淺談高中數(shù)學教材中“算兩次”的思想

俞昉昉

(江蘇省海門市第一中學 226100)

淺談高中數(shù)學教材中“算兩次”的思想

俞昉昉

(江蘇省海門市第一中學 226100)

本文從教材中擷取一些素材，漫談高中數(shù)學教材中算兩次的思想.

算兩次；數(shù)學方法

“將一個量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同得到等式”，這是一種非常有用的思想方法，叫做“算兩次”(G．Fubini原理).蘇教版教材選修2-3《計數(shù)原理》章節(jié)復(fù)習中提到了這種思想.“算兩次”思想的應(yīng)用常見于數(shù)學競賽，但事實上這種思想方法在高中數(shù)學教材中并不鮮見，一些重要的定理和公式的證明中就滲透著“算兩次”的數(shù)學思想方法.算兩次的運用相當廣泛，散見于各層級、各類型數(shù)學問題中，如組合論證、幾何問題、函數(shù)與方程、計數(shù)應(yīng)用等.

一、算兩次與數(shù)學定理、公式的推導(dǎo)

尋找等量關(guān)系列方程的實質(zhì)就是抓住一個量，挖掘已知條件，從兩種角度表示同一個量，進行兩次演算，即一個量，算兩次.許多數(shù)學公式的推導(dǎo)和證明都可以采用算兩次的思想.

蘇教版教材上采用算兩次的方法推導(dǎo)數(shù)學定理、公式的地方還有很多.如等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)所運用的倒序相加法，推導(dǎo)點到直線的距離公式所采用的等面積法，立體幾何中求點面距所用的換頂點的方法，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式的引入，解析幾何中推導(dǎo)圓錐曲線標準方程時所立的等量關(guān)系式等等都是算兩次的典型范例.

二、算兩次與組合恒等式

組合恒等式的證明，如果僅僅采用組合數(shù)的定義和階乘運算，有時計算繁雜，不得其法.在證明某些組合恒等式時還可以考慮采用比較系數(shù)法和組合分析法.比較系數(shù)法指的是利用二項式定理展開式的兩邊對應(yīng)的同次冪的系數(shù)相等獲得等式.組合分析法就是通過構(gòu)造具體的組合計數(shù)模型，再根據(jù)組合數(shù)的加法原理和乘法原理得到恒等式兩邊相等.這兩種方案都是采用算兩次的方法.

三、算兩次與幾何問題

研究一些幾何問題，我們也常常采用算兩次的方法，著眼于從兩個方面計算同一線段的長度、同一圖形的面積、同一幾何體的體積.

例3 (蘇教版必修2教材P55)如果用半徑為r的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒，那么這個圓錐筒的高是多少？

例4 (蘇教版選修2-2教材P66)(1)已知正三角形的邊長為a，求它的內(nèi)切圓的半徑r；(2)已知正四面體的棱長為a，求它的內(nèi)切球的半徑r．

除了上述三個幾何類問題，教材中還有不少定義、公式和元素也有多種表達形式，如：平面向量的數(shù)量積，圓錐曲線的定義，直線的斜率，不同數(shù)列的公共項問題等等，正是基于它們的多面性，算兩次方法才得以實施.

算兩次作為一種常用的數(shù)學方法，如果題目中的某些對象(幾何對象或代數(shù)對象)具有“雙重身份”或“兩面性”，則可優(yōu)先考慮對其“演算兩次”.算兩次作為一種重要的數(shù)學思想，其實質(zhì)是將同一個量用不同的方法計算兩次，通過“殊途同歸”達到“出奇制勝”的目的.在教學中，教師應(yīng)該發(fā)揮教材的母體性，深度挖掘教材中的素材，整合知識，提煉思想方法，提升學生的思維品質(zhì).

[1]徐達育,錢軍先. 摭談“算兩次”方法在高中數(shù)學教學中的挖掘與提煉[J]. 福建中學數(shù)學,2015(11).

[2]付秀鳳. 高中數(shù)學解題中“算兩次”思想方法的應(yīng)用探析[J]. 數(shù)學學習與研究,2015(13).

G632

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1008-0333(2017)31-0022-02

2017-07-01

俞昉昉(1985.04-)，女，江蘇省南通人，本科，中級職稱，從事高中數(shù)學教學與研究.

楊惠民]