教學(xué)“鋼管堆放”之所想

賀 群

(合肥市虹橋小學(xué) 安徽合肥 230001)

五年級“多邊形面積計算”單元中有一道“鋼管堆放”題，題目如下：小明參觀鋼鐵廠時看到許多鋼管堆成如下形狀：最上層有9根，最下層有16根，共8層。可以用什么方法算出這堆鋼管一共有多少根?它和梯形面積的計算方法有聯(lián)系嗎?

這是一道傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)題，在我上小學(xué)時就有這一題，依稀記得當(dāng)年老師說鋼管的橫截面是梯形，所以求鋼管的根數(shù)就用梯形的面積公式。沒有更多的思考，也就沒有更多的疑問，當(dāng)年的我只是記住了解這題的方法，能求出正確的答案。今天成為數(shù)學(xué)老師的我，再拿起這題仔細一看，才發(fā)現(xiàn)沒有這么簡單。鋼管堆放時下面每層都比上面一層多放一根，堆成的橫截面近似梯形，但這里是求鋼管的根數(shù)，其實是求9+10+11+…+16這樣一個等差數(shù)列的和。它與梯形面積公式是如何聯(lián)系起來的呢？如何站在小學(xué)生的角度，根據(jù)小學(xué)生現(xiàn)有的知識結(jié)構(gòu)引導(dǎo)他們理解這個問題呢?我翻閱著教師參考書，書上沒有這樣的解答，我陷入了思考……

課堂上我一出示這道題時(前一天已布置學(xué)生預(yù)習(xí))，就有學(xué)生舉手回答說：“(9+16)×8÷2=100”。再問他：“你是怎么想的?”他說：“因為鋼管堆成了梯形，所以就用梯形的面積公式來算。”我又問：“贊成他的想法嗎?”學(xué)生們都說贊成。“有沒有不同的想法或者疑問?”同學(xué)們沉默了。

我接著引導(dǎo)：“這題是求鋼管的根數(shù)，而梯形的面積公式是用來求面積大小的，這鋼管的根數(shù)怎么就可以用梯形的面積公式來求呢?”我環(huán)顧教室，只見管元昊站起來說道：“我們可以把一個鋼管的橫截面看成占一個方格，那整個鋼管橫截面的格數(shù)就是一個梯形，這個梯形的面積占多少格，就說明鋼管有多少根。”“說得太好了，所以鋼管的根數(shù)就是梯形的面積。”我由衷地贊道。我明白他的意思：占一個方格就是指一個面積單位，我們計算一個平面圖形的面積正是計算它含有多少個面積單位。

“如果我們繼續(xù)照這樣往這堆鋼管上再添加鋼管，直到最上面為一根鋼管時，這堆鋼管有多少根呢?”我一邊拋出了新問題，一邊出示完整的鋼管橫截面圖。

“還是用梯形的面積公式來求，(1+16)×16÷2=136。”“不對，這個圖形是三角形，所以應(yīng)該用三角形的面積公式：底乘高除以二，16×16÷2=128。”兩名學(xué)生爭論起來。

“到底誰說的對呢?請你們用自己的方法驗證一下。”

“老師，我數(shù)了一下，上面增加了36個，加上原來的100個，一共是136個，應(yīng)該用梯形面積公式來求。”

“那，還有什么問題想提出來嗎?”我問。“老師，為什么橫截面是三角形而卻用梯形面積公式計算呢?”“是啊，這是為什么呢?”我把球又踢給了學(xué)生。不一會兒，薛前進站起來說道：“最上面的這一根鋼管可以看作占一格，那這個橫截面就是梯形，而不是三角形。所以應(yīng)該用梯形面積公式來計算。”

“是啊，1+2+3+4+…+16是個等差數(shù)列，發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間的規(guī)律了嗎?這樣的算式我們可以模仿梯形面積公式來計算，看看算式中的哪些數(shù)相當(dāng)于梯形中的上底、下底和高?”同學(xué)們比較著、思考著、討論著……

“著名數(shù)學(xué)家高斯小時候上學(xué)時，老師有意出了這樣一道數(shù)學(xué)題：1+2+3+……+100=?，來懲罰不守紀律的學(xué)生，沒想到幾分鐘后高斯就報出了正確答案，你們知道他是怎樣算的嗎?”“我知道、我知道！”學(xué)生們紛紛叫道，“他就是用梯形面積公式來算的，用第一個數(shù)加上最后一個數(shù)，然后再乘所有數(shù)的個數(shù)再除以2得來的，(1+100)×100÷2=5050。”

至此，鋼管堆放問題順利解決，學(xué)生們不僅弄明白了鋼管根數(shù)和梯形面積的關(guān)系，還舉一反三弄明白了等差數(shù)列的計算方法。

回想教學(xué)開始，當(dāng)學(xué)生們都認為計算鋼管的根數(shù)就是求梯形的面積時(可能受到問題的暗示：它和梯形面積的計算方法有什么聯(lián)系嗎?還可能從書上給出的鋼管的橫截面是梯形，就會不假思索、想當(dāng)然地認為求鋼管的根數(shù)就是求梯形的面積。)我提出問題：“有沒有不同的想法或疑問?”以期引起學(xué)生對問題進行深入思考。學(xué)生仍沒有反應(yīng)，我接著追問：“這題是求鋼管的根數(shù)，而梯形的面積公式是用來求面積大小的，這鋼管的根數(shù)怎么就可以用梯形的面積公式來求呢?”這個問題的解決正是溝通了等差數(shù)列和梯形面積的關(guān)系。在我的精心預(yù)設(shè)下，出現(xiàn)了精彩的課堂生成：管元昊說計算平面圖形的面積，就是計算平面圖形中含有多少個面積單位，從而遷移到一個鋼管橫截面就是一個面積單位，有多少根鋼管就有多少個單位面積，很好地解釋了鋼管根數(shù)和梯形面積的關(guān)系。如果我在備課時，沒有深入地思考這些問題，認真地領(lǐng)悟編者的意圖，是不會提出這樣有價值的問題的。及至后來學(xué)生的發(fā)現(xiàn)：當(dāng)鋼管的橫截面堆成三角形時，計算鋼管的根數(shù)仍用梯形面積公式，因為這個橫截面看似三角形實際仍是梯形。再由求鋼管根數(shù)到高斯的數(shù)學(xué)題，一步步地將問題引向深入，教學(xué)由生活化到數(shù)學(xué)化，由具體到抽象，學(xué)生的思維能力也一步步地得到提升。由此我體會到：精心地備課、精心地預(yù)設(shè)是教學(xué)成功的重要保證。沒有精心的預(yù)設(shè)就沒有精彩的課堂生成。

鄭毓信教授說：“通過深入揭示隱藏在具體數(shù)學(xué)知識背后的思維方法，可以把數(shù)學(xué)課真正‘講活’‘講懂’‘講深’：通過方法論的重建，我們可以向?qū)W生展現(xiàn)‘活生生的’數(shù)學(xué)研究工作，而不是死的數(shù)學(xué)知識，這就是所謂的‘講活’；還可以幫助學(xué)生真正理解有關(guān)教學(xué)內(nèi)容，而不是囫圇吞棗、死記硬背，這就是‘講懂’；我們在教學(xué)中又不僅使學(xué)生掌握具體的數(shù)學(xué)知識，而且也能幫助學(xué)生逐步領(lǐng)會乃至掌握內(nèi)在的思維方法，這也就是所謂的‘講深’。”數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)教師要把握數(shù)學(xué)教學(xué)的實質(zhì)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)姓“數(shù)”，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開數(shù)學(xué)思維。那種只求學(xué)生會做題、做對題的想法是不全面的、狹隘的，長此以往，學(xué)生就會養(yǎng)成不求甚解，只知其然而不知其所以然，不利于學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維。在數(shù)學(xué)教學(xué)中努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，是我們數(shù)學(xué)教師孜孜以求的重要教學(xué)目標。