解析函數的主要性質綜述

一、導引

解析函數是一類具有某種特性的可微函數，它將我們所熟悉的數學分析中的一些內容推廣到復數域上并研究其性質。本文通過搜集材料，系統總結了解析函數的幾個主要性質：解析函數的唯一性、零點的孤立性、零點的分布問題、解析函數在無窮遠點的性質、解析變換的特征及解析函數、共軛解析函數和復調和函數之間的關系，并通過舉例進行了深入、詳細的分析。

二、預備知識

1.定義 如果函數 在區域D內是可微的，則稱 為區域D內的解析函數。

復變函數中解析函數的充要條件有多種形式，最常見的有以下幾種。

2.定理 函數 在區域D內解析的充要條件：

A（1）二元函數 在區域D內可微；

（2） 在D內滿足 方程。

B（3） 在D內連續；

（4） 在D內滿足 方程。

C 在D內任意一點 的鄰域內可以展成 的冪級數，也就是泰勒級數。

D C為D內任意一條周線，則 。

三、解析函數的主要性質

1.解析函數的唯一性

定理 （解析函數的唯一性）如果函數 在區域D內解析， 是D內彼此不同的點，并且點列 的極限點 ，若有 ，則在D內必有 。

根據定理我們可得到以下結論：

推論1 如果函數 在區域D內解析，且在區域內某點的鄰域內有 ，則在D內必有 。

推論2 如果函數 在區域D內解析，且在區域D內某一曲線上有 ，則在內必有 。

2.解析函數零點的孤立性

定理 如果在 內的解析函數 不恒為零， 是 的一個零點，則必存在 的一個鄰域使得 在其中無其他零點。（即：不恒為零的解析函數的零點具有孤立性）

此性質是解析函數的特殊性質，實函數不具有此性質。

3. 解析函數零點的分布問題

解析函數的零點的分布問題是復變函數論中的一個重要問題，一下就復多項式 的零點可以全部分布在一個指定的區域內這個問題進行討論。

定理1若復平面上多項式 在虛軸上無零點，則它的零點全分布在右半平面上的充要條件為 。

定理2若復平面上多項式 在實軸上無零點，則它的零點全分布在上半平面

的充要條件為 。

四、解析變換的特性

解析函數的特性是從幾何的角度對解析函數的性質和應用進行討論。

1.解析變換的保域性

定理1 （保域定理）如果 在區域D內解析且不恒為常數，則D的像 也是一個區域。

由保域定理可得以下定理：

定理2 如果函數 在點 解析，并且 ，則可得 在 的一個鄰域內單葉解析。

2.解析變換的保角性導數的幾何意義

為了引出保角定理，先給出導數及其模的幾何意義。

像曲線在點 的切線方向，可由原曲線在點 的切線正向旋轉一個角 得出， 只與 有關，與過 的曲線C的選擇無關，稱為變換

在點 的旋轉角。這就是導數輻角的幾何意義。

由 可知，像點間的無窮小距離與原像點間的無窮小距離之比的極限是R，它僅與 有關，與過

的曲線C的方向無關，稱為變換 在點 的伸縮率。也就是導數模的幾何意義。

定理 設函數 在區域D內解析， ，在點 有 。則函數 在點 處具有保角性。

綜上可得：解析函數在導數不為零的地方具有旋轉角不變性和伸縮率不變性。

3.單葉解析變換的共形性

定義 如果 在區域D內是單頁且保角的，就稱此變換 在D內是共形的，也稱它為D內的共形映射。

注：解析變換 在解析點 如果有 （由

在 的連續性，必在 的鄰域內 ），所以 在點 保角，從而在 的鄰域內共形；在區域D內

共形，必然在D內處處共形。但反過來不一定真。

定理1 設 在區域D內單葉解析則

（1） 將D共形映射成區域 。

（2）反函數 在區域G內單葉解析且

注：定理1的逆也真，即“若 將區域D共形映射成區域G，則 在D內單葉解析”。

共形映射理論的基本任務是，給定一個區域D及另一個區域G，要求找出將D共形映射成G的函數

以及唯一性條件。

顯然，兩個共形映射的復合仍然是一個共形映射。具體地說，若將區域D共形映射成區域E，而 將共形映射成區域G，則 將區域D共形映射成區域G，利用這一事實，可以復合若干基本的共形映射而構成較為復雜的共形映射。此處不作深入討論。

通過以上的歸納總結，我們知道了解析函數的幾個主要性質，希望從本文的學習中有所收獲，為學習其他知識奠定良好的基礎。

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[5]崔書英，解析函數零點的分布問題[J].山東教育學院學報，2005，20（1）.

（作者單位：臨汾市鄉寧縣第三中學）