在初中生的心靈播種“極限思想”方法

康聰

在素質教育的今天，教師教育教學的重點是傳播數學思想方法，增加學生的數學課程整體性，而數學思想的形成具有階段性，教師根據學生在各個年齡段間的認知結構把數學思想逐步滲透.那么教材在數學知識結構中適當的介紹數學知識非常有益于學生的思維的發展.極限是初等數學與高等數學之間連接的橋梁，在中學的數學教學過程之中滲透極限思想，可以讓學生在還沒有真正面臨高等數學中的極限問題之前，就能夠先在一定程度上了解極限思想.極限思想能夠幫助學生靈巧地記憶某些數學公式，解答某些數學問題，提高學生的數學思維能力.

一、圓周率與無理數

在小學的數學知識結構中，是將圓分割為無窮多個相同的近似小三角形，并拼成近似的平行四邊形而得到的，由于小學知識的局限，在圖形的認識上只接觸了三角形和平行四邊形，還不是很全面.

劉徽的割圓術，是用圓內接正多邊形的面積去無限逼近圓的面積并以此求取圓周率的方法，由圓內接正六邊形算起，逐漸把邊數加倍，算出正12邊形、正24邊形、正48邊形、正96邊形，計算出π=3.14.由此提出：“割之彌細，所失彌少；割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”.劉徽可以說在世界上第一次把極限思想引入數學證明，使之成為數學方法.

劉徽之后祖沖之也對圓周率進行了研究得到π介于3.141 592 6與3.141 592 7之間的8位正確的可靠數學，不僅在當時是最精密的圓周率，直到1924年，被阿拉伯數學家卡西超越，并且發現π是無限不循環的小數——無理數.

進入初中階段，會繼續領略數學“極限思想”的光芒.

二、不可公度線段與無理數

人們很早就發現的無理數，它與不可公度線段，面積的計算以及方程的求解都有著不可分割的關系.在初中階段，在了解無理數之后，將繼續學習無理數.在初中數學教材呈現的方式上，先讓學生從代數的角度上認識有理數和無理數的概念區分，從而拓寬無理數概念的范圍.

不可公度是指不能表示為整數之間的比例關系的數，從我們熟知的勾股定理（在西方也稱畢達哥拉斯定理）說起.在我國《周髀算經》中記載，商高答周公：“勾廣三，股修四，徑隅五.”但是當時并沒有給出證明.在西方畢達哥拉斯也發現這個定理，將此定理表述為：另一個直角三角形的兩個直角邊和一個斜邊的邊長分別為a、b和c，則有a2+b2=c2.由定理知，當兩個直角邊邊長分別為a=1和b=1，則斜邊長為c=2.但是，2是不能表示為兩個整數之比的形式的.2的出現打破了古希臘人認為的可以用整數或者整數之比度量一切事物的思想.

數學研究范圍無非是代數和幾何兩大內容，這兩者組合在一起形成的題型——數形結合，這一類題目是初中階段最重要的題型，而極限思想無論在函數中的應用，還是在幾何中的應用都較為常見.

三、多邊形的內角和與圖形的認識

在小學里，曾經把一個三角形拼在一起，發現“三角形的內角和是180°”的結論，這一內容在七年級下學期會繼續擴充到：三角形內角和等于180°與多邊形外角和等于360°的證明.

教材中，以“議一議”的方式呈現.

如圖所示，在△ABC的邊AC所在的直線繞點A按逆時針方向旋轉的過程中，直線AC與邊BC的延長線分別交于點C1，C2，C3…當直線AC繞點A旋轉到AC′∥BC時，度量∠BAC′的度數，你發現了什么？

顯然，教材中對三角形內角和等于180°的證明借助于兩條平行直線BC∥AC′，當直線BC∥AC′時，恰是直線AC繞點A旋轉的極限位置，此處是證明方法的精髓.

數學的極限思想是用發展的思想來看待和處理問題的，教師要注重滲透極限思想，所謂極限思想，指的是一種思考和研究問題的思想方法，是數學思想方法之一，今后要學習更加龐大的“極限”體系：高等數學，如微積分內容，變量與不變的思想，有窮與無窮理論.極限從哲學角度上看有限與無限、直與曲、近似與精確等對立統一規律，從中使學生理解極限思想，都蘊含著大量的辯證思想.

數學是研究空間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具，而數學思想是數學研究活動的根本想法，是對數學對象的本質認識.數學思想方法是在研究數學過程中所發現、發明、創新和其他創造性思維活動的規律和方法，以及探索數學發展規律的一門規律.數學思想方法作為數學知識內容的精髓，是數學的一種指導思想和普遍適用的方法，是銘記在人們頭腦中起永恒作用的精神和觀點，它能使人們領悟數學的真諦，懂得數學價值，學會思考和解決問題，它能把知識的學習、能力的培養和智力的發展有機結合起來.徐斌艷認為數學思想方法是數學課程的重要目的，是發展學生智力的關鍵，是培養創新意識的基礎，也是一個人的數學素養的重要組成部分，滲透數學思想方法是數學教師教學中的主要任務之一.

由此，數學思想的教育在教學中有不可忽視的作用，為了使學生增加數學課程整體性，在數學知識中適當的介紹簡單的數學知識非常有益于學生的思維的發展.中小學生對數學思想方法的認識與掌握直接影響著繼續教育的路途.教材中如何引入，引入到什么程度，以及教師在什么方面有什么樣的應用都是值得研究的問題.endprint