結合面參數最小相對誤差二乘法擬合

楊帆　劉康華

摘 要：結合文獻資料，利用最小相對誤差二乘法對原模型進行求解，得到新的回歸方程組。結果證明：用最小相對誤差二乘法解出的回歸方程組相對誤差在3.5%以內，相對于高斯最小二乘法解出的結果降低了12.5%，平均絕對百分比誤差（MAPE）分別降低18.0%、12.4%、19.0%。

關鍵詞：機床；固定結合面；最小相對誤差二乘法；平均絕對百分比誤差

中圖分類號：TH133 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）22-0215-02

數控機床整機的動態優化設計是急需解決的關鍵問題之一。在零物理樣機的情況下，使用虛擬樣機對整機動態特性進行預測是現代機床數字化優化設計的重要內容。機床零件結合面的建模及其動態參數的準確識別決定了預測模型的準確性[1]。國內外專家學者針對結合面參數識別進行了大量的研究，吉村允孝等[2]建立了結合面6自由度相互獨立的等效動力學模型；華中科技大學的毛寬民等[3]利用曲面相應法和最小二乘法處理實驗數據，建立了結合面參數化模型。許倩鈺、秦宇[4]等基于最小二乘法原理及多項式擬合的方法，得到不同速度下動態稱重數據的擬合曲線。

高斯最小二乘法忽略了絕對誤差對大小不同的數據的影響程度不同。本文將用以相對誤差平方和為最小化目標的最小二乘法求解文獻[3]中的數學模型，并以平均絕對百分比誤差（Mean Absolute Percentage Error）為參考評價兩種方法的差異。

1 基于最小相對誤差二乘法的模型求解

1.1 文獻數據分析

從文獻[3]提取部分用高斯最小二乘法擬合所得的數據，比較在相同絕對誤差的情況下，相對誤差的不同。各實驗值與擬合值之間的絕對誤差為0.10，其相對誤差絕對值則由1.61%縮小到0.35%。最小二乘法的原理是通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。通常擬合數據往往按與實驗數據的相對誤差來評價的，實驗數據越大，允許的擬合數據的誤差也越大。針對這一點，文獻[3]中以絕對誤差的平方和為最小化的目標，沒有考慮到實驗數據大范圍變化對相對誤差造成的影響。

1.2 最小相對誤差二乘法

將影響結合面參數的尺寸值代入到式（7）、式（8）中，得到模型擬合剛度值和相對誤差，見表1。

新的回歸方程計算所得相對誤差絕對值基本都在3.5%以內，而高斯最小二乘法求解所得結果相對誤差絕對值基本在4.0%以內，采用最小相對誤差二乘法使最大相對誤差減小了12.5%。

2.2 平均絕對百分比誤差（MAPE）比較

新模型不僅誤差區間更小，其平均絕對百分比誤差比文獻[3]中明顯減小。

由表2可知，預緊力為9.375KN、18.750KN和28.125KN時，用高斯最小二乘法求解所得結果的平均絕對百分比誤差（MAPE）比用相對誤差最小二乘法依次降低了18.0%、12.4%和19.0%。

3 結語

本文將相對誤差最小二乘法用于結合面參數識別實驗中數學模型的求解，對文獻[4]中的機床固定結合面動力學參數化模型起到進一步完善的作用，得到以下結論：

對于大范圍變化的實驗數據的處理，以相對誤差平方和為最小化目標的最小相對誤差二乘法優于高斯最小二乘法。

參考文獻

[1]郭成龍.數控機床滑動導軌結合面動態特性參數測試及應用研究[D].南京：南京理工大學，2012.

[2]Yoshimura M. Making use of CAD technology based on the dynamic characteristics data of joints to improve the structural rigidity of machine tools[J].Machine Tools，1979，1：142-146.

[3]毛寬民，黃小磊，李斌，等.一種機床固定結合部的動力學參數化建模方法[J].華中科技大學學報，2012，04（4）：49-53.

[4]許倩鈺，秦宇，楊發武，等.基于最小二乘法與MATLAB軟件的動態稱重數據擬合[J].計量技術，2012，06（6）：76-79.

[5]徐穎，李明利，趙選民，等.響應曲面回歸法—一種新的回歸分析法在材料研究中的應用[J].稀有金屬材料與工程，2001，30（6）：428-438.