基于主優化算法的雷達波形設計

宋陽春,唐旭艷,馮 翔,趙宜楠

(1.哈爾濱工業大學(威海)信息與電氣工程學院,山東威海264209;2.上海機電工程研究所,上海200233)

基于主優化算法的雷達波形設計

宋陽春1,唐旭艷2,馮 翔1,趙宜楠1

(1.哈爾濱工業大學(威海)信息與電氣工程學院,山東威海264209;2.上海機電工程研究所,上海200233)

為滿足雷達復雜工作場景任務需求,提出一種基于主優化(MM)算法的低相關旁瓣、稀疏頻譜波形設計方法;該方法首先建立最小化積分旁瓣電平準則下的恒模發射信號模型,并考慮工作頻段擁塞情況下波形稀疏頻譜特性,進而建立低相關旁瓣和稀疏頻譜任務需求下的主優化(MM)目標函數表達式,最后利用主優化(MM)思想構造最小化積分旁瓣電平或稀疏頻譜的算法框架。仿真結果表明,該算法能夠有效降低積分旁瓣電平,并能夠在干擾頻段形成頻帶陷波,且在碼長較長時仍具有較佳效果。

稀疏頻譜;恒模波形;低相關旁瓣;主優化(MM)算法

0 引 言

傳統雷達發射波形模式單一,難以靈活滿足目標檢測、跟蹤等任務需求[1]。為能夠適應多變的電磁環境進而提升整體性能,認知概念應運而生[2-3];認知雷達通過不斷獲取環境相關知識,提高系統各方面的能力[4-5];而對于認知雷達發射端而言,其自適應性體現在波形的設計上。

為解決波形高自相關旁瓣問題,文獻[6]設計混沌波形并利用序列隨機性降低旁瓣峰值,但混沌波形生成缺乏統一標準,難以應用工程實踐;文獻[7]基于小波包構造旁瓣抑制波形,但小波方法耗時較大使得難以在線設計;文獻[8]在LFM波形基礎上提出一種約束自相關旁瓣的非線性調頻波形;文獻[9]通過設計波形協方差矩陣得到具有低相關旁瓣和高信干噪比的波形。但這些方法對于大長度序列可能耗時較長。文獻[10]針對雷達在復雜電磁環境下隱蔽工作的情況設計譜約束下的優化波形;文獻[11]利用循環迭代算法設計稀疏頻譜波形;文獻[12]提出交替投影算法設計低距離旁瓣與稀疏頻譜的恒模波形。但這些方法對于恒模約束導致的非凸問題往往陷入局部區域難以收斂。文獻[13]在峰均功率比約束下設計頻帶陷波優化的低距離旁瓣波形,但算法數值穩定性較弱,在波形序列較長時難以保持良好效果。

本文針對認知雷達基于已有先驗信息的優化波形設計問題,建立滿足最小化積分旁瓣電平準則的恒模發射信號模型,同時考慮干擾頻帶場景,建立低相關旁瓣和稀疏頻譜的聯合優化模型;分別構造最小化積分旁瓣電平的主優化算法(MISL)和加權譜-MISL算法,得到低相關旁瓣稀疏頻譜恒模波形。仿真結果表明,MISL算法可有效降低構造波形序列的積分旁瓣電平,加權譜-MISL算法能夠在受干擾區間形成明顯頻帶陷波;波形序列碼長較長時,算法仍保持理想效果。

1 問題建模

設波形序列為x=[x1,…,x N]T,其中N代表碼長。由文獻[14]知,恒模約束下,按最小化積分旁瓣電平準則構造優化表達式為

式中,(·)H表示取共軛轉置。根據Parseval定理:可得目標函數后兩項僅與碼長有關,碼長固定時可視為常數,按最小ISL準則的恒模波形優化表達式可簡化為

認知雷達能夠隨外部環境變化自適應調整發射波形,當工作頻段內子頻段被占用或受同頻干擾時,認知雷達應在受干擾的區間形成頻帶陷波(稀疏頻譜)以抑制場景中的干擾。設存在干擾的頻段個數為N s,其中第k個凹口的頻帶范圍為[f k1,f k2],權重系數為w k,Δ為采樣間隔。針對抑制特定頻段電磁干擾的波形設計目標函數可表示為

式中,R為N×N的矩陣,第(p,q)個元素為

為獲得較強的抗干擾能力,設計同時具備低相關旁瓣和稀疏頻譜的恒模波形,引入權值λ∈(0,1)聯合相關旁瓣和稀疏頻譜要求,構造聯合優化目標函數[15]為

綜上,針對認知雷達的典型波形設計場景,本節構造了最小化積分旁瓣電平準則下恒模發射信號模型,并在此基礎上構造了低相關旁瓣和稀疏頻譜的優化表達式。由于式(3)中目標函數對于x為四次,式(7)中目標函數對于x為二次,恒模約束條件為非凸函數,難以通過凸優化得到解析解。下文利用主優化(M M)算法對優化問題進行求解,通過尋找優化函數將原問題簡化,設計用于積分旁瓣電平的主優化算法(MISL)以及加權譜-MISL算法。

2 波形設計算法

2.1 用于積分旁瓣電平的主優化算法(MISL)

主優化(MM)算法針對優化問題難以直接解決的情況,構造凸函數集,將難以直接求解的非凸問題轉化為易于求解的凸優化問題。對于當前迭代點x(k),構造凸優化函數c(x,x(k)),使其滿足

進而尋找x(k+1)使得c(x(k+1),x(k))最小。

主優化(MM)算法核心在于將原目標函數轉化為光滑凸函數,通過最小化f(x)可行點x(k)處的優化函數c(x,x(k)),降低原問題的求解難度。由x(k+1)的選取方法和式(8)中的關系式可知f(x(k+1))≤f(x(k)),此遞減趨勢使得M M算法具有顯著的數值穩定性。

針對第2節中“認知雷達最小化積分旁瓣電平的恒模波形設計”,為構造式(3)中按最小ISL準則的恒模波形優化表達式的主優化(MM)算法,需將原問題中的目標函數轉換為光滑凸函數,定義式(3)可進一步寫為

式中,Tr(·)代表取矩陣的跡,可得Tr(XA p)=vec(X)Hvec(A p),式(9)可以寫為

式中,Re(·)代表取實部。令式(11)中的x=vec(X),可得到式(11)中目標函數在X(k)的優化函數為

由列向量的性質可得vec(X)Hvec(X)=(xHx)2=N2,忽略常數部分對最小值點取值的影響,利用式(12)中優化函數替代原問題中的目標函數,關于X的優化問題可以表示為

將上式轉化為關于x的優化表達式,進一步寫為

通過以上基于主優化(M M)算法的推導過程,得到最小ISL準則的恒模波形的優化表達式如式(17),可得閉式解為

上述過程通過尋找原目標函數關于X的優化函數,進一步得到關于x的優化問題,保持了主優化(MM)算法的單調性,得到最小化積分旁瓣電平的主優化算法(MISL)步驟如下:

算法1 最小化積分旁瓣電平的主優化算法(MISL)

1)迭代初始化:設置迭代計數器k=0,初始波形序列

2)基于當前時刻迭代優化解x(k),計算以下表達式:

3)求取更新迭代解:令k=k+1,利用計算更新迭代解;

4)收斂判別:根據所定義收斂誤差σ,如果則跳出迭代;

5)重復步驟2)～4),直到滿足收斂條件。

2.2 加權譜-MISL算法

針對“認知雷達抑制特定頻段電磁干擾及最小化積分旁瓣電平的恒模波形設計”,可以采用與上文相似的方式,利用主優化(MM)算法進行求解。為尋找式(7)中目標函數的優化函數,定義R r=λR+(1-λ)A1,矩陣R r最大特征值λmax(R r),則有λmax(R r)·I?R r,可以得到關系式如下:

上式中第一項、第三項均為常數,忽略常數項對最小值點的影響,優化函數可近似等價為

為便于求解,進行如下定義:

經過以上定義,優化問題最終形式為

可得到與式(18)具有相似形式的閉式解為

通過上述推導,設計得到基于主優化(MM)的低相關旁瓣稀疏頻譜恒模波形,加權譜-MISL算法過程如下:

算法2 加權譜-MISL算法

1)迭代初始化:設置迭代計數器k=0,初始波形序列

2)基于當前時刻迭代優化解x(k),計算以下表達式:

3)求取更新迭代解:令k=k+1,利用計算更新迭代解;

4)收斂判別:根據所定義收斂誤差σ,如果則跳出迭代;

5)重復步驟2)～4),直到滿足收斂條件。

3 仿真分析

設定仿真波形序列碼長N=3 000,使用本文MISL算法得到發射波形序列,設置收斂誤差σ=1×10-8時的波形相關水平,如圖1(a)所示;使用文獻[14]中算法得到波形相關水平,如圖1(b)所示;使用蒙特卡羅法進行100次試驗后取統計平均,算法性能比較如表1所示。

圖1 波形序列自相關函數

表1 MISL與文獻[14]中算法性能比較

由圖1可以看出,使用本文MISL算法構造得到發射波形序列的積分旁瓣電平受到了明顯抑制,MISL算法針對波形序列碼長較長時,能夠保持穩定效果。由表1可以看出,本文MISL算法可以得到更低的自相關旁瓣,且運行時間明顯縮短。

設定仿真波形序列碼長N=3 000,假定干擾位于[200,300]k Hz的波段中,其通帶處于[0,1 000]k Hz中剩余部分。使用加權譜-MISL算法序列構造得到發射波形序列的自相關函數,如圖2(a)所示,功率譜密度如圖2(b)所示;使用SCAN算法[16]序列構造得到發射波形序列的自相關函數,如圖3(a)所示,功率譜密度如圖3(b)所示。使用蒙特卡羅法進行100次試驗后,算法性能比較如表2所示。

從圖2(a)可以看出,使用加權譜-MISL算法構造得到的波形序列在單一干擾波段下積分旁瓣電平受到了明顯抑制。從圖2(b)可以看出,功率譜在受干擾區間能夠形成明顯頻帶陷波。由表2可以看出,加權譜-MISL算法可以在干擾頻段形成更低的陷波深度,且運行時間縮短近三分之二。

圖2 單一干擾波段下加權譜-MISL算法波形序列

圖3 單一干擾波段下SCAN算法波形序列

表2 單一干擾波段下加權譜-MISL與SCAN算法性能比較

進一步針對多干擾波段情況下加權譜-MISL算法的性能進行研究,假定干擾位于[150,200]∪[500,550]∪[850,900]k Hz的波段中,其通帶處于[0,1 000]k Hz中剩余部分。使用加權譜-MISL算法序列構造得到發射波形序列的自相關函數,如圖4(a)所示,功率譜密度如圖4(b)所示。使用SCAN算法序列構造得到發射波形序列的自相關函數,如圖5(a)所示,功率譜密度如圖5(b)所示。使用蒙特卡羅法進行100次試驗后取統計平均,算法性能比較如表3所示。

從圖4(a)可以看出,使用加權譜-MISL算法構造得到的波形序列在多干擾波段下積分旁瓣電平仍然保持在較低水平。從圖4(b)可以看出,功率譜在各干擾區間均能夠形成明顯頻帶陷波。由表3可以看出,加權譜-MISL算法可以在多干擾頻段下,保持陷波深度低于SCAN算法,且運行時間大大縮短。

以上仿真結果表明,MISL算法可有效降低構造波形序列的積分旁瓣電平,加權譜-MISL算法能夠在降低構造波形序列的積分旁瓣電平的同時,在受干擾區間形成明顯頻帶陷波。算法在仿真效果和收斂速度上,均優于文獻[14]中算法和SCAN算法。

圖4 多干擾波段下加權譜-MISL算法波形序列

圖5 多干擾波段下SCAN算法波形序列

表3 多干擾波段下加權譜-MISL與SCAN算法性能比較

4 結束語

本文針對雷達的優化波形設計問題,提出基于主優化(MM)算法的低相關旁瓣稀疏頻譜恒模波形設計方法。建立最小化積分旁瓣電平準則下的恒模發射信號模型;對于環境中存在干擾頻帶的情況,建立低相關旁瓣和稀疏頻譜的恒模優化表達式。構造最小化積分旁瓣電平的主優化算法(MISL)和加權譜-MISL算法。仿真結果表明,MISL算法可有效降低構造波形序列的積分旁瓣電平,加權譜-MISL算法能夠在降低積分旁瓣電平的同時,在受干擾區間形成頻帶陷波,針對碼長較長的情況能夠保持算法穩定性。

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Radar Waveform Design Based on Majorization-Minimization Algorithm

SONG Yangchun1,TANG Xuyan2,FENG Xiang1,ZHAO Yinan1
(1.School of Information and Electrical Engineering,Harbin Institute of Technology at Weihai,Weihai264209,China;2.Shanghai Electro-Mechanical Engineering Institute,Shanghai200233,China)

To tackle the sophisticated radar scene,a novel method based on majorization-minimization mechanism is presented to design waveforms with low correlation sidelobes and sparse spectrum.Firstly,the unimodular waveform,in the case of minimizing the integrated sidelobe level as well as suppressing the congested spectrum,is formulated.Next,the objective function incorporating the idea of majorization-minimization is derived,and then,the MISL algorithm and the weighted spectral-MISL algorithm are proposed.Simulations demonstrate that these algorithms can obtain low integrated sidelobe level and sparse spectrum in the suppressed bands,which also performed for long waveforms.

sparse spectrum;unimodular waveform;low correlation sidelobe;majorization-minimization(MM)algorithm

TN958.5

A

1672-2337(2017)02-0159-07

10.3969/j.issn.1672-2337.2017.02.009

2016-08-15;

2016-11-04

國家自然科學基金(No.61371181)

宋陽春女,1993年出生于山東德州,哈爾濱工業大學(威海)碩士研究生,主要研究方向為認知雷達與雷達信號處理。

唐旭艷女,1979年出生于湖南衡山,上海機電工程研究所高級工程師,主要研究方向為發射系統總體設計。

馮 翔男,1988年出生于山東濰坊,哈爾濱工業大學博士研究生,主要研究方向為認知雷達與雷達信號處理。

E-mail:fengxiang230316@163.com

趙宜楠男,1977年出生于黑龍江哈爾濱,哈爾濱工業大學(威海)信息與電氣工程學院教授、博士生導師,主要研究方向為雷達信號處理。