基于小波變換與數學形態學的圖像邊緣檢測方法

李穎瑩 魏連鑫

摘 要：為得到更加連續完整的邊緣圖像，提出一種基于B樣條小波變換與數學形態學的圖像邊緣檢測方法，在此方法中給出有效重構算法。針對自然圖像，利用B樣條小波變換作用于圖像的高頻子圖像得到高頻邊緣圖；利用數學形態學檢測圖像的低頻子圖像得到圖像的低頻邊緣圖；利用文中給出的有效重構的方法將高頻邊緣圖和低頻邊緣圖重構得到最終的邊緣圖像。實驗結果表明，新方法提取出的邊緣效果較之前更佳。

關鍵詞：小波變換；B樣條小波；數學形態學；邊緣檢測；有效重構

中圖分類號：TP391.1 文獻標識碼：A

文章編號：2096-1472（2018）-11-21-04

1 引言（Introduction）

圖像信號的突變點、不規則結構和不平穩現象處會產生圖像的邊緣。圖像邊緣是一種重要的視覺信息，為人們描述或識別目標及解釋圖像提供了一個重要的特征參數。許多學者對邊緣檢測做出研究。Canny在1986年提出的邊緣檢測的計算，Mallat提出的信號處理的小波變換原理[1-3]等研究為邊緣檢測的發展做出了重大貢獻。

劉曉豫提出的小波變換的方法進行圖像邊緣檢測[4]，雖然在對圖像邊緣的定位和抑噪性能方面表現較好，但只是從圖像分解的高頻分量中獲取邊緣，忽略了低頻信息，檢測出的邊緣并不完整。陳虎采用數學形態學方法進行圖像邊緣檢測[5]，提出將多種結構元素作用于圖像，解決了單一結構元素進行邊緣檢測時的缺點，但對于結構元素不同方向的邊緣會被平滑掉。因此，為實現更好的邊緣檢測效果，應該兼顧圖像的高頻分量和低頻分量。王海虹在文獻中提出一種小波變換[6]和數學形態學結合的邊緣檢測算法[7，8]，但對于自然含噪的圖像，檢測結果依然含有因噪聲產生的偽邊緣。基于這一點，本文在文獻[6]的基礎上提出一種有效重構的方法。本文首先對圖像進行小波分解，結合B樣條小波和數學形態學方法分別獲得高頻邊緣和低頻邊緣。將低頻邊緣重構得到低頻結果圖，將低頻與高頻邊緣重構得到邊緣結果圖，利用低頻結果圖對邊緣結果圖進行過濾操作得到邊緣圖像。結果表明，此方法更加有效地提取了圖像的邊緣。

2 基于小波變換與數學形態學結合的圖像邊緣檢測算法（Image edge detection algorithm based onwavelet transform and mathematical morphology）

2.1 小波對圖像的分解與重構

利用小波變換的原理對圖像進行分解與重構。設信號在空間中有逼近。可由兩個基本正交基表示，其中

其中，LL區域為原圖像的低頻部分即為，保留原圖像的大部分信息。HL區域即為保留原圖像的水平方向的高頻信息，LH區域即為保留原圖像的垂直方向的高頻信息，HH區域即為保留原圖像的對角線方向的高頻信息[2，3]。

重構與分解是相互伴隨的。得到的重構公式為：

對圖像進行上采樣后，通過上述公式計算即可得到重構后的系數。

2.2 小波變換對高頻分量邊緣檢測

小波變換邊緣檢測算法是將圖像與濾波器作卷積處理獲得平滑圖像以便于后續的邊緣檢測[9]。小波分析良好的時頻局部化能力，天然的多尺度特征，可將圖像分解成交織在一起的多尺度成分，并對大小不同的尺度成分采用相應粗細的時域或空域取樣步長。即任意一個信號都可以由小波系數來刻畫。由于收斂于Canny算子的B樣條小波既能近似滿足Canny提出的最優原則[2]，又可以快速有效的實現邊緣檢測，所以本文算法中選取B樣條小波對圖像進行邊緣檢測。

對圖像進行多層小波分解后，每一層的高頻分量都提供了不同頻率的邊緣信息。多尺度小波邊緣檢測就是利用一個二階可導平滑函數在不同尺度下所檢測的信號，根據一次微分找出它的突變點。一次微分的極大值點對應平滑后信號的拐點[10]。尺度小時圖像邊緣信息更豐富；尺度大時，噪聲得到抑制，但邊緣精度差。因此將多尺度圖像融合起來發揮各尺度的優勢，得到精確的邊緣信息[11-13]。

對固定的尺度s，在二維平面上的一點，在由給出的方向上，若是局部極大值點，則點為邊緣點。

以下為對高頻分量的檢測步驟：

（1）設置B樣條濾波器系數及分解級數。

（2）對圖像進行分解并求出不同尺度下的的梯度方向和梯度矢量。

（3）沿著梯度方向檢測小波模極大值點得到圖像的邊緣點。

（4）對檢測出的邊緣點進行判定是否為真邊緣，使用兩個閾值，其中，當梯度值大于的為強邊緣像素，值在 之間的為弱邊緣像素，通過判斷8領域是否高于閾值判斷真假邊緣。

（5）對邊緣圖進行重構得到高頻邊緣子圖像。

對高頻分量檢測的算法流程圖如下圖1所示。

2.3 數學形態學對低頻分量邊緣檢測

數學形態學是一種非線性濾波方法，基本運算包括膨脹、腐蝕、開運算和閉運算。一般而言，膨脹運算是把圖像連接成分的邊界擴大一層。將與物體接觸的所有背景點合并到物體中，使目標增大，可添補目標中的空洞。腐蝕運算把連接成分的邊界點去掉從而縮小一層，使目標縮小，可以消除小于結構元素的噪聲點。開運算是先腐蝕后膨脹的過程，可以消除圖像上細小的噪聲，并平滑物體邊界。閉運算是先膨脹后腐蝕的過程，可以填充物體內細小的空洞[14-16]。設為輸入圖像，是結構元素，為輸出圖像，則將以上運算表示出來為：

數學形態學邊緣檢測效果與結構元素形狀、大小都有著十分重要的聯系。一定尺寸的背景圖像就是結構元素，通過與圖像進行各種形態學運算，實現對圖像的形態學變換。在數學形態學邊緣檢測中，結構元素是一個重要的概念，它在各種形態變換中起著重要作用。小尺寸的結構元素去噪能力弱，但能檢測到邊緣細節；大尺寸的結構元素去噪能力強，但檢測的邊緣粗糙[8]。本文利用數學形態學方法對低頻子圖像進行邊緣檢測，低頻近似子圖像噪聲較少，所以本文選用小尺寸的結構元素。

2.4 高低頻邊緣的有效重構

區別于文獻[15，16]直接將低頻邊緣和高頻邊緣重構即得到圖像的邊緣檢測圖，為得到效果更加的邊緣結果圖，消除噪音干擾造成的偽邊緣，本文在最終對低頻邊緣和高頻邊緣進行有效重構。首先利用第一部分介紹的重構算法對低頻邊緣和高頻邊緣進行重構得到邊緣圖。在對低頻邊緣進行重構得到低頻結果圖，對得到的低頻結果圖作形態學模糊操作。本文利用結構元素對低頻結果圖作閉合操作，結構元素為半徑為9的圓盤。為抑制邊緣圖像中的噪音區域，形態學模糊操作得到的結果作用在邊緣圖上，即令邊緣圖與其進行點乘運算得到原圖像的邊緣圖。本文整體算法流程圖如圖2所示。

3 結論（Conclusion）

本文以荷花圖為例進行基于小波變換及數學形態學邊緣檢測算法實驗。實驗中利用Haar小波對圖像進行分解與重構。在對高頻分量小波邊緣檢測中，小波分解級數設定為2。實驗結果如圖3所示，圖（a）為帶有一定噪音的原圖像；圖（b）為利用數學形態學邊緣檢測低頻分量邊緣圖，檢測出的花干及花朵細節較佳，噪音少；圖（c）為利用b樣條小波變換檢測出的高頻分量邊緣圖，依次為高頻水平邊緣子圖，高頻垂直邊緣子圖和高頻對角線邊緣子圖，如圖噪聲依舊存在，但花朵細節豐富；圖（d）為傳統小波變換邊緣圖，如圖在花干及花朵部分細節缺失較多；圖（e）為將低頻邊緣與高頻邊緣直接重構得到的結果，重構圖像依然檢測出很多噪聲；圖（f）為本文算法重構圖，相比較實驗結果表明有效重構后圖像有效的提高了邊緣細節的提取效果，在消除噪音的方面效果更佳，得到了更加精確地邊緣圖。

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作者簡介：

李穎瑩（1994-），女，碩士生.研究領域：小波分析與應用.

魏連鑫（1977-），男，博士，講師.研究領域：數值逼近與小波分析.