軌跡思想在“直線與圓”中的巧用

魯 鋒

(江蘇省平潮高級中學 226300)

軌跡思想在“直線與圓”中的巧用

魯 鋒

(江蘇省平潮高級中學 226300)

阿波羅尼斯圓是圓定義中重要的一種形式，它所代表的軌跡問題是直線與圓考察的一種重要方向.本文在軌跡上作一些探索，以起到拋磚引玉的作用.

阿波羅尼斯圓；軌跡問題；存在性問題；任意性問題

例2 (南通市2014屆高三第三次調研)在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y2-4x=0．若直線y=k(x+1)上存在一點P，使過P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數k的取值范圍是 ．

評注本題直接撇開“P在直線y=k(x+1)上”這一限制因素，通過求在平面直角坐標系內符合條件的點P得其軌跡，再利用點P的兩種屬性化為直線與圓的位置關系，利用直線和圓位置關系“相交和相切”的條件，求出k的取值范圍.

例3 在平面直角坐標系xOy中，圓C1：(x+1)2+(y-6)2=25，圓C2：(x-17)2+(y-30)2=r2．若圓C2上存在一點P，使得過點P可作一條射線與圓C1依次交于點A，B，滿足PA=2AB，則半徑r的取值范圍是 ．

解析首先考慮平面內的點P，分兩種情況：(1)點A在PB中間，則點P滿足的條件是5

評注本題中利用圖形可得出點P在平面內滿足的要求是5

評注此題也是撇開限制條件，直接找出平面直角坐標系內滿足條件的點的軌跡，再利用滿足軌跡的方程具有統一性原則，通過待定系數法建立方程組從而得出定點.

例5 (2017鹽城二模)如圖所示，A,B是兩個垃圾中轉站，B在A的正東方向16km處，AB的南邊為居民生活區.為了妥善處理生活垃圾，政府決定在AB的北面建一個垃圾發電廠P，垃圾發電廠P的選址擬滿足以下兩個要求(A,B,P可看著三個點)：1.垃圾發電廠到兩個垃圾中轉站的距離與他們每天集中的生活垃圾量成反比，比例系數相同；2.垃圾發電廠應盡量遠離居民區(這里參考的指標是點P到直線AB的距離盡可能大).現估測得A,B兩個垃圾中轉站每天集中的生活垃圾分別為30噸和50噸，問垃圾發電廠該如何選址才能同時滿足上述條件？

解析可以以AB所在的直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.

通過上述例子可以發現，通過直接求軌跡可將曲線上“存在性或任意性”點的問題轉化為軌跡交匯的問題.而解析幾何中的軌跡問題，其本質也就是將“原有的存在或任意問題“化為“兩軌跡交匯的問題”，通過對所涉及的軌跡幾何圖形和相關圖形的觀察思考，轉化為軌跡公共點的問題，相比直接設點而化為函數問題，這種軌跡交匯的處理手法可以極大地將函數的思維活動和復雜問題變得簡潔，極大地簡化了學生處理存在和任意性類似問題的難度，同時也極好地培養了學生數形結合和化歸轉化的能力.

[1]單墫，等.普通高中課程標準實驗教科書必修2[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2005.

G632

A

1008-0333(2017)31-0014-02

2017-07-01

魯鋒(1979.12-)，漢，本科，江蘇省通州人,中教一級教師，從事解題方法、導數應用技巧等方面.

楊惠民]