規律探索教學與思維可視化

戚洪祥

（江蘇省鹽城市第一小學，江蘇鹽城 224001）

規律探索教學與思維可視化

戚洪祥

（江蘇省鹽城市第一小學，江蘇鹽城 224001）

在數學教學中，如何將學生的操作經驗轉化為思維成果，如何讓學生的思維在可視化媒介的幫助下，一步一步走向深入，讓數學中的規律成為深度學習的載體，讓學生的深度學習真實發生。通過《釘子板上的多邊形》兩次不同的教學重構，以學生為本、以規律可用、思維可視為主要方向，嘗試建構規律，探索教學的一般步驟。

規律；思維；可視化

引 言

在數學發展的歷史長河中，任何一個定理、公式的發現或發明都會經歷反復的驗證過程。其中有許多都是通過不完全歸納法進行大量的事實驗證，再通過嚴格的數學證明確認其正確性。在小學數學中，許多數學結論雖不需要嚴格的證明，但也需要讓學生經歷“初步構建—發現不足—繼承完善—再次構建—驗證結論”的完整過程，這樣的過程對學生來說是終身受益的。

2013年新修訂的蘇教版教材五年級下冊《釘子板上的多邊形》，屬于教材設置的一個專題活動。教材的編寫意圖是讓學生在一系列探索過程中，通過觀察、比較、猜想、驗證等方法，得出格點多邊形的面積與格點之間的關系。其數學本質是：奧地利數學家皮克發現的一個計算點陣中頂點在格點上的多邊形面積公式：S=a+b÷2-1，其中a表示多邊形內部的點數，b表示多邊形邊界上的點數，s表示多邊形的面積。這一發現，在數學界又稱為皮克定理。

如何利用這一載體，讓學生在有限的課堂中，經歷一次規律的從無到有，從有到優的過程；經歷一次思維的由淺入深，由模糊到清晰，再到可視的過程，經歷一次數學發現的完整過程呢？對此，筆者做了兩次教學嘗試，有了不一樣的發現。

一、第一次教學嘗試

1.探究活動：初步嘗試，初建規律

師出示教材中第一組圖形，讓學生獨立嘗試，填表。

圖形編號 多邊形的面積 多邊形邊上的釘子數①2 4②3 6③3.5 7④4 8

學生經過小組討論，交流匯報很快得出：多邊形面積=多邊形邊上釘子數的一半。如果用n表示多邊形邊上的釘子數，用S表示多邊形的面積，那么S=n÷2。（師板書）

師再次引導學生觀察這組圖形有什么特征？生觀察后得出：圖形內都只有1枚釘子。

2.探究活動：嘗試變化，完善規律

小組合作，先在釘子板上任意圍出3個內部有2枚釘子的不同多邊形，再完成下表（教材表2）。

多邊形的面積①2②2③2圖形編號 多邊形內的釘子數多邊形邊上的釘子數

學生經過小組合作、觀察、比較、交流之后，進行全班匯報。

師：同學們，有哪幾個小組有了自己的發現，請小組長帶著你們的發現，到前面來與大家分享一下。（全班6個小組，有3個小組有了發現）

第二小組：我們發現，多邊形的面積不等于邊上釘子數的一半了，而是一半多1。

第三小組：我們小組的發現和第二小組是一樣的。

第六小組：我們也一樣。

師：老師想采訪一下，沒有發現這個規律的另外三個小組，你們有什么想說的嗎？

第一小組：我們組也發現了這個規律。

師：你們發現了，但是沒有來得及上來。

第四小組：我們組畫的三個圖形中，有一個圖形畫錯了，里面圍成了3個釘子了。

師：那另外兩個內部沒有兩個釘子的圖形，符合這樣的規律嗎？

第四小組：符合。

第五小組：我們組圍了一個這樣的圖形，這個面積我們按照不滿整格當作半格數的方法，數出的面積是3，就感覺不對了。

師：我們一起來看看這個小組圍的這個圖形的面積到底是多少呢？

……

3.探究活動：動手操作，驗證規律

學生自由圍圖形，驗證規律的正確性。……

4.反思

二、第二次教學嘗試

1.探究活動一

活動要求：在釘子板上任意圍一個圖形，利用自己的方法得出圖形的面積。

學生展示自己圍的圖形，并匯報計算面積的方法：數方格，公式計算。

師任意展示幾個同學所圍的圖形，要求學生觀察：這些圖形有什么特點？這些圖形面積的大小與什么有關？

師生討論交流得到：所有的圖形頂點都在釘子上，我們把這樣的圖形稱為釘子板上的多邊形（板書課題：釘子板上的多邊形）；多邊形的面積與內部釘子數和邊上的釘子數有關（板書：面積，內部釘子數，邊上釘子數）。

師：在數學研究中，要想研究三個數量之間的關系，一般我們先確定其中的一個數量的大小，再去研究其余兩個數量的關系。比如，同學們圍的這些圖形中，有許多的圖形內部釘子數都為1，那么我們就先從內部只有一個釘子的圖形開始研究。

2.探究活動二

活動要求：第一，小組成員獨自在釘子板上任意圍一個多邊形，使得這個多邊形的內部只有一個釘子。第二，數一數，這個多邊形邊上有多少個釘子？第三，計算這個圖形的面積？第四，把結果匯總到組長的統計表中（見表1）。第五，小組合作，觀察表內的數據，你發現了什么？把你們的發現在小組內說一說。

表1

每個小組合作探究，并相互交流。

不同的成因對物質組成和結構產生不同的影響，成分和結構又影響土的物理力學性質。紅粘土作為特殊土，并且在貴州省分布范圍廣泛，是貴州主要城市所在地分布的主要土類，與當地人們生活密切相關，在對紅粘土有關問題進行研究時要注意它復雜而有別于其他土類的特殊性的成因，從其所具有的特殊性的本質了解紅粘土有助于工程實踐應用。

匯報各小組的探究情況，并得出：當內部釘子數為1的時候，面積=邊上的釘子數÷2，或者說邊上的釘子數=面積×2。

師：如果我們用字母S表示面積，n表示邊上的釘子數，a表示內部的釘子數，它們的關系可以表示為：當a=1時，S=n÷2。

3.探究活動三

師：剛才我們是研究了內部釘子數不變，邊上釘子數各不相同時，面積與邊上的釘子數之間的關系。如果在剛才的研究基礎上，讓邊上的釘子數不變，內部的釘子數在原來1個的基礎上發生變化，又會怎么樣呢？

師：請同學們觀察剛才圍的圖形，思考這樣一個問題：如何在原有的圖形基礎上，保證邊上的釘子數不發生變化的基礎上，快速地讓內部釘子數由1變成2？

生獨立操作，并相互交流，得出：將某一邊向外拉動，即可。

請同學們帶著這樣的發現，繼續下面的探究活動。

活動要求：

第一，小組成員獨自將原來圍的圖形，進行變化，確保邊上釘子數不發生變化，所得到的圖形內部有2個釘子。

第二，觀察得到的圖形，想一想現在的面積又是多少？比原來多了多少？

第三，把你的發現在小組內說一說。

生匯報：面積比原來多1。

師小結：當內部釘子數a=2時，面積S在原來的基礎上多了1，也就是=n÷2＋1。

4.探究活動四

師：那么當內部釘子數為3、4或者更多的時候，面積S在最初的基礎上又會發生怎樣的變化呢？請同學們繼續研究。

活動要求：

第一，小組成員在確保邊上的釘子數不發生變化的基礎上，將圖形內部孤釘子數變為3、4或者更多，將得到的面積與內部為一個釘子數時的面積進行比較。

第二，把你的發現有序地匯總到組長的表格中。

第三，觀察表格中的數據，你發現了什么？

內部釘子數 面積與“n÷2”相比增加了面積S

生匯報，投影展示表格中的數據。

內部釘子數a 面積與“n÷2”相比增加了面積S 3 2 S=n÷2+2 4 3 S=n÷2+3 5 S=n÷2+4 6 5 S=n÷2+5 4

師生交流得出：S=S=n÷2+a-1。

5.探究活動五

師：對于這樣的發現，是不是對所有的釘子板上的多邊形都有用呢？請同學們自己獨立操作，在釘子板上任意圍一個多邊形，并把相關數據填寫在小組的表格中，驗證這個規律是否正確。

成員編號 邊上釘子數n內部釘子數a面積S 是否符合規律①②

生匯報驗證結果。并交流：a=0，即內部沒有釘子數的情況。

續表

6.全課總結

師：今天這節課，老師和同學們一起研究了“釘子板上的多邊形面積”（補充板書：面積）。我們通過從特殊到一般的方法，發現了規律，并驗證了規律的正確性。其實這正是許多數學家們在研究數學時所用的方法。今天的這個發現，就是數學上著名的皮克定理（Pick），它是由奧地利數學家皮克發現的，《格點與面積》這本書就是專門介紹這一知識的，有興趣的同學可以在網絡上或書籍中了解皮克定理。

三、教后反思

1.高頻操作，提高思維訓練的可視性

“皮克定理”的專題教學與許多專題教學有類似之處：旨在探索一些數學規律，其數學思維性較強，操作機會與數學活動課相比較少。如何讓學生擁有更多的操作機會，讓學生在動手又動腦的過程中發現規律，這是備課時遇到的較大難題。在第一次教學嘗試之后，筆者發現學生的動手不夠，便立即將教學的第一著眼點放到高頻、有序的操作活動，嘗試建構了“五次動手操作”，讓高頻率的動手操作貫穿整個教學過程，讓學生的智慧在其指尖跳躍，讓學生的思維可視度提高。

2.問題驅動，體現探究過程的思維性

規律性知識的本身是靜態的，是死的，只有其探究過程的思維性才能賦予它靈魂，如果在教學中只將結論呈現給學生，側重于對結論的應用，就將導致學生的思維僅停留在簡單的模仿階段。教學的第二著眼點在于：知識發現、獲取的過程，通過每個“活動要求”中問題的精心設計，通過問題驅動整個探究過程，讓探究過程時刻閃現思維的火花。

3.步步為營，彰顯數學發現的層次性

著名數學家波利亞說過：“學習任何知識的最佳途徑是學生自己去發現，因為這種發現理解最深，也最容易掌握其中的內在規律和聯系。”如何讓“皮克定理”的發現過程彰顯層次性，讓學生在一步一步探索活動中，逐漸接近數學本質，這是本課的另一著眼點。在教學中，通過層次鮮明的五次探究活動，從表及里，從特殊到一般，從固定到任意，讓學生充分感受數學發現的層次性、邏輯性，感受數學的嚴謹。

[1]劉濯源.思維可視化：減負增效的新支點[J].中小學管理，2014（6）.

[2]葉新東.未來課堂環境下的可視化教學研究[D].上海：華東師范大學，2014.

[3]朱東妮.提升小學生數學學科素養的探析[J].基礎教育研究，2016（2）.

[4]彭錢群.提升小學生數學素養的策略[J].教育觀察，2014（12）.

戚洪祥，1980年生，男，江蘇鹽城人，現任江蘇省鹽城市第一小學教育集團督導室主任，江蘇省首批教學名師，江蘇省333工程高層次人才培養對象，中學高級教師。