并聯機器人位姿正解優化算法及其仿真

李穆遠 全惠敏 吳桂清

(湖南大學電氣與信息工程學院 湖南 長沙 410082)

并聯機器人位姿正解優化算法及其仿真

李穆遠 全惠敏*吳桂清

(湖南大學電氣與信息工程學院 湖南 長沙 410082)

選取3-6結構并聯機器人為研究模型，根據構型間的約束關系，建立機構的位姿正解的求解模型，并采用改進粒子群算法進行求解，將復雜的位姿正解問題轉化為多元非線性方程的尋優過程。為提高求解精度，利用混沌序列的不可預測性與無序性以及在一定范圍內不重復遍歷所有狀態的特性，提出一種基于混沌序列調整慣性權重的改進粒子群算法，將其用于求解位姿正解的計算。計算實例表明，該算法能求解出全部的位姿正解，且相較于標準粒子群算法能達到更高的收斂精度。最后采用SolidWorks和Adams進行聯合仿真，驗證了這種優化算法的可行性。

位姿正解 粒子群算法 混沌序列 慣性權重 Adams仿真

0 引 言

并聯機器人相對于串聯機器人具有較高的精度、很強的承載能力及較快的響應速度等優點，故現在已被廣泛地應用到各個領域[1]。目前較新的應用領域有：應用于虛擬現實的4D或5D影院運動座椅，應用于互動游戲的模擬運動平臺等。給定并聯機器人的桿長變量求解機器人運動平臺位姿，稱為并聯機器人的位置正解，并聯機構位姿正解是并聯機構運動學分析的基礎[2]。在這一求解過程中，由于構型的復雜性和耦合性，采用一般的數值計算方法很難求解，所以正解問題已成為并聯機器人機構運動分析的難點和重點之一，國內外許多學者對其進行了大量的研究，并提出了多種解法[3-7]。常見解法有代數法和數值法[8-9]。傳統的數值法主要是通過Newton 法或Newton-Raphson 法迭代求解[10-11]。粒子群算法由于其搜索速度快、效率高，算法簡單等優點，已經廣泛應用在并聯機器人的正解問題的求解之中。劉偉銳等提出采用一種改進的粒子群算法求解并聯機構的位姿正解[12]，耿明超等提出采用一種基于擬newton法求解位姿正解的方法[13]。本文提出改進的粒子群算法——混沌序列調整慣性權重的粒子群算法，并將其用于求解3-6結構并聯機器人平臺的位置正解解算之中。

1 并聯機器人位姿正解的數學模型

圖1所示為3-6結構并聯機器人平臺的結構簡圖。

圖1 3-6結構并聯機器人結構簡圖

如圖1所示該機構由上面運動平臺，下面固定平臺和6臺可伸縮的電缸構成，上下平臺和電缸之間采用鉸鏈來連接，上下平臺分別為一個正三角形和一個正六邊形。在定平臺上建立定坐標系O-XYZ，原點O位于定平臺的幾何中心，Y軸與B1B4重合，Z軸與定平臺垂直，X軸遵守右手坐標系規則。O-XYZ為動坐標系，原點O位于動平臺的中心點，Y軸與A1A2平行，Z軸與動平臺垂直，X軸同樣遵守右手坐標系規則。上平臺邊長為a，下平臺邊長為b，第i臺電缸的長度為Li(i=1,2,…,6)。上平臺三個頂點在動坐標系中的坐標矢量為：

下面正六邊形的六個頂點在O-XYZ中的坐標矢量為：

設上平臺的幾何中心點O在定坐標系中的坐標矢量為OA=[XA,YA,ZA]T,用Z-Y-X型Euler角(α,β,γ)表示動平臺的姿態，則動坐標系相對于定坐標系的方向余弦矩陣可表示為：

式中：“s”表示“sin”,“c”表示“cos”。則點Ai(i=1,2,3)的坐標可以通過如下變換公式轉換成定坐標系中的坐標矢量：

AOi=TAi+oAi=1,2,3

(1)

根據電缸的約束條件得：

‖AO1-Bi‖=Lii=1,2‖AO2-Bi‖=Lii=3,4‖AO3-Bi‖=Lii=5,6

(2)

令x=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]T=[α,β,γ,XA,YA,ZA]T，則式(2)轉換為非線性方程組：

F(x)=[f1(x),f2(x),…,f6(x)]T=0

(3)

其中：

根據并聯機構的約束關系，方程組fi(x)取值為零是最理想的狀態，此時對應的方程解代表最精確的正解位姿，所以將方程組fi(x)轉換為求解最小值的無約束優化模型：

(4)

根據無約束優化模型，可以求出用來描述上平臺位姿的六個最優參數P=[α,β,γ,XA,YA,ZA]。即在給定電缸的伸長度時，可用上述模型求解出平臺的位姿參數。由于上下平臺坐標信息是根據不同的坐標系確定的，以及平臺尺寸的標示單位可能不同，在進行計算之前先要進行參數的無量綱化。

2 并聯機構位置正解的改進粒子群算法

2.1 標準粒子群算法(PSO)

標準粒子群算法采用文獻[14]中的表述，假設搜索空間是n維的，粒子群中第i個粒子的位置用xi(xi1,xi2,…,xin)表示，第i個粒子的速度用vi=(vi1,vi2,…,vin)表示，第i個粒子的個體最好位置為pi=(pi1,pi2,…,pin)，整個粒子群目前搜索到的最好位置為pg=(pg1,pg2,…,pgn)，下一代粒子的第d(1≤d≤n)維的速度和位置根據下面的方程來更新：

(5)

(6)

式中：c1和c2是學習因子，是兩個非負常數，r1和r2是介于[0,1]之間的隨機數，為了使粒子在有效的區域內搜索，通常將粒子速度限定在[-vmax,vmax]之間，vmax是由用戶設定的常數，ω為慣性權重。慣性權重較大有利于提高算法的全局搜索能力，而慣性權重較小會增強算法的局部搜索能力，因此其值的選取直接關系算法的開發能力和探索能力[15]。為提高算法的收斂性能，避免早熟問題和陷入局部最優問題，許多學者對標準粒子群算法進行各種改進。姜長元等提出一種正弦調整慣性權重的方法[16]。許少華等通過自適應的慣性權重來改進粒子群算法[17]。

2.2 基于混沌序列調整權重的粒子群算法

混沌運動具有無序性、不可預測性、對初值的敏感性，能按其自身的“規律”在一定范圍內不重復遍歷所有狀態，Coelho等將混沌序列應用到不同進化過程的變異操作，以增強算法的尋優能力[18]。

由于混沌序列具有較好的遍歷性和隨機性的特性，且可以不重復遍歷所有的狀態，故可以通過一維混沌自映射產生混沌序列來調整粒子慣性權重，方程表述如公式：

ω(t)=f(ω(t-1))

(7)

(8)

其中：ω(t)是第t次迭代的慣性權重，粒子的速度按式(8)進行更新。由式(7)生成的慣性權重，將具有混沌特性。最常用的混沌映射就是Logistic映射[19]：

Zg+1=μZg(1-Zg) 0

(9)

其中：μ是控制參量，隨著μ的改變會呈現復雜多變的狀態，μ的取值決定著慣性權重Z的變化規律。取μ=0.4，由于混沌序列對初值的敏感性，為保證算法收斂，根據文獻[6]中得出的經驗值，取初值Z0=0.54，式(9)處于完全混沌狀態。式(7)中t為1 000次時慣性權重L1的分布情況如圖2所示，由該圖可知，Logistic映射所產生的慣性權重遍歷性較好,且產生的權重分布在經驗值[0，1]的范圍之中,故相較于一般的線性減少策略能更好地調整搜索空間。

圖2 Logistic映射生成的慣性權重

為了進一步分析混沌權重分布的特性，對Logistic混沌映射進行了1 000次的迭代后對其值進行統計，分布情況如表1所示。我們發現得到的混沌慣性權重在兩頭分布的概率較大，這滿足我們希望慣性權重在“某一時期”較大或較小的要求，而在其他區間則相對均勻，這有利于全局搜索的遍歷性。

表1 混沌權重迭代1 000次分布情況統計

3 3-6結構并聯機器人正解實例計算

將3-6結構并聯機器人的邊長量及電缸的變化量相對于動平臺邊長無量綱化，得到本次實例計算的無量綱參數如表2所示。

表2 邊長量及電缸的變化量

將待求參數P=[α,β,γ,XA,YA,ZA]看作為粒子位置，將式(5)視為粒子群的適應度函數，采用第2節給出的基于混沌慣性權重的粒子群算法求解該機構的位姿正解。

仿真實驗中，取最大測試次數為50次，c1和c2取為2，種群個數n=50，迭代次數取為1 000，維數取為6。采用Visual Studio 2013編程求解。運行結果顯示：適應度函數最優值為0，最差值為1.380 507E-30，最優平均值為2.051 038E-31，圖3所示為適應度函數的收斂曲線。由于優化算法是在標準粒子群算法基礎上進行改進的，為了證明算法的優化性，對改進算法和標準粒子群算法進行收斂精度與迭代速度上的比較。從圖中不難發現，改進后的粒子群算法能達到的收斂精度明顯高于標準粒子群算法，且收斂曲線的下降速度快于標準粒子群算法，從仿真結果來看，這種改進算法具有更加良好的優化效果，說明在標準粒子群算法基礎上采用混沌序列來調整慣性權重這種優化方法是行之有效的。表3所示為采用基于混沌慣性權重的粒子群算法求解的一組對應于本次計算給定邊長量及電缸的變化量的全部運動學正解。

圖3 適應度函數的收斂曲線

序號α(°)β(°)γ(°)XAYAZA179．67547．46810．0640-0．2820．1301．571279．78750．3087．7630-0．3180．1111．561380．29148．62512．2600-0．2990．1421．566481．06344．8618．1520-0．2730．1801．562584．68245．78914．2520-0．2620．1601．575679．07944．77311．9680-0．2460．1461．579781．45844．9278．7450-0．23470．1241．573878．14343．8362．9010-0．2440．1431．560977．52141．1164．8860-0．2080．1591．5691080．60642．23610．5150-0．1980．1391．5821181．88247．7606．6130-0．2710．1061．5631273．10047．5103．9540-0．2740．1511．5971378．66446．1918．4010-0．2560．1831．6001475．11844．8922．4540-0．2660．2031．5871585．29148．62512．2600-0．2990．1421．5661682．69445．81017．6010-0．2730．1831．5771781．06344．8618．1520-0．2730．1801．5621879．07944．77311．9680-0．2460．1461．5791981．45844．9278．7450-0．2350．1241．573

續表3

4 SolidWorks和Adams聯合仿真分析

本文采用SolidWorks構建并聯機器人模擬平臺，然后將模型導入Adams仿真軟件中進行位姿仿真，模型白色條狀部分為下平臺，黑色條狀部分為運動平臺，如圖4所示。

圖4 運動平臺模型結構圖

本次聯合仿真試驗選取運動平臺的中心點為測量對象，在Adams模型中中心點被標記為CM點，本次仿真分析CM點在給定的驅動下，XYZ方向上的位移和時間的關系，以及歐拉角三個旋轉角度隨時間的變化關系，以此來驗證算法的可行性。

在Adams仿真試驗中采用的驅動方程為：

TraX=0.25sin(0.2πt)TraY=0.25sin(0.3πt)TraZ=0.25sin(0.1πt)

(10)

本次仿真時間設置為20 s,CM點在XYZ方向上速度變化隨時間的關系如圖5所示。

圖5 CM點XYZ方向上的速度隨時間變化曲線圖

最后得到CM點的位移、角度隨時間變化曲線如圖6-圖8所示。

圖6 CM點在X方向上隨時間變化曲線圖

圖7 CM點在Y方向上隨時間變化曲線圖

圖8 CM點在Z方向上隨時間變化曲線圖

CM點歐拉角三個旋轉角度隨時間變化情況如圖9-圖11所示。

圖9 CM點歐拉角第1旋轉角隨時間變化曲線圖

圖10 CM點歐拉角第2旋轉角隨時間變化曲線圖

圖11 CM點歐拉角第3旋轉角隨時間變化曲線圖

由仿真曲線可以看到，運動平臺的CM點在XYZ方向上的位移范圍分別為：[-0.30，-0.15]，[0.10,0.22]，[1.52,1.66],CM點歐拉角的三個旋轉角度的變化范圍分別為：[70.0°,80.0°]，[40.0°,52.0°]，[2.0°,20.0°]。在第3節中實例計算得到的最優解的結果全落在CM點的位移和旋轉角度變化的范圍之內，由此驗證了優化算法的可行性。

5 結 語

本文將動平臺位姿的六個參數直接看作為未知數，根據機構的約束條件，構造無約束優化模型，將原來計算復雜的非線性運動學正解問題轉化為目標函數的尋優過程。相較于文獻[20]中使用的建立位置參數模型的方法，本文的模型構造較為簡單，且能將上平臺中心的坐標矢量作為未知數直接求解，然后采用一種混沌序列調整慣性權重的改進粒子群算法求解出位姿正解的全部解。且由適應度函數的迭代進化曲線可知，改進的粒子群算法達到的收斂精度明顯優于標準粒子群算法，收斂曲線的下降速度也快于標準粒子群算法。最后采用SolidWorks和Adams進行聯合仿真試驗，驗證了優化算法的可行性。

[1] Zhang Hongli,Ren Tiantian,Pazilai M.Forward Position solution of 3-RPS in-Parallel Manipulator Based on Particle Swarm Optimization[C]//2014 26th Chinese Control and Decision Conference(CCDC),2014:4171-4177.

[2] 黃真,趙永生,趙鐵石.高等空間機構學[M].北京:高等教育出版社,2006.

[3] 車林仙,何兵,易建,等.對稱結構Stewart機構位置正解的改進粒子群算法[J].農業機械學報,2008,39(10):158-163.

[4] Greenivasan S V,Nanua P.Solution of the direct position kinematics problem of the general Stewart platform using advanced polynomial continuation[C]//Proceedings of the 22th ASME Mechanisms Conference,Arizona,1992:99-106.

[5] 王玉新,王儀明,柳楊,等.對稱結構Stewart并聯機器人的位置正解及構型分析[J].中國機械工程,2002,13(9):734-737.

[6] Wen Fuan,Liang Chonggao.Displacement analysis of the 6-6 Stewart platform mechanisms[J].Mechanism and Machine Theory,1994,29(4):547-557.

[7] 李樹軍,王玥.一種求解6-3構型并聯機器人機構位置正解的逼近算法[J].機械科學與技術,2002,21(1):81-82,85.

[8] Dasgupta B,Mruthyunjaya T S.The stewart platform manipulator:a review[J].Mechanism and Machine,2000,35(1):15-40.

[9] 季曄,劉宏昭,原大寧,等.并聯機構位置正解方法研究[J].西安理工大學學報,2010,26(3):277-281.

[10] Lee K M,Shah D K.Kinematic analysis of a three degrees of freedom in-parallel actuated manipulator[J].IEEE Journal of Robotics and Automation,1988,4(3):354-360.

[11] Lisandro J P,Roque J S,German R P,et al.Design and kinematic analysis of 3PSS-1S wrist for needle insertion guidance[J].Robotics and Autonomous Systems,2013,61(5):417-427.

[12] 劉偉銳,趙恒華.改進粒子群算法在并聯機構位置正解中的應用[J].機械設計與制造,2014(2):181-183.

[13] 耿明超,趙鐵石,王唱,等.基于擬newton法的并聯機構位置正解[J].機械工程學報,2015,51(9):28-36.

[14] 楊傳將,劉清,黃珍.一種量子粒子群算法的改進方法[J].計算技術與自動化,2009,28(1):100-103.

[15] 周俊,陳璟華,劉國祥,等.粒子群優化算法中慣性權重綜述[J].廣東電力,2013,26(7):6-12.

[16] 姜長元,趙曙光,沈士根.慣性權重正弦調整的粒子群算法[J].計算機工程與應用,2012,48(8):40-42.

[17] 許少華,李新幸.一種自適應改變慣性權重的粒子群算法[J].科學技術與工程,2012,12(9):2205-2208.

[18] Coelho L D S,Mariani V C.A novel chaotic particle swarn optization approach using Henon map and implicit filtering local search for economic load dispatch[J].Chaos Solitons & Fractals,2009,39(2):510-518.

[19] 劉玲,鐘偉民,錢鋒.改進的混沌粒子群優化算法[J].華東理工大學學報:自然科學版,2010,36(2):267-272.

[20] 賀利樂,劉宏昭,王朋.基于改進遺傳算法的六自由度并聯機器人位置正解研究[J].應用科學學報,2005,32(5):522-525.

OPTIMIZATIONALGORITHMOFFORWARDPOSESOLUTIONTOPARALLELROBOTANDITSSIMULATION

Li Muyuan Quan Huimin*Wu Guiqing

(CollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniversity,Changsha410082,Hunan,China)

In this paper, 3-6 structure parallel manipulators are chosen as the research model. According to the constraint relation between configurations, an unconstrained optimization model is established for solving the forward position problem of the parallel platform. The complicated kinematics problem is transformed into a multiple nonlinear equations optimization process. In order to improve the convergence precision of the algorithm, an improved particle swarm optimization based on the chaotic sequence was proposed. Ergodic, stochastic and regular properties are the characteristics of chaos, which means it can track any state in a certain scope without repetition according to its regularity, using chaotic sequence to adjust the inertia weight was proposed in this paper, And used this improved particle swarm optimization to solve the forward position problem. Results of a numerical for the forward position analysis of the parallel platform show that, the improved particle swarm algorithm could solve all the position positive solutions, and compared to the standard particle swarm optimization algorithm can achieve higher convergence accuracy. At last, SolidWorks and Adams were used for co-simulation test. And the feasibility of the algorithm was verified.

Forward pose solution Particle swarm optimization algorithm Chaotic sequence Inertia weight Adams simulation

2016-12-08。 國家科技支撐計劃項目(2014BAK08B01)。李穆遠，碩士生，主研領域：人工智能算法。全惠敏，副教授。吳桂清，副教授。

TP242

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2017.12.050