勾股定理解題的注意事項(xiàng)分析

【摘要】：勾股定理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中較為重要的定理之一，熟練應(yīng)用勾股定理具有重要意義，勾股定理的綜合應(yīng)用涵蓋了定理應(yīng)用、定理證明方法應(yīng)用，同樣也包括了證明方法當(dāng)中蘊(yùn)含思想的應(yīng)用。在學(xué)習(xí)勾股定理的過(guò)程中，要對(duì)其中所含有的數(shù)形結(jié)合思想方法形成正確的理解。本文對(duì)勾股定理在構(gòu)建方程模型、直角三角形構(gòu)造解題中的應(yīng)用進(jìn)行了分析，繼而提出了勾股定理解題的注意事項(xiàng)，以引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用勾股定理時(shí)運(yùn)用創(chuàng)新思維，同時(shí)，有助于學(xué)生在運(yùn)用勾股定理時(shí)，能夠正確認(rèn)知直角邊與斜邊，區(qū)分定理與逆定理以及明確勾股定理應(yīng)用條件，規(guī)范解題語(yǔ)言，從而不斷培養(yǎng)自身利用數(shù)形結(jié)合思想解題的習(xí)慣與能力，以提升解題效率。

【關(guān)鍵詞】：勾股定理；解題；注意事項(xiàng)

勾股定理將直角三角形三個(gè)邊長(zhǎng)之間的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行了揭示，具體表現(xiàn)在三邊的特殊平方關(guān)系，在研究幾何圖形問(wèn)題方面提供了全新的路徑，所以實(shí)際的應(yīng)用范圍廣泛。在高中學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程中，勾股定理也占據(jù)重要地位，我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中，會(huì)受理解不到位或者是條件與結(jié)論把握不全面等因素的影響而出現(xiàn)解題錯(cuò)誤的情況。那么，在利用勾股定理解題的時(shí)候，一定要注意相關(guān)運(yùn)用事項(xiàng)，只有這樣，才能夠提高解題正確率。由此可見(jiàn)，深入研究并分析勾股定理解題的注意事項(xiàng)具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

一、勾股定理的具體應(yīng)用

（一）應(yīng)用于構(gòu)建方程模型解題方面

眾所周知，方程主要以數(shù)的形式存在，而幾何則是以形的形式存在。勾股定理的應(yīng)用有效地融合了方程和幾何兩種內(nèi)容，通過(guò)構(gòu)建方程來(lái)求取幾何圖形線段長(zhǎng)度也逐漸成為常見(jiàn)的數(shù)學(xué)方法。

例題一：如圖一所示，∠ACB 是90 度，而AD 則是∠CAB 的平分線。

其中，BC 的長(zhǎng)度是4，而CD 的長(zhǎng)度是23，試求出AC 的長(zhǎng)度。

例題分析：充分結(jié)合軸對(duì)稱的知識(shí)內(nèi)容，可以利用輔助線，作DE⊥AB，交點(diǎn)為E，進(jìn)而構(gòu)造出全等三角形。在此基礎(chǔ)上，假設(shè)AC的長(zhǎng)度是x，即可使用含有x 的方程式來(lái)代表AB 的長(zhǎng)度，結(jié)合勾股定理形成方程并求取結(jié)果。

求解過(guò)程：經(jīng)過(guò)點(diǎn)D做出DE⊥AB的輔助線，交點(diǎn)是E，那么三角形ACD和三角形AED就是全等關(guān)系，所以DE與CD的長(zhǎng)度相等，都是23。

此時(shí)即可借助勾股定理獲得BE的長(zhǎng)度，即2。假設(shè)AC的長(zhǎng)度是x，AB的就是x+2，再次使用勾股定理構(gòu)建起方程，即x2 42 （x 2）2，最后解得x的數(shù)值是2，進(jìn)而得到AC的長(zhǎng)度是3。

（二）應(yīng)用于直角三角形構(gòu)造解題方面

在圖形構(gòu)造方面，最重要的就是觀察與想象。結(jié)合題目的具體設(shè)置與圖形本身特點(diǎn)，做出適當(dāng)?shù)妮o助線，即可構(gòu)造出特殊直角三角形，并且在勾股定理的作用下，把未知線段與已知條件聯(lián)系到一起，可以簡(jiǎn)化試題的解答難度[1]。

例題二：等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是2，而E則是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。與此同時(shí)，CE與BC的長(zhǎng)度相同，點(diǎn)D則是AB的中點(diǎn)，試求出DE的長(zhǎng)度。

（三）試題分析：由于DE 和三角形各邊長(zhǎng)之間并不存在聯(lián)系，在對(duì)圖形特點(diǎn)進(jìn)行觀察的基礎(chǔ)上，可以做出輔助線來(lái)構(gòu)造出直角三角形，并且把DE當(dāng)做是直角三角形中的一條邊長(zhǎng)，在勾股定理的作用下即可求出DE長(zhǎng)度。

求解過(guò)程：如圖二所示，將AE連接起來(lái)，由于AC、BC與CE的長(zhǎng)度相等，因而三角形ABE 是直角三角形。在勾股定理應(yīng)用的過(guò)程中，可以求解出AE的長(zhǎng)度是2 3。而在直角三角形ADE當(dāng)中，通過(guò)對(duì)勾股定理的應(yīng)用，同樣可以計(jì)算出DE的長(zhǎng)度，即13 。

二、勾股定理解題的注意事項(xiàng)分析

（一）直角邊與斜邊的正確認(rèn)知

例題三：在直角三角形ABC當(dāng)中，a的長(zhǎng)度是8厘米，b的長(zhǎng)度是10厘米，其中∠B是90度，試求出邊長(zhǎng)c的長(zhǎng)度。

錯(cuò)誤解答：根據(jù)勾股定理即可計(jì)算出c邊的長(zhǎng)度是2 41，因此三角形ABA的第三個(gè)邊長(zhǎng)是241。

例題分析：在此例題當(dāng)中，之所以解答結(jié)果不正確，是因?yàn)闆](méi)有正確認(rèn)知直角所對(duì)應(yīng)的邊是斜邊。其中，∠B是90度，所以邊長(zhǎng)b則是斜邊，并非是c邊長(zhǎng)。

正確解答：由于∠B 是90度，所以邊長(zhǎng)c應(yīng)當(dāng)是直角邊，通過(guò)對(duì)勾股定理的運(yùn)用，即可求解出邊長(zhǎng)c的長(zhǎng)度是6厘米。

（二）勾股定理應(yīng)用條件

例題四：三角形ABC中，其三個(gè)邊長(zhǎng)分別是a、b、c，其長(zhǎng)度都是整數(shù)，其中的a邊長(zhǎng)度是3厘米，b邊長(zhǎng)度是4厘米，請(qǐng)求解出c邊的長(zhǎng)度、

錯(cuò)誤解答：根據(jù)勾股定理可以得出c邊的長(zhǎng)度是5厘米。

例題分析：使用勾股定理的主要條件就是要在直角三角形當(dāng)中。

而在例題當(dāng)中并沒(méi)有提到三角形是直角三角形，所以并不能夠使用勾股定理[2]。

正確解答：根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系可以得出c邊長(zhǎng)要大于1厘米且小于7厘米。而例題中已知條件是c邊長(zhǎng)是整數(shù)，所以其長(zhǎng)度可以是2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米。

（三）定理與逆定理之間的區(qū)分

例題五：試判斷以下三條線段是否可以構(gòu)造出直角三角形，即a為3，b 為4，c為5。

錯(cuò)誤解答：由于32 42 52，所以可以推斷出a2 b2 c2，將勾股定理

作為依據(jù)，即可判斷出這三條線段可以構(gòu)造成為直角三角形。

例題分析：在該試題當(dāng)中，解題的依據(jù)并不正確，嚴(yán)重混淆定理與逆定理?xiàng)l件結(jié)論。其中，勾股定理主要是通過(guò)圖形來(lái)推導(dǎo)出數(shù)，對(duì)于逆定理來(lái)說(shuō)則是通過(guò)數(shù)來(lái)推到出圖形，所以堅(jiān)決不允許混淆使用[3]。

正確解答：由于32 42 52，所以可以推斷出a2 b2 c2，所以可以根

據(jù)勾股定理的逆定理，對(duì)三條線段做出判斷，即能夠構(gòu)造成直角三角形。

解題語(yǔ)言的論述

例題六：三角形三個(gè)邊長(zhǎng)分別是5、12、13，試證明該三角形是直角三角形。

錯(cuò)誤解答：由于直角邊是5 與12，而斜邊是13，所以可以得出由這三條邊長(zhǎng)構(gòu)成的三角形是直角三角形。

例題分析：上述解答方法的錯(cuò)誤之處就是開(kāi)始就表述直角邊與斜邊，但必須在直角三角形的條件之下才能夠?qū)⑵浞Q之為直角邊與斜邊。正確解答：由于52 122 132，與a2 b2 c2的條件相吻合，根據(jù)勾股定理的逆定理可以了解到，由這三條邊長(zhǎng)所構(gòu)造的三角形是直角三角形。

結(jié)束語(yǔ)：

在對(duì)勾股定理應(yīng)用并解題的過(guò)程中，所出現(xiàn)的錯(cuò)誤并不只是局限在以上范圍，導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因很多，但最關(guān)鍵的就是未正確認(rèn)識(shí)到使用定理的前提條件是直角三角形，亦或是勾股定理和逆定理之間的差異。要想有效地規(guī)避以上錯(cuò)誤，就一定要正確認(rèn)知定理并加強(qiáng)學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李玉榮.解題教學(xué)的新視角——以勾股定理的再證明為例[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（9）：40-41.

[2] 尹蕾.“一圖多變”巧解題--從《幾何原本》中勾股定理的證明說(shuō)起[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（17）：62-64.

[3] 李慧麗.數(shù)學(xué)“靈魂”，解題“鑰匙”——例談勾股定理的應(yīng)用[J].試題與研究（新課程論壇），2013（15）：58.