對于解三角形中最值問題的思考

楊冠華

(江蘇省金壇第一中學(xué) 213200)

對于解三角形中最值問題的思考

楊冠華

(江蘇省金壇第一中學(xué) 213200)

解三角形日益成為高考的難點(diǎn)和熱點(diǎn)，解答時(shí)需借助正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，還要熟練掌握三角形的一些平面性質(zhì).在高考數(shù)學(xué)試卷中，作為解答題，解三角形位置相對靠前，難度不是太大，但是當(dāng)解三角形問題與不等式相結(jié)合時(shí)，學(xué)生常常難以入手.本文結(jié)合實(shí)例談一談三角形最值的求法，并結(jié)合三角函數(shù)最值，啟發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思考.

三角形；最值問題；解題技巧

問題啟發(fā):

那么本題的證明思路已經(jīng)很清晰了，利用基本不等式，

我們再反過來看這樣一個(gè)問題，當(dāng)一個(gè)直角三角形面積為定值時(shí)，求三角形周長的最小值.已知三角形的三邊長分別為a,b,c,且滿足a2+b2=c2，設(shè)三角形面積為k，k為定值，則三角形的周長l=a+b+c.則由基本不等式：

深入思考：上述兩個(gè)三角形的最值問題很具有典型性和一般性，但是僅僅解決了關(guān)于三角形邊的幾個(gè)基本最值問題.現(xiàn)我們進(jìn)一步思考這樣一個(gè)問題，假設(shè)我們知道三角形的一條邊和一個(gè)角，能不能求出三角形周長和面積的最大值.根據(jù)三角形邊和角的位置關(guān)系，我們需要把這個(gè)數(shù)學(xué)問題分成兩類：

當(dāng)角和邊相對應(yīng)時(shí)，已知A=θ,A的對邊長度為a,求三角形面積和周長的最大值.

y=simBsimC,B+C=π-θ；

上述從角的角度考慮，運(yùn)用正弦定理和三角函數(shù)解決了面積最大值的問題，如果我們從邊的角度出發(fā)，同樣也可以求出S的最大值.

a2=b2+c2-2bccosθ≥2bc(1-cosθ),

下面我們用類比的方法來解決三角形周長的最大值問題，設(shè)三角形的周長為l,則

那么上述問題即轉(zhuǎn)化成求sinB+sinC的最值問題.

記y=sinB+sinC,B+C=π-θ,

y=sinB+sin(B+θ)=(1+cosθ)sinB+cosBsinθ,

y′=(1+cosθ)cosB-sinθsinB.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)

ABC分類法是目前最常用的庫存管理方法之一。ABC分類法又稱主次因素分析法或“帕累托”現(xiàn)象。這種方法簡單易行，在庫存管理中應(yīng)用廣泛。ABC分類法的基本原理是將庫存物資按品種和占用資金的多少分為特別重要的庫存（A類）、一般重要的庫存（B類）和不重要的庫存（C類）三個(gè)等級(jí)，然后針對不同重要等級(jí)分別進(jìn)行管理和控制[2]。該方法的核心是“分清主次，抓住重點(diǎn)”，針對企業(yè)庫存中占用大量資金的少數(shù)生鮮農(nóng)產(chǎn)品，需要進(jìn)一步加強(qiáng)庫存管理和控制；而企業(yè)庫存中占用少量資金的大多數(shù)生鮮農(nóng)產(chǎn)品，可進(jìn)行相對較為寬松的庫存管理與控制。

此外我們知道sinx其實(shí)是一個(gè)上凸函數(shù)，根據(jù)上凸函數(shù)的性質(zhì)我們很容易證明：

如果我們從邊的角度出發(fā)，要求l的最大值，其實(shí)就是求b+c的最大值.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosθ,進(jìn)一步對上述整理我們可以得到：

同樣我們用上述方法也得到了l的最大值.

當(dāng)三角形中給的邊長和角不對應(yīng)時(shí)，三角形的面積和周長是否依然還存在最大值呢？

上述表達(dá)式在定義域內(nèi)單調(diào)減，所以S不存在最值，因此我們分析得到知道三角形的一條邊和一個(gè)角不對應(yīng)時(shí)，S不存在最值.

結(jié)語：

根據(jù)上述研究思路和研究方法，我們也可以類比地得到已知角和邊不對應(yīng)的面積和周長最值的求法，本文就不再深入展開.對于解三角形的最值問題，本文講述了如何用基本不等式，凸函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)來解決解三角形的最值問題，對于三角形的最值問題還有很多值得我們思考與商榷，筆者也會(huì)在以后的學(xué)習(xí)生活中更加深入地思考.

[1]葛軍.新編高中數(shù)學(xué)競賽指導(dǎo)[M].南京：南京師范大學(xué)出版社，2014:78-79.

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A

1008-0333(2017)31-0002-02

2017-07-01

楊冠華(1988.08-)，男，江蘇省常州人，碩士，中學(xué)二級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).

楊惠民]