Fubini定理的應用探討

張順欽　姚愷

摘 要 本文運用Fubini定理解決了勒貝格積分在非負可測的情況下積分域上取極限的問題，并且通過推廣與舉例得到對Fubini定理以及積分域上取極限更深刻的認識。

關鍵詞 Fubini定理 極限 積分域

中圖分類號：O141.41 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.10.020

Discussion on the Application of Fubini Theorem

ZHANG Shunqin， YAO Kai

（School of Science， China University of Mining & Technology，Beijing 100083）

Abstract In this paper， the Fobini theorem is used to solve the problem that the Lebesgue integral takes the limit in the integral domain under non-negative measurable conditions， and a more profound understanding of the Fubini theorem and the limit of the integral domain is obtained by generalization and examples.

Keywords Fubini theorem； limit； integral domain

實變函數是19世紀下半葉形成的數學分支，它是微積分學的進一步發展。它在數學的其他分支，尤其是泛函分析和拓撲學中應用也很廣泛。Fubini定理是實變函數中重要的計算積分的工具。Fubini定理在簡化積分計算，化高階積分為低階積分中起著重要作用。下面我們通過具體實例，探討Fubini定理在理論推導和計算積分時的應用。

Fubini定理：（1）設在（，分別為與中之可測集）上非負可測，則對a.e.的作為的函數在上可測，且

（2）設在上可積，則對a.e.的作為的函數在上可積，又作為的函數在上可積且（*）式成立。

首先我們引入積分區域取極限的情況下積分的變化。

定理1：如果滿足以下條件：

1）；

2）為可測集；

3）在上非負可測，

則。

證明：設 ，則由于在上非負可測，為可測集，所以為上的一列非負可測函數。

當時，對于任意自然數有，且，由列維定理我們得：

，故

。

當定理1證明完成之后，我們自然會聯想在二維情況下的積分是什么樣的？我們發現，如果滿足與一維相似的條件，同樣可以得到這個結論。

定理2：如果滿足以下條件：

1），；

2）均為可測集；

3）在上非負可測，其中。

則有 。

證明：由Fubini定理，

。

由于在任意的上非負可測，則由Fubini定理，對a.e的作為的函數在Am上非負可測。

由定理1

，

再由條件1）和條件2），取，可得。又為可測集，且在任意的上非負可測，故由定理1知。

綜上，定理2成立。

下面我們舉例說明上述定理的應用。

例1.求。

解： 由于，且在任意的上非負可測

所以 。

例2.求證：。

證明：

于是計算

，

所以的極限不存在。而我們計算。結論即證。

注：從例2中可以看出，如果在定理2中僅僅滿足條件1）和條件2），而不滿足條件3）中非負的條件，結論是不一定成立的。

基金項目：中國礦業大學（北京）大學生創新訓練項目（C201707544）“Lebesgue空間理論及其應用”（指導教師：林燕）

參考文獻

[1] 程其襄，張奠宙，魏國強，胡善文，王漱石.實變函數與泛函分析基礎（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 黃重器.Fubini定理的推廣[J].龍巖師專學報，1983.1（2）：15-21.