“幾何畫板”破解數學教學難點之利劍

林志輝

【摘要】在小學數學教學過程中總是存在學生難于理解的教學難點，而突破難點是課堂教學的關鍵節點，更是衡量學生對知識本質是否理解的重要標志.如何在教學中突破難點？是當前教師面臨的挑戰與思考.筆者根據多年研究幾何畫板的實踐經驗，分別以幾何畫板的強大功能——“畫”抽為形、“畫”數為形、“畫”靜為動、“畫”客為主，來破解小學數學四個領域中的相關難點.

【關鍵詞】幾何畫板；破解；教學難點

數學教學難點是指在教學過程中，與學生已有的數學發展水平矛盾較突出的、在數學教材中所體現的教學目標和要求.通俗來講，教學難點就是大部分學生在學習過程中難于理解和運用的知識點.教學難點往往蘊含著豐富的教學功能，在數學教學中，教學難點的突破，是課堂教學的關鍵節點，它涉及學生對知識本質的理解，對知識的有效把握，通常也是創設課堂教學高潮的重要環節，是數學課堂的魅力所在，更是衡量一節課成功與否的重要標志.如何在數學教學中突破難點？當然認真備課、吃透教材、抓住教材重難點是突破難點的前提，以舊知識為生長點是突破難點的重要策略，而利用好“幾何畫板”這一利劍更有事半功倍之效.下面就結合筆者對幾何畫板的實踐研究，談談小學數學四個領域中的難點突破.

一、劍指圖形與幾何，“畫”抽為形

幾何畫板使抽象的思維過程變成了生動形象的動態過程，把一些抽象難懂的概念變成具體的可觀察、可操作的畫面，即化抽象為具體，化抽象為形象.教學中若使用常規工具（如，紙筆、圓規和直尺）畫圖，畫出的圖形是靜態的，很容易掩蓋一些重要的幾何規律.而使用幾何畫板，可以畫出有幾何約束條件的幾何圖形.另外，幾何畫板可以在圖形運動中動態地保持幾何關系，可以運用它在變化的圖形中發現恒定不變的幾何規律.幾何畫板的使用使學生多種感官并用，學生學習積極性、自主性和合作性增強，為形成和培養學生的“動畫思維”提供了條件，為難點突破提供了可能.

（一）“畫”曲為直

六年級下冊“圓柱的認識”的教學難點是如何理解圓柱側面展開圖，“側面展開時圓柱的底面周長就是展開后長方形的長”，如果能突破此難點，學生自然形成側面展開的表象，對圓柱的表面積的理解也就水到渠成了.

之前，很多教師是通過讓學生卷一卷這樣的操作來突破難點.雖然這樣操作可以一定程度上把握難點，但對初學立體幾何的學生，其大多數不具備豐富的空間想象能力，及較強的平面與空間圖形的相互轉化能力.平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于把握全局，其空間形式又具有很大的抽象性，因而，難點突破還是停留在較淺層面.

（二）“畫”無為有

四年級下冊“三角形的三邊關系”的教學難點在“兩邊之和等于第三邊能否圍成三角形”.之前，很多教師用直觀操作來突破，用小棒、紙片、吸管等擺一擺，結果學生還是很糾結，因為這些直觀的學具本身有寬度，再加上頂點對齊等問題，總有一部分學生堅持兩邊之和等于第三邊能圍成三角形，此刻教師只能說線段沒有粗細等專業術語強迫學生接受，使得難點不但沒能突破反而扼殺了學生的思維、想象能力.

如果引入幾何畫板，讓學生循序漸進地經歷：

1.不能圍成（兩邊之和小于第三邊）.

學生想象加驗證，不能圍成的原因是兩條較短邊的軌跡顯示沒有交點（如下圖所示）.

2.接著經歷圍成（兩邊之和大于第三邊）.

3.最后聚焦在糾結處（兩邊之和等于第三邊）.學生在經歷猜想、想象，兩邊在上拱的過程中缺口會越來越大，然后通過顯示弧線展示出軌跡之后，驗證學生的想象.就這樣把學生難以理解的抽象過程用幾何畫板的圖形變動保持原有幾何關系的功能，把最糾結的難點“雁過無聲”地突破了.

二、劍指數與代數，“畫”數為形

數形結合思想是一個非常重要的數學思想.數學家華羅庚說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微.”幾何畫板為數形結合創造了一條便捷的通道，它不僅對幾何模型的繪制提供信息，可以解決學生難以繪制圖形的困難，而且提供了圖形“變換”的動感，豐富多彩的“動畫”模型，給學生一種耳目一新的視覺感受，使學生從畫面中去尋求到問題解決的方法和依據，并從畫面中去認清問題的本質.在引入幾何畫板之后，可以測量各種數值以及進行各種函數運算.在圖形的變化過程中，數量變化特征也可以直觀地展現在學生眼前，“以形助數”“用數解形”在傳統教學中無法辦到的，幾何畫板的強大功能很好地為突破難點服務.

通過數形結合能直觀地表示出來學生想要的分數，學生對分數的認識逐步從直觀中“剝離”，進而走向抽象.其實，數形結合不是最終目的，重要的是通過數形結合給學生搭建認知突破的臺階，在學生形成分數正確表象的基礎上，適時通過遷移、抽象，有效實現對分數意義的深度建構，更本質地理解分數的內涵.

學生對分數的意義有所感悟，但還不能主動將其與分數的大小比較聯系起來.教學分子是1的分數大小的比較，應該充分立足于學生對分數意義的認識.借助幾何畫板的直觀圖形和隨機生成性，運用“數形結合”的方法，引導學生觀察同樣大小的兩個圓形涂色部分的大小，在直觀比較的基礎上，逐漸掌握方法、形成技能并建立“模型”，從而將分數的意義和大小比較有效“連接”和“融合”起來，從而有效地突破教學難點.

三、劍指統計與概率，“畫”靜為動

“動態”是幾何畫板的最大特點，也是其魅力之所在.這在數學上的意義非同尋常，它滿足了數學教學之需，彌補了傳統教學方式的不足.黑板上的圖形是永遠靜止不動的，它掩蓋了數學實質.在傳統數學教學中，用圓規、三角板繪制的幾何圖形是靜態的.要認識它的關系需要教師的語言描述和學生的理解和想象能力.幾何畫板畫出的圖形與在黑板上畫出的圖形不同，它具有動態特征.教師可以在“動”中教，學生可以在“動”中學.有些教學內容在傳統教學中顯得枯燥和乏味，引入幾何畫板后許多內容變靜為動，學生在“動”中求知，從而激發了學生的學習興趣與學習積極性.

三年級下冊“平均數”的教學難點是平均數是一個“虛擬”的數，他表示的是一組數據的總體水平.之前，在教學中很多教師把重點放在平均數的求法上，甚至總結出一個學生似懂非懂的總數量除以總份數的公式，讓學生來套用，而在平均數意義的理解上卻是蜻蜓點水，甚至與平均分混為一談.學生概念模糊，所掌握的知識只能停留在機械地模仿與記憶之中.

四、劍指綜合與實踐，“畫”客為主

利用幾何畫板的動態性和形象性，可以給學生創造一個實際“操作”幾何圖形的環境.學生可以任意拖動圖形、觀察圖形、猜測并驗證，在觀察、探索、發現的過程中增強對各種圖形的感性認識，形成豐厚的幾何經驗背景，從而更有助于學生理解和證明.課堂教學時，學生很可能在學習過程中閃現出“奇思妙想”的思維火花，這就要求教師在講課時要能及時調整教學內容和節奏，抓住這閃光點，發揮出它的威力與作用.幾何畫板就具有這樣的靈活性，可隨時操作，為學生創造很好的條件.教師引導學生自己動手操作，既能激發學生的學習興趣和熱情，又能達到研究性學習的目的.

小學數學綜合與實踐課的開設目的在于提高學生的數學素質，具體地說，主要是發展學生的數學思維能力，并能用所學知識技能解決在學習、工作和生活中遇到的數學問題.從實踐內容選擇來說，要尊重學生的需要、興趣和愛好，讓學生通過實踐活動獲得數學經驗和即時信息，幫助學生應用、驗證、鞏固數學知識與數學能力，從而促進全面素質的提高.

運用幾何畫板的構造、度量、繪制及計算功能.圖形變換功能，幾何定理展示功能，動態對象跟蹤功能等去發現、去表現、去探索、去總結函數、代數、幾何的規律與知識點，從而促進學生對數學知識的更好理解與掌握.當然，幾何畫板也不是萬能的，畢竟它只是一種輔助工具，只要適合的內容出現，我們數學教師就要敢于“亮劍”，亮出幾何畫板這柄鋒利的寶劍來破解教學中的難點.

【參考文獻】

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