正則化算法在CT圖像重建上的應用①

李 帆,李勇明,李傳明,李志超,王 健

1(第三軍醫大學 西南醫院放射科,重慶 400038)

2(重慶大學 通信工程學院,重慶 400044)

3(第三軍醫大學 生物醫學工程學院,重慶400038)

正則化算法在CT圖像重建上的應用①

李 帆1,2,李勇明2,3,李傳明1,李志超1,王 健1

1(第三軍醫大學 西南醫院放射科,重慶 400038)

2(重慶大學 通信工程學院,重慶 400044)

3(第三軍醫大學 生物醫學工程學院,重慶400038)

由于受數據采集時間、照射劑量、成像系統掃描的幾何位置等因素的約束,計算機斷層成像(Computed tomography,CT)技術目前只能在有限角度范圍或在較少的投影角度得到數據,這些都屬于不完全角度重建問題.因此,圖像重建的算法應用變得尤為重要,本文將現有的幾種正則化超分辨率重建算法應用到CT圖像重建上并做了一系列的對比分析,分析不同算法下不同的圖像重建效果. 首先對低分辨率CT圖像進行圖像配準,然后再進行樣條插值放大,最后運用相關正則化算法進行超分辨率圖像重建. 實驗結果表明正則化算法的應用一定程度上提高了圖像分辨率,其中雙邊正則化下的重建效果最好,基于L2范數全變分正則化效果較差.

計算機斷層成像; 正則化; 超分辨率重建; 圖像配準

1 引言

圖像重建在許多實際應用中起著重要的作用,如異質圖像的變換[11,12]和素描照片的合成[10]. 作為圖像重建的基本技術之一,超分辨率[13]重建的目的是從一個或多個低分辨率圖像幀中獲得高分辨率圖像. 由于成像設備和成像技術的局限性,許多情況下生成的圖片都是分辨率不高的圖片. 圖像超分辨率重建技術克服了這種局限性,恢復了在獲取低分辨率圖像過程中丟失的高頻信息. 目前,在成像研究界中,超分辨率圖像重建技術引起了越來越多的關注,在視頻,遙感,醫學成像,視頻取證以及許多其他領域中具有潛在的應用前景.

圖像重建是指將圖像退化的過程模型化,并據此采取相反的過程以得到原始圖像,該問題是一個典型的病態問題. Tikhonov[1]首先提出了求解病態問題的正則化方法,為反問題的求解奠定了理論基礎,同時也為圖像重建奠定了基礎. 2006 年,壓縮感知理論[2-4]的提出極大促進了圖像重建算法的發展,壓縮感知理論利用信號、信息的稀疏性,使信號采集能力、信息處理能力得到極大地提升. 提出壓縮感知理論的Candes等人[2]首次提出了將帶有約束的總變分(Total-Variation,TV)最小化模型應用于圖像重建的想法,并得到了很好的重建結果. 接著基于L1、L2范數的總變分正則化應用到超分辨率圖像重建中[5],文獻[5]提出了L1、L2混合范數重建算法并與L1范數和L2范數重建算法進行對比,結果表明基于混合范數的重建算法的重建效果要好于基于L1范數算法的重建效果,基于L1范數算法的重建效果要好于基于L2范數算法的重建效果. 接著雙邊總變分正則化應用到圖像重建中也取到了較好的效果[6]. 自適應正則化算法的應用也促進了超分辨率圖像的重建[7],結果表明自適應正則化算法的重建效果要好于Tikhonov算法. 近年來,機器學習算法的提出及發展進一步提升了圖像重建算法的效果,例如,將遺傳算法與正則化結合使用實現單幅圖像的超分辨圖像重建[8],將徑向基函數神經網絡應用到超分辨 率 圖像 重 建 中 ,效 率 高 ,誤 差 小[9]. 本 文 將Tikhonov正則化算法,L1、L2范數全變分正則化及雙邊正則化算法、自適應正則化算法應用到CT圖像重建中,分析研究不同算法下,CT 圖像重建的效果. 通過分析對比不同算法下圖像重建的信噪比(peak signal to noise ratio,PSNR)以及結構相似性 (structural similarity,SSIM)得出何種算法重建的效果更好.

2 超分辨率重建模型

圖像超分辨率重建技術就是利用一組低質量、低分辨率圖像(或運動序列)來產生單幅高質量、高分辨率圖像. 圖像超分辨率重建技術可以提高圖像的識別能力和識別精度. 圖像超分辨率重建技術可以實現目標物的專注分析,從而可以獲取感興趣區域更高空間分辨率的圖像,而不必直接采用數據量巨大的高空間分辨率圖像的配置.

基于重建的超分辨率方法的基礎是均衡及非均衡采樣定理. 它假設低分辨率的輸入采樣信號(圖像)能很好地預估出原始的高分辨率信號(圖像). 絕大多數超分辨率算法都屬于這一類,其中主要包括頻域法和空域法.

頻率域方法是圖像超分辨率重建中一類重要方法,其中最主要的是消混疊重建方法. 消混疊重建方法是通過解混疊而改善圖像的空間分辨率實現超分辨率復原,最早的研究工作是由Tsai和Huang[13]在1984年進行的. 在原始場景信號帶寬有限的假設下,利用離散傅立葉變換和連續傅立葉變換之間的平移、混疊性質,給出了一個由一系列欠采樣觀察圖像數據復原高分辨率圖像的公式. 多幅觀察圖像經混頻而得到的離散傅立葉變換系數與未知場景的連續傅立葉變換系數以方程組的形式聯系起來,方程組的解就是原始圖像的頻率域系數,再對頻率域系數進行傅立葉逆變換就可以實現原始圖像的準確復原.

在空域類方法中,其線性空域觀測模型涉及全局和局部運動、光學模糊、幀內運動模糊、空間可變點擴散函數、非理想采樣等內容. 空域方法具有很強的包含空域先驗約束的能力,主要包括非均勻空間樣本內插、迭代反投影方法、凸集投影法、最大后驗概率以及最優和自適應濾波方法、確定性重建方法以及正則化方法等. 圖1為圖像的成像模型,而圖像重建過程為其逆過程.

圖1 圖像的成像模型

圖像的成像模型可以用式(1)來表示.

其中,F表示圖像的運動矩陣,H表示設備的點擴散函數 (point spread function,PSF).X表示原始高分辨率圖像,因此,式 (2)的重建問題是一個反問題,通過Yk來計算出X.

3 算法整體流程圖

圖2為圖像超分辨率重建的整體流程圖,大致分為以下三個步驟: (1) 圖像配準; (2) 樣條插值放大得到初始的高分辨率圖像; (3) 利用相關的正則化算法得到超分辨率圖像.

圖2 整體流程圖

3.1 樣條插值放大

本文采用圖像配準算法是高斯金字塔圖像配準算法[14],使用的樣條插值算法是二維插值中的三次樣條插值,樣條函數的主要思想是,假設有一組已知的數據點,目標是找到一組擬合多項式,在多項式擬合的過程中,對于每組相鄰的樣本數點,用三次多項式去擬合樣本數據點之間的曲線. 為了保證擬合的唯一性,對這個三次多項式在樣點處的一階、二階導數加以約束. 因此,除了研究區間的端點之外,所有樣本點之間的數據也能保證連續的一階和二階導數. 相關定義如下:

設在區間[a,b]上取n+1個節點

若函數S(x)滿足

(1) 在區間[a,b]上具有二階連續導數;

3.2 正則化原理

超分辨率圖像重建是一個病態反問題,低分辨率圖像的微小變化對超分辨率圖像造成很大的影響,為了解決這種不穩定因素,引入正則化函數,正則化函數能夠解決這種不適定的問題并且還能對最優化方法附加某些約束條件,文中基于L1范數的全變分(L1-total variation,L1-TV)正則化函數為式 (4),基于 L2 范數的全變分 (L2-total variation,L2-TV)正則化函數為式 (5),基于雙邊全變分 (Bilateral total variation,BTV)的正則化函數為式(6),基于Tikhonov正則化的正則化函數為式(7).

基于自適應正則化的正則化函數是在式(7)的基礎上實現正則化參數的自適應迭代選擇,其參數選擇表達式如式(8).

3.3 評價指標

本文引入峰值信噪比 (Peak signal to noise ratio,PSNR)和結構相似性 (Structural similarity,SSIM)作為實驗結果的評價指標,其值越大表示圖像的失真越小,其表達式如式(9),(10).

其中,M,N表示圖像的大小,x'表示重建圖像,x表示原始圖像,l(x',x),c(x',x),s(x',x)如式 (11).

其中,ux′,ux代表圖像的均值,σx′,σx為圖像的方差,σx′x表示圖像x′和x之間的協方差,C1,C2,C3為常數.

4 結果分析

4.1 實驗數據及平臺

論文的CT圖像數據來自上海聯影公司,CT掃描管電壓為40kV,管電流為200uA. 用于重建的數據大小為 992×360,其中 992 表示探測器的深度,360 表示投影的角度數,原始重建圖像大小為256×256. 實驗平臺是 Windows 7,32 位操作系統,內存為 4GB,數據處理平臺是基于Matlab 2014a下運行的. 實驗過程中迭代次數設置為20次,采樣因子為2. 不同算法下的圖像重建效果如圖3,不同算法下的計算得到的PSNR與SSIM值如表1.

為了更直觀的表現出不同算法下的圖像重建效果,文中將表1中的結果進行可視化得到圖4.

由圖3可知,相較于低分辨率的原始CT圖像,正則化算法的應用對圖像的分辨率有一定的提高. 表1中,雙邊總變分正則化下計算得到的PSNR和SSIM值分別為 27.291,0.9476,大于其他算法,說明重建效果相較于其他算法要好,基于L2范數的總變分正則化計算得到的PSNR和SSIM值最低,說明重建效果要差.并且可以發現自適應正則化得出的PSNR值和SSIM值都大于Tikhonov正則化,自適應正則化是在Tikhonov正則化的基礎上實現參數的自適應選擇,說明一定程度上提高了重建成像效果.

圖3 不同算法下的CT圖像重建效果

表1 不同算法下的 PSNR 和 SSIM

5 結論

本文基于低分辨率的CT圖像,提出了將不同正則化算法應用到CT圖像重建上并計算得到不同算法下的PSNR和SSIM值,分析了不同算法下的圖像重建效果,可以看出雙邊總變分正則化算法的圖像重建效果最好,基于L2范數總變分正則化算法的圖像重建效果要差,說明雙邊正則化可以有效濾除噪聲并保持圖像邊緣,自適應正則化是在Tikhonov正則化基礎上改進的,一定程度上也提高了重建成像效果.

圖4 不同算法下的 PSNR 值和 SSIM 值

1Tikhonov AN,Arsenin VY. Solutions of Ill-Posed Problems.Hoboken: Wiley,1977.

2Candes EJ,Romberg J,Tao T. Robust uncertainty principles:Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information. IEEE Trans. on Information Theory,2006,52(2): 489–509. [doi: 10.1109/TIT.2005.862083]

3Donoho DL. Compressed sensing. IEEE Trans. on Information Theory,2006,52(4): 1289–1306. [doi: 10.1109/TIT.2006.871582]

4Candes EJ,Tao T. Decoding by linear programming. IEEE Trans. on Information Theory,2005,51(12): 4203–4215.[doi: 10.1109/TIT.2005.858979]

5Yi HJ,Chen DF,Li W,et al. Reconstruction algorithms based on L1-norm and L2-norm for two imaging models of fluorescence molecular tomography: A comparative study.Journal of Biomedical Optics,2013,18(5): 056013. [doi:10.1117/1.JBO.18.5.056013]

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11Wang NN,Tao DC,Gao XB,et al. A comprehensive survey to face hallucination. International Journal of Computer Vision,2014,106(1): 9–30. [doi: 10.1007/s11263-013-0645-9]

12Wang NN,Li J,Tao DC,et al. Heterogeneous image transformation. Pattern Recognition Letters,2013,34(1): 77–84.[doi: 10.1016/j.patrec.2012.04.005]

13Tsai RY,Huang TS. Multiframe image restoration and registration. Advances in Computer Vision and Image Processing. Greenwich,Conn,USA. 1984. 317–339.

14安維勝,余讓明,伍玉鈴. 基于 FAST 和 SURF 的圖像配準算法. 計算機工程,2015,41(10): 232–235,239.

Application of Regularization Algorithms in CT Image Reconstruction

LI Fan1,2,LI Yong-Ming2,3,LI Chuan-Ming1,LI Zhi-Chao1,WANG Jian1

1(Department of Radiology,Southwest Hospital,Third Military Medical University,Chongqing 400038,China)
2(College of Communication Engineering,Chongqing University,Chongqing 400044,China)
3(College of Biomedical Engineering,Third Military Medical University,Chongqing 400038,China)

Due to the constraints of data acquisition time,irradiation dose and geometric position of imaging system scanning,the technology of computer tomography(CT) can only get the data in the limited angle range or the less projection angle at present,which are incomplete angle reconstruction problems. Therefore,the image reconstruction algorithm becomes particularly important. This paper will apply some existing regularization super-resolution reconstruction algorithms to CT images and give a series of comparative analysis,with the effects of reconstruction analyzed under different algorithms. Firstly,the low resolution CT images are registered,and then the spline interpolation is used to enlarge the image. Finally,the image is reconstructed by using the regularization algorithm. Experimental results show that the application of the regularization algorithm can improve the image resolution to a certain extent,and the reconstruction effect is the best with the bilateral regularization,and the L2 norm based total variation regularization is less effective.

computed tomography; regularization; super resolution reconstruction; image registration

李帆,李勇明,李傳明,李志超,王健.正則化算法在 CT 圖像重建上的應用.計算機系統應用,2017,26(12):143–147. http://www.c-sa.org.cn/1003-3254/5946.html

重慶市應用開發計劃項目(cstc2013yykfA10007)

2016-12-13; 修改時間: 2017-01-12; 采用時間: 2017-01-18