分布函數的取值。但此時的分布不再是F。反之，對給定的θ可以找到合適的τ使得F的θ分位數與τ-k次冪期望分位數相等。

2 VaR和ES方法概述

2.1 VaR方法概述

VaR的定義為：在正常的市場條件下，在一定展望期(Δt)內某一投資組合在給定置信水平α下，遭受的最大損失，滿足的數學關系式為Prob(Δr<-VaR)=1-α，其中，Prob表示概率，Δr=rt+Δt-r0表示組合在未來持有期Δt內的損失，r0表示組合在當前時刻的價值。VaR方法現在主要用在度量市場風險，當然在信用風險和操作性風險中也可以使用。VaR方法具有以下5個特點：(1)上述公式只有在市場處于正常波動時才有效，若市場出現極端情形時不能準確度量風險，此時一個可選擇的辦法是當市場出現極端情形時可以適當增加顯著性水平使得VaR可以更準確地度量風險。(2)VaR方法把各種市場風險因素統一成一個單一的值，在展望期和置信水平固定的情形下，VaR值越大組合風險越大，故常利用風險管理者了解各種組合的風險暴露和分配準備金。(3)在市場處于正常波動的狀態下，時間跨度很短時，根據市場有效性理論收益率接近正態分布，此時計算VaR的公式為σN-1(α)，其中σ為對應展望期組合收益率的標準差，N-1(·)為標準正態分布函數的反函數。(4)置信水平和展望期是影響VaR值的兩個基本參數。關于置信水平和展望期的選擇可以參考文獻[12-13]。(5)VaR不能描述風險的分散化特征。

2.2 ES方法概述

ES的數學定義為：ESα(X)=E(-X-X>VaRα)，詳細的論述可見文獻[14-15]。易見ES也是置信水平和展望期的函數。ES方法滿足Artzner等[1]給出的風險測度應滿足的一致性，它是VaR方法的重要補充。

3 2.5次冪期望分位數和分位數

3.1 兩類分位數之間的對應關系

假設隨機變量X的累積分布函數為F(x)，X的τ-2.5次冪期望分位數為：

(2)

直接計算ν(τ)滿足

(3)

式(3)右邊的分子剛好是隨機變量X偏離ν(τ)的偏差在X小于ν(τ)的加權平均，分母為X偏離ν(τ)的偏差加權平均，兩者的權重均為X的分布。反應出ν(τ)依賴尾部的平均取值情況和尾部概率，而分位數僅僅依賴于尾部概率。雖然ν(τ)的反函數ν-1(·)仍是分布函數，但一般情形下與F(x)不同，ν-1(·)與F(x)自變量相同時，函數值之間的對應關系見表1。

表1不同分布下θ與τ的對應關系

3.2 2.5次冪期望分位數、期望分位數及其ES對尾事件的敏感性分析

圖12.5次冪期望分位數、期望分位數和 ES隨c的變化速率

4 使用2.5次冪期望分位數回歸計算VaR值

總之，GEVaR是一個風險測度，在一個謹慎指數下，可以平衡潛在邊際損失和過度要求準備金導致的機會成本。這一點與期貨市場清算中的主要任務是一致的[17-18]。根據(3)式，GEVaR的謹慎指數考慮了尾部概率和尾部收益率的大小，而且其靈敏度與ES相當，而常用的QVaR僅考慮了尾部概率。基于期望分位數的EVaR雖然也同時考慮了尾部概率和尾部收益率的大小，但其靈敏度低于GEVaR和ES。

從GEVaR和QVaR的關系分析，GEVaR可看作一個可以根據潛在分布變化的QVaR。眾所周知，實際數據很多情況下只是局部平穩，收益率的分布極有可能由薄尾(厚尾)分布變為厚尾(薄尾)分布。在薄尾(厚尾)分布下對某一指定的概率θ計算QVaR，如果收益率的分布演變為厚尾(薄尾)，那么要用之前薄尾(厚尾)的QVaR來預測此時的QVaR，理想的做法是θ應變小(大)來得到對厚尾(薄尾)收益率的QVaR。實際分布是未知的，很難實現這樣的調整。QVaR中的概率θ一般是由風險管理者或監管部門設定。當分布發生變化時，QVaR不能及時的調整θ以度量真實的風險。相反，在給定的τ下，2.5次冪期望分位數在不同的分布下，對應于不同概率θ的分位數(表1)。因此，可以在給定的謹慎指數τ下，計算GEVaR，根據表1，得出此時分位數的θ的變化，這樣數據的變化可以反映出真實風險的變化。

5 結論與展望

本文給出了一種新方法計算金融風險在險價值，即基于2.5次冪期望分位數的方法。隨機模擬研究發現該方法不僅對尾部概率和尾部收益率敏感，而且在某些情形下其敏感性與ES相當。基于本文的方法，還可以進一步考慮其它模型，如加風險因子思考2.5次冪期望分位數回歸，甚至考慮某種動力模型，這將是以后研究的方向。

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A New Method to Calculate VaR of Financial Risk

QIAOXia,LINFuming

(School of Mathematics and Statistics, Sichuan University of Science & Engineering, Zigong 643000, China)

How to calculate the value-at-risk (VaR) and expected shortfall (ES) in financial risk measurement has always been an interesting issue for people in academia and industry. Calculation of value at risk based on quantile methods (hereinafter referred to as QVaR) is intuitive and easy to understand, while there is a very big flaw: QVaR only focuses on downside risk, which provided a quantile of the loss, but did not give a loss rate; QVaR is also not sensitive to the tail extreme risk. Some studies showed that ES is sensitive to the tail extreme risk and gives the specific value of the tail loss, but ES is not as easy to understand as VaR and does not facilitate the industry use. According to the above problem, a method for calculating VaR based on 2.5-th power Expectiles (hereinafter referred to as GEVaR) has been put forward. Replacing twice power with 2.5 times power in the asymmetric least squares, its definition is similar to that of existing expectile. The random simulation study shows that GEVaR is as sensitive to tail extreme risk as ES in some cases.

financial risk measurement; VaR; ES; k-th power expectile

1673-1549(2017)06-0093-05

10.11863/j.suse.2017.06.17

2017-09-17

四川理工學院研究生創新基金(y2016026)；四川理工學院教材研究專項經費(B11704001)

喬 霞(1992-)，女，甘肅文縣人，碩士生，主要從事金融統計方面的研究，(E-mail)1156784002@qq.com

藺富明(1980-)，男，山西大同人，副教授，博士，主要從事極值理論、統計建摸方面的研究，(E-mail)linfuming20062015@163.com

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