淺談高中數學教材中“算兩次”的思想

俞昉昉

(江蘇省海門市第一中學 226100)

淺談高中數學教材中“算兩次”的思想

俞昉昉

(江蘇省海門市第一中學 226100)

本文從教材中擷取一些素材，漫談高中數學教材中算兩次的思想.

算兩次；數學方法

“將一個量用兩種方法分別算一次，由結果相同得到等式”，這是一種非常有用的思想方法，叫做“算兩次”(G．Fubini原理).蘇教版教材選修2-3《計數原理》章節復習中提到了這種思想.“算兩次”思想的應用常見于數學競賽，但事實上這種思想方法在高中數學教材中并不鮮見，一些重要的定理和公式的證明中就滲透著“算兩次”的數學思想方法.算兩次的運用相當廣泛，散見于各層級、各類型數學問題中，如組合論證、幾何問題、函數與方程、計數應用等.

一、算兩次與數學定理、公式的推導

尋找等量關系列方程的實質就是抓住一個量，挖掘已知條件，從兩種角度表示同一個量，進行兩次演算，即一個量，算兩次.許多數學公式的推導和證明都可以采用算兩次的思想.

蘇教版教材上采用算兩次的方法推導數學定理、公式的地方還有很多.如等差數列前n項和公式的推導所運用的倒序相加法，推導點到直線的距離公式所采用的等面積法，立體幾何中求點面距所用的換頂點的方法，復合函數求導公式的引入，解析幾何中推導圓錐曲線標準方程時所立的等量關系式等等都是算兩次的典型范例.

二、算兩次與組合恒等式

組合恒等式的證明，如果僅僅采用組合數的定義和階乘運算，有時計算繁雜，不得其法.在證明某些組合恒等式時還可以考慮采用比較系數法和組合分析法.比較系數法指的是利用二項式定理展開式的兩邊對應的同次冪的系數相等獲得等式.組合分析法就是通過構造具體的組合計數模型，再根據組合數的加法原理和乘法原理得到恒等式兩邊相等.這兩種方案都是采用算兩次的方法.

三、算兩次與幾何問題

研究一些幾何問題，我們也常常采用算兩次的方法，著眼于從兩個方面計算同一線段的長度、同一圖形的面積、同一幾何體的體積.

例3 (蘇教版必修2教材P55)如果用半徑為r的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒，那么這個圓錐筒的高是多少？

例4 (蘇教版選修2-2教材P66)(1)已知正三角形的邊長為a，求它的內切圓的半徑r；(2)已知正四面體的棱長為a，求它的內切球的半徑r．

除了上述三個幾何類問題，教材中還有不少定義、公式和元素也有多種表達形式，如：平面向量的數量積，圓錐曲線的定義，直線的斜率，不同數列的公共項問題等等，正是基于它們的多面性，算兩次方法才得以實施.

算兩次作為一種常用的數學方法，如果題目中的某些對象(幾何對象或代數對象)具有“雙重身份”或“兩面性”，則可優先考慮對其“演算兩次”.算兩次作為一種重要的數學思想，其實質是將同一個量用不同的方法計算兩次，通過“殊途同歸”達到“出奇制勝”的目的.在教學中，教師應該發揮教材的母體性，深度挖掘教材中的素材，整合知識，提煉思想方法，提升學生的思維品質.

[1]徐達育,錢軍先. 摭談“算兩次”方法在高中數學教學中的挖掘與提煉[J]. 福建中學數學,2015(11).

[2]付秀鳳. 高中數學解題中“算兩次”思想方法的應用探析[J]. 數學學習與研究,2015(13).

G632

A

1008-0333(2017)31-0022-02

2017-07-01

俞昉昉(1985.04-)，女，江蘇省南通人，本科，中級職稱，從事高中數學教學與研究.

楊惠民]