“猜想與驗證”的內涵、價值及教學運用

什么是科學的方法？如果用一句話回答，那么它應該是“猜想與驗證”。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下稱為“修訂版”）特別強調，要通過多樣化的活動來培養學生的推理能力。第一學段，要求“在觀察、操作等活動中，能提出一些簡單的猜想”；第二學段，要求“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力”。在小學階段，發展學生的合情推理能力，應當建立在觀察、實驗的基礎之上；教師在引導學生經歷觀察、實驗的過程后，要適時啟發學生提出猜想或得到初步結論；由于這些結論很可能帶有一定的或然性，因此，還得進行必要的驗證。盡管驗證不同于演繹推理的嚴格的證明，但是基于歸納的猜想，未曾被驗證推翻，這樣的推理也就“合情”了；缺少了這一步，合情推理能力也難以真正得到發展。與獲得結果相比，讓學生充分經歷“觀察、實驗、猜想、驗證”的過程是最重要的。可見，學會“猜想與驗證”應成為學生的自覺意識和基本能力。

一、厘清“猜想與驗證”的基本內涵

數學方法理論的創導者波利亞對于猜想做了深入研究，著有《數學與猜想》一書。波利亞曾說，在數學領域中，猜想是合理的、值得尊重的，是負責任的態度；在數學教學中必須有猜想的地位；教學必須為發明作準備，或至少給一點發明的嘗試；無論如何，教學不應該壓制學生中間的發明萌芽。波利亞認為，在有些情況下，教猜想比教證明更重要。牛頓先生也曾說：“沒有大膽的猜想，就作不出偉大的發現。”

數學猜想實際上是一種數學想象，是人的思維在探索數學規律、本質時的一種策略。它是建立在已有的事實和經驗上，運用非邏輯手段而得到的一種假定，是一種合理推理。數學猜想能縮短解決問題的時間；能獲得數學發現的機會；能鍛煉數學思維。數學猜想并不是胡思亂想，基本思維模式是：問題→反復思索→聯想、頓悟→提出假說→驗證結論。歷史上許多重要的數學發現都是經過“猜想”這一非邏輯手段而得到的。例如著名的“哥德巴赫猜想”等。

二、審視“猜想與驗證”的價值意義

（一）有利于滲透“模型思想”

史寧中教授認為，數學思想可歸納為三個方面的內容，可以用六個字表達：抽象、推理和模型。“模型思想”是一種基本的數學思想。小學階段的數學模型的建立，雖然過程簡化，但基本上也要經歷“猜想與驗證”的過程。這就是說，小學數學中模型的建立與大學數學中的數學建模，雖然在知識層次、目標定位、方法運用上千差萬別，但其“作出合理假設（提出猜想）—驗證結果（驗證猜想）”的內核是一致的。所以，在小學階段滲透模型思想最有效、最直接的辦法就是大力培養學生“提出猜想—驗證猜想”的科學精神。對于小學生提出的猜想，無論正確與否，只要是基于他們的經驗，FfUz3nCoxJUdHGW3xBb3M2oYH4qTcFnyFDUwKfMeNq4=經過認真的思考，而不是胡猜亂說，教師都應該給予積極的正面回應。因為，真正的數學建模和科學研究一樣，沒有一猜就對、一猜就準的，往往要經歷多次失敗。而成功的秘訣之一，就是不畏懼失敗，敢于再次提出猜想。因此，培養小學生猜想與驗證的精神，重點不在于他們猜得有多準，而在于使他們“敢于猜想、樂于猜想”的意識，并養成“主動驗證、自覺驗證”的習慣，這是體會和形成模型思想所必需的。

（二）有利于訓練發散思維

所謂發散思維，就是想法多、點子多，不易受局限，不易拘泥于某個狹窄的范圍。所謂思維的發散力強，就是常有異想天開的主意想出來，能夠想到常規所難以達到的方面去，能夠提出別人意想不到的見解，不僅點子多，而且新穎獨到。小學生的思維方式大多是比喻的、聯想的、歸納的、形象的、直觀的。顯然，他們的歸納是不完全的，卻又是大量的。因此，在進行嚴格的收斂性思維訓練的同時要繼續保持和發展思維發散的特點，從而使學生既會收斂、論證，又會猜測、發現。學生不斷學習猜想，嘗試進行猜想，有意地促使自己去猜想，做猜想的訓練，這十分有利于培養和改善學生良好的思維品質。“猜想與驗證”就好比是一座金色的大橋，它讓學生更暢快地通往前方，讓學生更聰明，讓學生有更多的機會走向發明創造。

（三）有利于激發創造力

培養學生的思維能力，引導學生通過數學學會思維，是數學教育的核心目標。《義務教育數學課程標準（實驗版）》（以下稱為“實驗版”）明確指出：“學生初步邏輯思維能力的形成，需要有一個長期的培養和訓練過程，要有意識地結合教學內容進行。”“修訂版”將“實驗版”“教學目的”中培養學生“初步的邏輯思維能力”修改為“初步的思維能力”。表明我們在數學教學中要注意培養學生全面的思維能力，包括邏輯思維、形象思維和直覺思維。綜觀歷年來的教學大綱與數學課程標準，對于“數學思維培養”的認識在提高、觀念在更新，說明小學數學教學只重視邏輯思維能力的培養是不夠的，還需要發展學生的形象思維和直覺思維。數學猜想實際上是一種創造性思維，“猜想與驗證”有利于鼓勵學生用多種思維形式思考問題，有利于學生解決問題策略的多樣化，從而可以更好地培養和激發學生的創造力。

三、探尋“猜想與驗證”的教學運用

在小學數學教學中，重視學生數學猜想能力的培養，就是要選擇合適的題材，把握好教育與訓練的時機，讓學生經歷從具體事例提出猜想的過程，教會學生猜想，進行合情推理，使學生獲得探究、發現和驗證的體驗，從而訓練學生數學猜想能力。那么，如何在數學教學過程中合理運用與有機滲透呢？下面試通過具體的案例來談談自己的教學策略。

（一）歸納性“猜想與驗證”的教學運用

數學家高斯說過：“數學中許多方法與定理是靠歸納法發現的，證明只是補行的手續而已。”歸納猜想是從個別或特殊的事物的判斷，擴大為同類一般事物的判斷，這種思維過程稱為歸納猜想。教學中，數學概念的形成和法則的概括以及解題就應體現出歸納思想，要盡量通過直觀圖形的觀察，或讓學生自己動手借助于實物的討論，在有了豐富感性認識的基礎上提出猜想，進而歸納出相應的法則、性質和公式。在新知教學中要充分展示“發現新知的探究過程”，充分展現“獲取新知的思維過程”，給學生充分的探索、歸納、發現的機會，培養學生初步的推理能力。如在教學“除數是整數的分數除法”時，有如下的教學片斷。

師：教材的圖中是一個長方形，把它涂色的部分平均分成2份，每份是這個長方形的幾分之幾？

（二）類比性“猜想與驗證”的教學運用

類比猜想是根據兩個或兩類對象之間在某些方面的相似或相同，從而猜測它們在其他方面也可能相似或相同的一種猜想。教學中，我們既要讓學生敢于自己去進行類比猜想，不怕失敗；同時還要正確地指導學生進行合理的類比，講清原則和作用。引導學生用類比推理作出合理猜想，再用嚴格的邏輯推理加以驗證，這是我們數學發現和解決問題的基本而重要的思想方法。

在新知教學過程中，對于新舊知識緊密聯系的內容，要抓住連接點，創設一定的問題情境，充分調動原有知識和經驗，使學生能借助舊知產生“正遷移”，憑借“猜想—驗證”的途徑，先建立“類比猜想”， 然后從不同角度來驗證猜想，利用類比猜想來“創造”新知。要從學生的思維實際出發，順應學生思路而又高于學生思路，引導學生從不同角度來探索問題，充分經歷“類比猜想”的過程，從數學猜想走向數學發現，體現知識的“再創造”過程。

1.培養學生主動獲取新知的能力

例如，在“平行四邊形的面積”教學中，重點是理解和掌握平行四邊形面積的推導過程，難點是啟發學生想到“新舊”知識的轉化。

師：先出示一個長方形（如圖1），它的面積怎樣求？

生1：長方形的面積=長×寬：6×4=24（平方厘米）

師：又出示一個平行四邊形（如圖2），它的面積怎樣求？

此時，有些學生開始認為是鄰邊相乘：6×5=30（平方厘米）。

師：你是怎樣想到的？

生2：因為長方形的面積等于長乘以寬，我猜想平行四邊形的面積也可能是鄰邊相乘。

師：剛才，同學們能借助原有的知識進行大膽猜想，這種學習精神很值得提倡。那么，這種猜想是否正確呢？下面我們一起來驗證這個猜想。

師：請同學們觀察一下，上面的長方形和平行四邊形，究竟誰的面積大？

生3：我們可以用數方格的方法來比較它們的大小。（利用多媒體覆蓋上小方格）長方形共有小方格6×4=24（個）；平行四邊形中整格的有18個，不滿一個的可以拼一拼，如圖3，一共又可以拼出6個，18+6=24（個）。

師：對于平行四邊形，怎樣數小方格可以更快些？

生4：在數平行四邊形的小方格時，我們可以沿著它的一條高剪下來（如圖4），將它移到右邊，拼成一個長方形，就能很快數出它有24個小方格。

生5：還可以沿著另一條高剪下來，也拼成一個長方形。

師：通過數方格，你發現了什么？

生6：我發現長方形的面積和平行四邊形面積相等。

生7：我發現剛才的猜想是錯誤的，如果用鄰邊相乘來求平行四邊形的面積比它的實際面積偏大了。

生8：我發現將平行四邊形變成長方形后，它的形狀變了，但它的面積沒有變。

師：那么，究竟怎樣計算平行四邊形的面積呢？

師：（放手讓學生去探索）請同學們進行小組討論。

生9：從剛才數方格的過程中，我發現可以將平行四邊形轉化長方形。

上述教學，我從學生的思維實際出發，順應學生思路大膽建立猜想，進而驗證猜想，讓不同層次的學生都有發現、創新的機會。這樣，一方面驗證了猜想是否正確；另一方面滲透了平移和轉化的數學思想方法，為學生下面獨立獲取新知（將平行四邊形轉化為長方形）創造了非常重要的條件。

在鞏固練習或解題教學中，先對問題作初步的邏輯分析，然后再依據已有的知識和經驗，引導學生作出逼近結論的類比猜想。最后，再加以檢驗、修改和驗證，真正做到“大膽猜想、仔細驗證”。

2.“猜想與驗證”相結合

在學習圓柱的表面積和體積之后，我出示了以下這道題。

把一個底面積為24平方厘米的正方體木塊。削成一個最大的圓柱體，然后在圓柱體的表面涂上油漆。油漆的面積是多少？

學生們議論紛紛。大家都認為要求圓柱的表面積，需要知道底面直徑（或半徑）以及圓柱的高。可這道題只告訴我們正方體的底面積是24平方厘米，底面（正方形）的邊長求不出來，怎么辦呢？

一些善于思考的學生聯想到以前做過的與今天的題目有點相似的一道題。

已知正方形的面積是10平方厘米，求正方形內最大圓的面積。（如圖5）

當時，我們也無法求出正方形的邊長。就設圓的半徑為r，找到了圓與正方形面積之間的關系：

S圓÷S正方形=（πr2）÷（2r）2 =πr2 ÷4r2=78.5%

上面這道題中圓柱的表面積與正方體表面積會不會也存在類似這樣的規律呢？即圓柱的表面積是不是占正方體表面積的78.5%呢？

我們就列式計算，進行驗算。設圓柱底面半徑為r，正方體的棱長為2r。

S圓柱體÷S正方體=（2πr2+2πr×2r）÷（2r×2r×6）=6πr2 ÷24r2=78.5%

說明剛才的猜想是正確的。于是，我們可以很快求出油漆的面積（圓柱的表面積）為：24×6×78.5%=113.04（平方厘米）。

此時，愛思考的學生還可以大膽猜想：題中的圓柱體的側面積占正方體側面積的百分率、圓柱體的體積占正方體體積的百分率，會不會也是78.5%呢？經過驗證，猜想是正確的。

S圓柱側÷S正方體側=（2πr×2r）÷（2r×2r×4）=4πr2 ÷16r2=78.5%

V圓柱體÷V正方體=（πr2×2r）÷（2r×2r×2r）=2πr3 ÷8r3=78.5%

從上面可以看出：“大膽猜想”是探索規律、解決問題的重要條件。在解題教學中，我們既要讓學生大膽猜想，又要引導學生仔細驗證，并能依據條件或經驗作出合理的“類比猜想”，讓學生在觀察、討論、交流、猜測的過程中，學會思考，學會推理。

（三）探索性“猜想與驗證”的教學運用

歸納性猜想和類比性猜想都是根據已有的事實，經過觀察、猜想、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后再提出猜想的。波利亞曾說：“我想談一個小小的建議，可否在學生做題之前，讓他們猜想該題的結果，或者部分結果。”在解決問題時，如果能先對問題作初步的邏輯分析，然后再依據已有的知識和經驗，引導學生作出逼近結論的猜想。最后，再加以檢驗、修改和驗證。我們把這種帶有探索推理性的猜想稱為探索性猜想。

波利亞曾說：“我想談一個小小的建議，可否在學生做題之前，讓他們猜想該題的結果，或者部分結果。”這樣解題，使邏輯思維因素和非邏輯思維因素交織在一起，兩者協同作用，有利于激活思維，開闊思路，把握問題的關鍵，提高分析問題、解決問題能力。

解題教學中，既要注重算理，又要合理估計結果，并能根據條件合理作出猜想，培養思維的創造性。引導學生從不同角度來探索，在探索過程中經歷“先猜想、后驗證”的體驗與經歷，將觀察、分析、假設、驗證交織在一起，不斷提高學生發現問題、提出問題和解決問題的能力。如在數學活動課上，我出示以下一道求解題。

正方形ABCD和正方形CEFG，如圖6排列，且正方形ABCD邊長為10厘米，則圖中陰影（三角形BFD）部分面積為 平方厘米。

讀完題后，學生們議論紛紛。

生1：這道題缺少條件。因為S△BDF=S正方形ABCD+

S梯形CEFD-S△ABD-S△BEF，由于小正方形CEFG的邊長未知，所以無法求出它的面積。

生2：小正方形CEFG的邊長未知？我們可以設小正方形邊長為一個具體的數，比如6，則S△BDF=10×10+（10+6）×6÷2-10×10÷2-（10+6）×6÷2=50（平方厘米）。

師：假設具體數進行運算，會懷疑題目是否缺少條件，我們不妨設一個字母參加運算，看能不能得到同樣的答案。

生3：于是將6換成字母a，列出算式：S△BDF=10×10+（10+a）×a÷2-10×10÷2-（10+a）×a÷2=50（平方厘米），算式中畫“ ”部分可以相互抵消，求得結果還是50平方厘米。

師：是啊，字母a在計算過程中消失了！

生4：說明答案與小正方形邊長的大小無關。

生5：50平方厘米正好是大正方形面積的一半。

生6：我猜想陰影部分BDF與BCD的面積相等。

師：那么，這個猜想是否正確呢？（請小組討論）

S△BEF=BE×EF÷2=（BC+CE）×EF÷2

S梯形CEFD=（EF+CD）×CE÷2

BC=CD CE=EF

所以，三角形BEF與梯形CEFD面積相等，兩者同時去掉公共部分梯形CEFH的面積，得到的△BCH與△DFH面積相等。

即S△BDF=S△BCD=10×10÷2=50（平方厘米）。

師：可見，要求陰影部分的面積，實際就是求三角形BCD的面積。

在上面的教學中，教師給學生提供了自主探索的機會，讓學生在觀察、討論、交流、猜測的過程中，經歷數學的學習過程，從中探索規律。引導學生從不同角度去分析、解決問題，逐步培養了學生探索和解決問題的能力。教學中，既讓學生說算理，又引導學生估計結果，并能依據條件作出“合理猜想”，從中學會科學的思維方法。

綜上所述，讓學生充分經歷探究、發現、猜想和驗證的過程，合理有機地滲透數學思想方法，培養學生初步的數學推理能力，有利于從小培養學生確立科學態度和學習科學的思維方法。

（作者單位：江蘇省丹陽市華南實驗學校）

（責任編輯：楊強）