偉大藝術中隱藏的數學

庫斯·索托伊

對很多人來說，藝術與數學之間幾乎橫亙著一道天塹：藝術是情緒的表達，是熱情的釋放，是美學的展示；而數學則是邏輯、準確性以及真理的化身。不過，這只是膚淺的定式思維，在藝術與數學截然不同的外表之下，兩者之間的共同點比你想象得更多。

所有的藝術家都會告訴你一個事實，在完成一件藝術作品的最初階段，想要迸發出情感的火花是非常困難的。作曲家菲利普·格拉斯甚至說他盡量避免在創作作品的時候帶入情緒，他認為音樂中的情緒會在作曲家工作的過程中自發地呈現出來，“的確，我創作的音樂中總是會帶有一定的情緒氛圍，但是這與我創作過程中的個人意志是無關的。”事實上，真正能夠影響作品氛圍的是音樂的結構以及內在邏輯。

另一方面，數學的發展卻往往與情緒的滋生、熱情的點燃有關。數學并不像大家想象中那樣，只是事實與數字的單純羅列，與其說數學家是一群古板的書呆子，不如說他們是編織故事的造夢師。數學家很會講故事，他們故事中的角色就是數字和圖形，他們講述的就是這些角色之間的證明題，每一條公式都是一次訴說。

我是一名數學家，與藝術家共事多年，多年的工作經歷告訴我，我們的實踐有著極其多的相似之處：藝術家在創作作品的時候，往往要和我一樣構建數學模型，在構建模型的方式上，我們或許有些不同，但是作品的框架和結構總是我們關注的核心。更有趣的是，我們工作靈感的來源往往都來自自然的造化，而藝術與數學都是我們各自改造生存環境的利器，正如人類發明許許多多的語言，我們也發明了許多“語言”，幫助我們探索周邊的環境。

旋律之間

音樂可能是這個世界上最接近數學的藝術形式，正如德國哲學家萊布尼茨所說：“音樂能夠通過計算帶給人心靈的愉悅，盡管人們并沒有意識到自己是在計算。”事實上，音樂與數學直接的聯系比他描述的還要緊密。正如畢達哥拉斯著名的發現，我們在音樂中感受到的和諧基于數學的基礎，是數學的結構支撐起了樂曲的建筑。

大家可以先聽聽下面這首梅西安的《時間終結四重奏》，在這首樂曲中，梅西安用質數的概念構建了一首充滿著緊張情緒的作品。在第一樂章《純潔的禮拜儀式》里，梅西安希望營造出一種時間無休無止的感覺，而質數17和29便在其中發揮了關鍵作用，它們分別作為韻律和和弦序列的基礎，整個樂曲要到17×29個音符處才會重復，樂章也就在那一時刻終結。

令我感興趣的是，音樂家和數學家共同關注的這種不同步性也存在于大自然中。在北美的森林里生活著一種蟬，它們遵循著一種神奇的生命循環，它們需要在地下蟄伏17年才能破土生長，在第17年中最后的6個星期尋找其他蟬交配產卵然后死去，再過17年才能等到下一代破土而出。這個循環周期的數字的選擇使得它們避開了天敵——一種同樣周期性出現在森林里的食肉動物。

線條之間

不僅音樂的抽象特質使得它與數學產生了自然的聯系，在其他藝術形式之中同樣蘊含著數學的光芒：藝術家們對于數學美的探索也會帶來靈感的火花。

視覺藝術領域與數學的關聯就非常明顯。當你在畫布上描繪一條線，或者在石像上雕刻出一個圖形的時候，你就在進行一次數學建模，顯而易見，視覺藝術當然與幾何有關。而在建筑藝術領域，數學則是必須的，你必須通過數學計算才能保證設計出的建筑不是紙上樓閣，而建筑的外形與線條也必須經過精心的幾何設計與數學分析，才能保證它呈現在城市的天際線的時候，能保持內在與外在的和諧美觀。

對我而言，最讓我感到震驚的是，即使是用文字呈現的藝術杰作，它們的內在仍然閃現有數學的律動。無論是詩人、小說家還是劇作家，他們往往都以自己作品中呈現出的嚴謹的結構、表征以及內在邏輯為豪，而構建這種邏輯的毫無疑問是數學。

我曾經主持過一檔廣播節目《秘密數學家》，這檔節目的核心就是尋找藝術作品中暗含的數學邏輯。在無數作曲家、作家、建筑師以及其他藝術家的作品中，我發現了數學的影子，雖然有時候創作出這些作品的人并沒有察覺到。

菲利普·格拉斯可能算是藝術家群體中的某種異類，他對于探尋旋律中的數學奧秘非常著迷，他通常會把大自然中的節奏與自己的旋律結合，并希望以此讓聽眾進入他創造的異想音樂世界。阿根廷文豪博爾赫斯的作品中時常體現著從數學中推演的有限宇宙觀，他的《巴別圖書館》就是這種思想的體現。英國女建筑師扎哈·哈迪德所推行的“參數運動”則旨在將城市環境呈現為數學與自然的結合。

在我的節目中，我曾經做過一項關于“文藝復興時期的藝術家如何幫助當時的數學家重現古希臘數學模型中的奧秘”的研究：古希臘的不少數學成果在中世紀后期早已遺失，而藝術家在繪畫技法的發展中重新發現了這些數學知識。我同時也在超現實主義藝術家薩爾瓦多·達利最著名的作品之一《刑罰》中發現了強有力的“超維度”概念，同時，杰克遜·波洛克在他的作品中無意呈現出了一項20世紀才發現的數學模型——分形，這位美國藝術家因為缺乏平衡和酒精過度而成了一位秘密數學家，在他搖搖晃晃地創造他的滴畫時，使用了一種被數學界稱為“混沌擺”的數學原理。

當代藝術家安尼什·卡珀爾曾經想成為一名建筑師，卻因為學建筑需要太多的數學基礎而放棄了這個夢想。但是，他的作品中仍然包含著相當靈敏的數學嗅覺，并因此造就了不少跨越文化語境的“環球”作品。他在2009年制作了一件名為《喬木與眼睛》的雕塑作品，由多個金屬球體構成，它反映了自然界中的分形原則，同時，雕塑上的鏡面材料則把現實世界折射成另一種形態，而這恰好是宇宙本來的模樣——彎曲、折射，而宇宙空間中的萬物反射出來的光芒在到達我們眼睛的過程中，也會經歷多次彎曲。這個作品反映了數學與人們直覺的差異。

（作者系牛津大學數學教授）