基于MATLAB的單級倒立擺LQR控制算法仿真

甕振永 吳凡 吳守川

摘 要：倒立擺系統是一個典型的快速、多變量、非線性、不穩定的動態系統，對于倒立擺的控制研究無論在理論研究上亦或是工業復雜控制對象的控制方法上都有深遠的意義。本文主要研究內容是：首先概述倒立擺系統研究的背景及意義；介紹倒立擺組成并對單級倒立擺模型進行建模；研究倒立擺系統的LQR控制方式，并設計出對應的控制器，以MATLAB軟件為平臺經行模擬仿真實驗并對LQR控制效果進行總結。

關鍵詞：倒立擺；LQR控制算法；MATLAB仿真

1、倒立擺系統研究背景及意義

倒立擺控制系統是一個非線性動態系統， 是作為理論教學及開展各種控制實驗的理想平臺。許多抽象的控制概念如控制系統的穩定性、可控性、系統收斂速度和系統抗干擾能力等，都可以利用倒立擺系統直接的展現出來。

除了用于教學，在自動控制領域中，倒立擺系統的高階次、不穩定、多變量、非線性和強耦合等特性使得許多現代控制理論的研究人員一直將它作為研究對象。他們通過對倒立擺系統的研究出新的控制方法，并將其應用于航天科技和機器人學等各種高新科技領域。倒立擺仿真或實物控制實驗，已成為檢驗一個新的控制理論是否有效的試金石，同時也是產生一個新的控制方法必須依據的基礎實驗平臺。

2、單級倒立擺的數學模型

圖1單級倒立擺系統的原理圖。若不給小車施加控制力，倒擺會向左或向右傾斜，控制的目的是當倒擺出現偏角時，在水平方向上給小車以作用力，通過小車的水平運動，使倒擺保持在垂直的位置。即控制系統的狀態參數，以保持擺的倒立穩定。

3、LQR控制及MATLAB仿真

線性二次型最（LQR）優控制算法的目的是在一定的性能指標下，使系統的控制效果最佳，即利用最少的控制能量，來達到最小的狀態誤差，以下將利用最優控制算法實現對一階倒立擺系統的擺桿角度和小車位置的同時控制。

本文所用參數為M = 0.5；m = 0.2；b = 0.1；I = 0.006；g = 9.8；l = 0.3，均為國際單位制。編寫MATLAB程序：

采用LQR方法則首先需將上述參數代入狀態空間方程，求出狀態矩陣A，輸入矩陣B。輸出矩陣C只有兩個1，分別代表小車位置、擺桿角度，傳遞矩陣為0。

接下來利用命令lqr得到系統的反饋增益K，然后通過調整矩陣Q 和R 來獲得滿意的響應效果。經過多次仿真試湊，當R=10、Q11=5000、Q33=100時，小車位置能夠準確地跟蹤輸入信號，擺桿的超調量足夠小，穩態誤差、上升時間與調整時間也基本符合設計指標求。仿真結果如圖2。

這時如果再增大Q，系統的響應還會有所改善，但是在保證Q足夠小并兼顧其它響應指標時，系統響應已經能夠滿足要求了。研究發現Q和R矩陣之間有如下規律：當R 陣的權值增大時，被控量幅值顯著減小，其對應的動態性能指標有所改善，但并不著，當Q矩陣中某一元素的權值增大時，與其相對應的動態響應過程好轉，系統快速性得到明顯提高，與此同時，也引起了一些振蕩，而被控量的幅值由小到大明顯大。

4、LQR控制效果總結

最優控制理論是現代控制理論中的重要內容，過去因為許多復雜的計算難以實現，但隨著計算機技術的不斷進步，復雜的計算可以通過計算機進行處理，因此最優控制在工程技術應用的越來越廣泛。

最優控制算法（LQR）的目的是在一定性能指標下，使系統獲得最佳的控制效果，達到最小的狀態誤差。

在仿真的過程中首先對倒立擺系統如何縮短穩定時間和上升時間進行了仿真，通過不斷的調試，使得系統的響應時間滿足了設計要求。然后為了使系統輸入和反饋的量綱相互匹配，給輸入乘以了增益Nbar，然后進行仿真之后使得小車位置跟蹤輸入信號，而且擺桿超調最夠小，穩態誤差滿足了要求，上升時間和穩定時間也滿足設計指標。

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