如何研究雙變量的最值問題

楊 帆

(江蘇省海門中學 226100)

如何研究雙變量的最值問題

楊 帆

(江蘇省海門中學 226100)

本文就雙變量的最值問題，分類舉例加以說明，由此歸納出一般的解題原則.

雙變量；最值問題；范圍

近幾年的高考或者大市級的高考模擬卷中都考到雙變量的最值或者取值范圍問題，而這類問題學生在處理的時候往往比較棘手，短時間內找不到合適的方法，在考試的時候浪費了很多的時間，走了很多彎路.本文主要針對這類問題利用三個主要例題及其相應的變式題目，進行一下探索和方法的總結.有這些方法的思考和意識，希望能為學生思路的打開起到作用.

所以令f(t)=-12t2-2t+12,t∈[-1,1]，

評析這道題求目標函數3x2-2y的最值，看似其里面有兩個變量的，其實有條件的方程約束，本質上為單變量的最值問題，因此首先想到消元，采用代入消元法.

變題1 條件不變，問題改為：求3x-2y的最值.

變題2 條件不變，問題改為：求3x2-2xy的最值.

解析在這道題中，目標函數的幾何意義顯然不容易發現，所以采用三角消元比較合適，但是三角消元也是具有一定的局限性，對條件中關于雙變量的方程的結構要求較特殊.

評析這道題目的特點是：目標函數代入消元不好處理，目標函數沒有明顯的幾何意義，條件的形式不好用三角替換.在這種情況下，雖然條件是關于雙變量的方程，本質上問題中含有一個變量，但是難點就在于如何將二元化為一元，這時我們常用的技巧就是：能不能將條件中的方程用參數方程表示(觀察是否能因式分解)達到消元目的；觀察目標函數的結構是否具有某種特點，進行相關配湊，整體換元到達消元目的；將目標函數令為t，反過來表示代入條件方程，轉化為方程有解問題(本質上換主元)，將t視作參數，達到研究t的取值范圍的目的.

通過以上幾個題目我們發現實際上這類在方程約束下的雙變量最值問題，本質上難點就在于如何將二元化為一元，我們在解決問題時應該想到以下幾種方法：①代入消元；②三角消元；③目標函數的幾何意義；④條件方程轉化為參數方程；⑤整體換元；⑥令目標函數為t回代條件方程轉化為方程有解問題.當然以上幾種方法解題時都要注意變量的范圍.

剛剛這類問題是方程約束下的雙變量最值問題，其實還有一類題目雖然雙變量在條件中有方程的約束，但不是求某個目標函數的取值范圍，而是個固定的值.這類雙變量問題中，不能用以上幾個方法，我們該如何思考，下面我來看一道題.

法二：在法一中得到了：s+t-2=ln(st)即s+t-2=lns+lnt,整理一下得到：s-lns+t-lnt=2.由法一中研究的f(x)=lnx-x+1得：s-lns≥1,t-lnt≥1，所以要使得s-lns+t-lnt=2，只能s=1,t=1，所以xy=1.

總之，我們在研究雙變量問題的過程，應該站在由多元化一元，由雜亂化統一的角度去思考，去嘗試.

[1] 陳慶洪.淺析高考數學中的最值問題[J]. 福建中學數學,2012(01).

[2] 司麥領.函數應用題中的最值問題選解[J]. 中學生數理化(高中版·學研版),2011(05).

[3] 康小峰.高考應用性題型解析及求解策略[J]. 中學數學雜志,2011(01).

G632

A

1008-0333(2017)31-0020-03

2017-07-01

楊帆(1985.03-)，男，江蘇省南通人，本科，中級職稱，從事高中數學教學與研究.

楊惠民]