高中數學中復數的運算方法

曾寅震 湖南省長沙市第一中學

高中數學中復數的運算方法

曾寅震 湖南省長沙市第一中學

在高中數學復數部分知識學習過程中，很多同學都覺得其運算方法不好掌握，在解題計算時很容易出錯。為了幫助同學們厘清復數的運算方法，文章圍繞復數的相關概念展開，通過詳細解答例題的方式復數的運算方法。

高中數學 復數 運算方法

復數相關知識在高中數學學習中是相對比較基礎的知識，其原理比較簡單，教材的描述也比較具體。復數的運算過程與平常的實數運算方式具有差異，在計算時很容易出錯。為了減少失誤，準確的解答出與復數計算相關的題目，需要對其計算方法進行細致研究。

1 復數概念解析

在高中的數學教材中，其對復數的定義主要是根據實數和新數這兩個概念來進行推導的，實數的運算法則大家都比較熟悉。在實數的基礎上增加新數i，并將其記作a+i，然后再用實數b與i相乘，并記作bi，然后再將兩則運算相加，并得到復數的形式a+bi，其中，a、b都屬于實數R。經過查閱相關文獻后，筆者發現人們對復數的認識存在前后兩個階段。第一個階段是復數的產生主要是人們在數學領域中，求解某些三次方程時發現了負數開平方的形式，并且部分三次方程的三個實數根客觀存在。而這與人們之前的認知之間存在矛盾之處，為了解釋這一問題，人們便引入了復數這一概念，并將其看做部分三次方程的形式解。第二階段是人們發現在研究平面旋轉運動時，復數及其運算能夠為其建立有效模型，復數理論被人們認知并得到了重視。復數與實數一樣，也存在四則運算，但其計算形式與結果內涵與實數不同，復數具備典型的二元數特征，其自身極具奧妙性。

2 復數的運算方法分析

2.1 復數的運算法則分析

復數與實數一樣，具有加法、減法、乘法、除法等運算法則，復數的加法運算法則是假設X1=a+bi，x2=c+di，那么x1+x2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。在復數的加法運算法則中，復數的實部和與虛部和都是相互對應的，并且其結果也仍然是復數。復數的加法原則滿足實數加法原則中的交換律和結合律，即三個任意的復數相加，在進行計算時其兩兩之間的順序是可以打亂的。復數的減法原則是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，其實部差與虛部差都是相互對應的，并且其結果也仍然是復數。復數的乘法原則是假設X1=a+bi，x2=c+di是兩個任意的復數，并且a、b、c、d都屬于實數R，那么，X1乘以x2就可以表示為（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+(bc+ad)i，實質上就是將其多項式相乘并展開，合并，然后就得到上述結果。復數乘以復數之后，其結果仍然是復數。復數的除法原則是若滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復數x+yi(x，y∈R)叫復數a+bi除以復數c+di的商。在解答復數的除法運算時，可以像實數一樣，將其轉化為乘法運算，只不過需要在其分子分母上同時乘以分母的共軛，實質上就是變換其加減號。除法的運算法則是：設復數a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商為x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi(x，y∈R)

因為，(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i．

所以(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi．

所 以 就 有(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/ (c^2+d^2)i

2.2 復數的運算方法分析

例題1：如果有（4+2i）+(3+8i)，試求其值。

此題是一道明顯的復數加法運算題目，在進行解答時只需要根據其加法運算法則(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i進行帶入計算即可。題目中（4+2i）+(3+8i)=（4+3）+（2+8）i=7+10i。所以題目的答案是（4+2i）+(3+8i)。

例題2：計算（5-6i）+(-2-i)-(3+4i)

解：根據復數加法和減法運算法則可知，在解答此題目時只需要將其實部部分與虛部部分分別相加減即可。即（5-2-3）+（-6-1-4）i=-11i。

通過上面的幾道例題可以看出來，復數的所有運算方法都是根據其運算法則而來。要想做好與復數相關的計算題，就必須要牢固掌握其四則運算法則中的具體內容，并在課后多加練習。隨著后續內容的學習，復數的運算不僅僅停留在加減乘除這種簡單的算法中，其還會涉及到指數運算。其指數運算規則是，當i的指數是奇數時，那么其值便是1，如果i的指數是偶數，那么其值便是-1。比如在計算i+i2+i3+、、、i2006這一道題時，需要先將原來的式子進行展開，并尋找其中的規律，然后按照復數指數的相關法則進行計算。其具體計算過程是i+i2+i3+、、i2006=（i+i2+i3+i4）+（i5+i6+i7+8）+、、、（i2001+i2002+i2003+i2004）+i2005+i2006=0+i+i2=i-1．如果不了解復數的指數運算法則，此道題目是難以解決的。

在高中數學復數的學習中，不僅要厘清復數的概念，還需要牢固掌握其四則運算法則，并記住其具體運算公式。只有這樣，才能在解答相關計算題目時游刃有余，并提高其正確性。

[1]康連霞.復數解題的常用技巧[J].教育實踐與研究，2001，08:41-42

[2]李立.復數乘法運算的優化方法研究與實現[J].電子設計工程，2013，(13):156-158+161