在全等三角形證明教學中培養學生多元能力

李能雄

（武平縣桃溪中學，福建龍巖 364303）

在全等三角形證明教學中培養學生多元能力

李能雄

（武平縣桃溪中學，福建龍巖 364303）

素質教育和新課改的深入推進，要求在教學中培養學生的多種能力和素養，提升學生的綜合能力。在初中數學三角形教學中，利用全等三角形的證明過程能夠培養學生的探究學習能力、邏輯推理能力等多種能力，本文對此進行了探索。

初中英語；課后作業；英語作業

引 言

在初中數學教學中，“全等三角形證明”這一內容是教材的重要知識點，其證明過程蘊含著豐富思想和方法。在全等三角形證明教學中能培養和發展學生的多元學習能力，對提高學生的數學學科核心素養具有重要作用。我結合初中數學教學，對此進行了深入探索，以期對教學有所幫助。

一、培養學生的探究學習能力

隨著素質教育理念在教學中的深入實施，提倡在數學教學中培養學生的探究學習能力。我們作為數學課堂教學的主導者，應為學生的探究學習提供指導：一是加強探究學習方法的指導，讓學生掌握探究學習的方法技巧，培養學生提出問題、分析問題、解決問題的能力；二是為學生提供探究的問題，可設計或利用開放型的三角形證明題讓學生進行探究，并指導學生掌握探究的思路方法，以提高和發展學生的發散思維能力。

例1.在圖1所示的圖形中，C是AB上的一個點，△ACM與△CBN都是等邊三角形。求證：AN=BM。

圖1

解題分析：我們可用此題進行一題多問來培養學生的解題思維能力。對此，我們還可以設計一些能讓學生產生認知沖突和思維共鳴的一系列問題，讓學生進行探究，通過探究掌握數學的思想方法和規律，從而提高和發展學生的數學思維能力。這是一道特殊的以三角形基礎并結合全等三角形證明的開放型數學題，我們可針對此題設計如下問題讓學生進行探究：

問題1：在本題中還有沒有其他相等的邊、角、全等三角形或其他特殊圖形的存在？如果存在，并進行證明。

問題2：如果在本題中A、B、C三個點不在同一條直線上，在其他條件都不變的情況下，AN與BM是否還能夠相等？請給出理由并進行證明。

二、培養學生的嚴謹推理能力

全等三角形的證明過程需要系統的邏輯推理、演繹推理的能力，在解題的過程中能培養學生嚴謹的思維能力，對學生形成科學嚴謹的學習、工作態度有重要幫助。由于初中學生受到認知能力、推理能力限制，在全等三角形的證明過程中常常會出現各種推理錯誤。對此，我們應充分利用學生在解題過程中的各種推理錯誤，加以引導，讓學生逐漸養成嚴謹的推理和證明習慣。例如，學生在三角形證明過程中常犯的典型邏輯錯誤有：虛假理由、循環證明、偷換命題等邏輯錯誤，如果能通過典型問題剖析，對培養學生嚴謹的推理能力有重要幫助。

例2.在如圖2所示的三角形△ABC中，已知AB=AC，AD是頂角A的平分線，并且DE⊥AB，DF⊥AC，兩個垂足分別是E和F。求證：AD是EF的中垂線。

圖2

解題分析，對于此題的證明過程我們發現部分學生的證明過程如下：

∵AD是∠A的平分線，并且，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（學生的理由是：角平分線上任意一點到角的兩邊距離相等），∴可證明AD是EF的中垂線（理由是：到線段兩個端點距離相等的點在該線段的垂直平分線上）。簡單地從表面上來看，似乎證明過程正確。但是仔細推敲就會發現這個證明過程存在邏輯錯誤。因為從DE=DF只能推導出D是EF中垂線上的點，不一定是EF的中垂線AD上的點，因為過點D的直線有許多條，如圖中的虛線所示。所以，這部分學生在證明中犯了邏輯上的虛假理由的錯誤。由于學生在學習中對有關知識理解不深入，把有關定理任意推廣引申使用而造成虛假判斷而違犯了邏輯上的充足理由律這個規定。我們可引導掌握如下正確的推理證明方法：

∵AD是∠A的平分線，并且，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴Rt△AED≌Rt△AFD，∴AE=AF。又∵AD是∠EAF的平分線，由三線合一可得出AD是EF的中垂線。運用這樣的推理就能形成嚴謹的推理過程。

三、培養學生的審題解題能力

利用全等三角形的證明還能培養學生的審題解題能力，特別是對于一些文字敘述題，需要學生深入理解文字含義，弄清題意才能正確解題。因此，培養學生的審題能力和解題的規范性對于提高解題正確率非常重要。

例3.證明：等腰三角形兩底角的平分線相等。

第一步：仔細審題，弄清題意。

該題為文字型證明題，既無圖形，又無直觀的已知條件和求證結果，需要通過審題來弄清題意。區分已知條件和求證結果，這也是解題成功的前提。本題的已知條件是：在等腰三角形中作兩個底角平分線，求證結果是：兩條角平分線相等。

第二步：按照題意，畫出圖形。

按照題意要求，畫出圖形對解題有重要幫助，并把題目中的要求盡可能畫在圖上。

第三步：按照要求，寫出題目。

用數學語言或符號寫出題目的已知條件和求證過程。

已知：在△ABC中，AC=AB，BD和CE分別是△ABC兩個角平分線。求證：BD=CE。

圖3

第四步：分析思考，找到思路。

可采用正向思維、逆向思維、正逆結合等多種思維方式進行思考找到解題思路。如用逆向思維思考過程如下：要證明BD=CE→發現BD、CE分別存在于△ABD和△ACE中或△BCE和△CBD→只需要證明任意一對三角形全等即可。

第五步：根據思路，寫出過程。

按照解題思路，用數學符號或語言寫出解題過程。

證明：

∵AB=AC（已知）

∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形性質）

∵BD、CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線（已知）

∴∠ABD=∠CBD，∠ACE=∠BCE（角平分線定義）

∴∠BCE=∠CBD（等量代換）

在△BCE和△CBD中，∵∠BCE=∠CBD，BC=CB，∠CBE=∠BCD

∴△BCE≌△CBD （ASA）

∴BD=CE（全等三角形的對應邊相等）

第六步：檢查過程，反思思維。

檢查整個解題過程是否存在遺漏、錯誤的地方，并反思解題思路的科學性，探尋更快捷高效的解題方法，從而提高解題效率和規范性。

[1]王志玲.全等三角形推理與證明的錯誤分析[D].漳州：閩南師范大學，2015.

[2]王凡.幾何教學的研究與討論[D].大連：遼寧師范大學，2015 .

李能雄，1974年10月出生，男，福建龍巖人，現任武平縣桃溪中學政教主任，多次獲校、鎮級教書育人先進個人，獲市高中數學競賽一等獎（優秀輔導員），獲2008年高考數學總復習100編委。中學一級教師。