平面內(nèi)直線與二次曲線分有向線段所成的比

趙鳳鳴

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系，四川 遂寧 629000）

平面內(nèi)直線與二次曲線分有向線段所成的比

趙鳳鳴

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系，四川 遂寧 629000）

給出了平面內(nèi)直線與二次曲線分有向線段所成的比的公式，得到了平面內(nèi)梅涅勞斯定理的必要條件的兩個推廣．

直線；二次曲線；有向線段；梅涅勞斯定理

我們知道，在直角坐標(biāo)平面中求兩直線的交點(diǎn)，通常是要解兩直線的方程構(gòu)成的方程組，但是，如果已知兩點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo)及直線l的方程，要求l與直線P1P2交點(diǎn)P，則用如下定理1先求出點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比λ，再用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式通常要方便得多．

定義1設(shè)點(diǎn)P1,P2不在直線l上，l與直線P1P2交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比λ叫做直線l分有向線段P1P2所成的比.若λ＞0，則稱l內(nèi)分有向線段P1P2，若λ＜0，則稱l外分有向線段

P1P2．

按定義，直線l分有向線段P1P2所成的比λ=下面在直角坐標(biāo)平面內(nèi)研究直線分有向線段

所成的比．

定理1設(shè)直角坐標(biāo)平面xoy內(nèi)點(diǎn)P（1x1,y1），P2（x2,y2），直線 l:Ax+By+C=0 交直線 P1P2于點(diǎn) P（異于P2），l分有向線段 P1P2所成的比為 λ，則

例1求兩點(diǎn)P1（-5,2），P2（1,3）所在直線與直線17x+52y+7=0的交點(diǎn)．

定義2設(shè)點(diǎn)P1,P2不在二次曲線l上，l與直線P1P2交于點(diǎn)Q1,Q2，則點(diǎn)Q1,Q2分有向線段P1P2所成的比λ1,λ2叫做直線l分有向線段P1P2所成的比．若 Q1,Q2重合，即 l與直線 P1P2相切，此時 λ1=λ2．

定理2直角坐標(biāo)平面xoy內(nèi)兩點(diǎn)P1（x1,y1），P2（x2,y2） 不在二次曲線 l:f（x,y）=0 上，l分有向線段P1P2所成的比為 λ1,λ2，則

證明：設(shè)l:f（x,y）=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，l與直線P1P2交于點(diǎn)Q1,Q2，則點(diǎn)Q1,Q2分有向線段P1P2所成的比λ1,λ2，現(xiàn)以Q表l與直線P1P2的任意交點(diǎn)，點(diǎn)Q分有向線段P1P2所成的比為λ，則QQ的坐標(biāo)代入f（x,y）=0并整理成關(guān)于λ的一元二次方程f（x2,y2）λ2+g（x1,y1,x2,y2）λ+f（x1,y1）=0，則λ1,λ2是此方程的兩根，故λ1λ2=

推論 直角坐標(biāo)平面 xoy內(nèi)兩點(diǎn) P1（x1,y1），P2（x2,y2）不在二次曲線l:f（x,y）=0上，l與直線P1P2交于點(diǎn)Q1,Q2，若f（x1,y2）=f（x2,y2），則P1Q1=Q2P2．

[1]葉立軍.初等數(shù)學(xué)研究[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2008：201．

O 182.1；O 123.1

A

1672-2094（2017）05-0167-02

2017-08-27

趙鳳鳴（1982-），女，四川閬中人，四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，碩士。研究方向：近世代數(shù)，初等數(shù)論．

張隆輝