修正的卷積完全匹配層技術

謝國大, 宋開宏, 黃志祥

(安徽大學 電子信息工程學院,安徽 合肥 230039)

修正的卷積完全匹配層技術

謝國大, 宋開宏, 黃志祥

(安徽大學 電子信息工程學院,安徽 合肥 230039)

復頻移的卷積完全匹配層(convolutional perfectly matched layer,CPML)與時域有限差分(finite-difference time-domain,FDTD)算法遞推公式之間存在數值計算時間不同步的問題,諸多算例結果表明CPML的吸波效果并沒有達到一些具有相同二階精度的完全匹配層(perfectly matched layer,PML)的吸波效果。文章采用時間平均近似方法對CPML進行了修正,使其吸波性能與其他具有相同數值計算精度的PML的吸波性能相當;通過2個具有代表性的算例,驗證了方法的有效性。該方法思路簡單、清晰,只需在傳統的CPML代碼基礎上進行簡單的修改,計算時間大大縮減,該方法對于CPML在FDTD算法中的高效應用具有一定的意義。

時域有限差分(FDTD)算法;卷積完全匹配層(CPML);吸收效果;時間平均近似方法;計算時間

自從Berenger于1994年提出完全匹配層(perfectly matched layer,PML)[1]吸收邊界條件以后,PML已經成為有效的吸收邊界條件技術,隨后一些其他形式的PML也相繼被提出來,例如,各向異性完全匹配層(uniaxial perfectly matched layer,UPML)[2]、坐標伸縮完全匹配層(stretched-coordinate perfectly matched layer,SC-PML)[3]等。其中SC-PML成為最受歡迎的一種截斷時域有限差分(finite difference time domain,FDTD)[4-5]計算區域的吸收邊界條件。這是因為SC-PML不需要進行場分裂,很容易應用到非均勻、色散、各向異性及非線性媒質中。另外,它使得基于伸縮坐標方程的復數頻率移位完全匹配層(complex frequency shift perfectly matched layer,CFS-PML)的應用更加方便[6]。CFS-PML是在1996年被提出來的,其目的是為了改善SC-PML對倏逝波和低頻波吸收效果差的問題[7]。文獻[8]給出了一種應用CFS-PML的方法,該方法基于SC-PML公式,運用離散遞歸卷積方法來求解復數頻率移位函數與電場或磁場的空間偏導卷積運算。由于在SC-PML中的伸縮因子采用了CFS形式,使得在時域公式中出現卷積運算,對應的SC-PML也被稱為卷積完全匹配層(convolutional perfectly matched layer,CPML)。CPML與其他一些基于遞歸積分(recursive integral,RI)[9]方法、Z-變換方法[10]以及輔助微分方程(auxiliary differential equation,ADE)[11]方法的PML都具有二階精度,因此它們具有可比擬的吸收效果。

然而在一些算例中發現CPML的吸收效果并沒有其他一些具有相同二階精度的PML的吸收效果好[9]。通過對CPML算法深入的調查和研究發現,這與算法本身的數值計算精度無關,而是由于CPML中的卷積與FDTD基本算法遞推公式在值的更新時刻上不同步造成的?；诖?本文提出了一種時間平均近似方法來解決CPML與FDTD遞推公式之間時間不同步的問題。

1 CPML理論分析

在頻域和伸縮坐標中,根據安培定律,三維情況下x方向的麥克斯韋方程為:

其中,su(u=x,y,z)為坐標伸縮因子[2],其計算式為:

應用CFS算法[7],可將(2)式修改為:

其中,σu、αu、ku為非零實數,被定義為u方向的一維數組,控制波在PML層內的衰減速度。

由于(1)式中伸縮因子su(u=x,y,z)與頻率有關,過渡到時域時(1)式右端出現卷積運算。

通過調查我們了解到，H社區在進行消防安全巡查工作時，其工作人員本身的技術是有限的，只能進行初步的安全隱患排查，無法達到專業的水準。 由于轄區內商鋪眾多，有些社區人員只是為了完成指標任務，走馬觀花，達不到真正防范消防安全隱患的目的。 社區工作人員說道：

其中,*表示卷積。為了得到(4)式中卷積的有效計算表達式,可以將沖擊響應ζu(t)離散并定義為:

cuexp{-[(σu/ku)+αu](mΔt/ε0)}

(5)

根據(5)式,(4)式可在時間和空間上離散成如下形式:

(6)式右端最后2項是由離散卷積導出的求和項，不便于FDTD時域步進計算,而根據文獻[8]的離散遞歸卷積方法可以得到適合FDTD時域步進計算的公式，即

(7)

(8)

(7)式、(8)式中的bu和cu與文獻[8]中的形式相同。從(6)～(8)式可以看出,卷積計算發生在0～(n+1)Δt時刻,卷積公式里磁場的空間導數值在nΔt～(n+1)Δt為常數并等于其在(n+1/2)Δt時刻的值。因此,(6)式可以寫成如下形式:

從(9)式可以看出FDTD基本公式中電場的時間導數值和磁場的空間導數值的計算發生在(n+1/2)Δt時刻，而卷積值的計算發生在(n+1)Δt時刻,這樣在FDTD中每次的時域步進計算中就產生了數值計算時刻不同步的問題。

將(10)式、(11)式代入(9)式,可得:

2 數值算例

算例1 驗證通過時間平均近似方法修正的CPML的吸收性能。二維TEz波模型如圖1所示,網格尺寸Δx=Δy=1 mm,激勵源被放置在二維60 mm×60 mm網格正中心,計算區域大小為40 mm×40 mm,卷積完全匹配層厚度為10 mm。時間步長Δt為0.98倍的Courant極限。

圖1 二維數值幾何模型

用多項式縮比模型來定義CPML層內的基本參數:

σu(u)=σmax(ρ/d)m

(13)

ku(u)=1+(kmax-1)(ρ/d)m

(15)

αu(u)=αmax(ρ/d)

(16)

其中,ρ為自由空間與PML層、交界面到PML層距離;d為PML層的厚度;m為多項式階數,m=4;kmax=1;αmax=0.25。激勵源的時域形式為:

Ey(t)=-2[(t-t0)/tw]exp{-[(t-t0)/tw]2}

(17)

其中,tw為決定時域波形寬度的參數,tw=26 ps;t0=4tw。觀察點設在離PML內層2個網格的距離。

為了計算PML的反射誤差,需要建立一個參考區域,該參考區域的網格尺寸與算例1的網格尺寸相同,每個方向的網格數是算例1 的20倍。觀察點的相對反射誤差計算公式為:

3種PML在觀察點的相對反射誤差隨時間變化的曲線如圖2所示。

圖2 算例1不同PML在觀察點的相對反射誤差

圖2表明修正的CPML比常規的CPML具有更好的吸波性能,同時修正的CPML與遞歸積分PML吸收效果相當,驗證了本文所提方法的正確性。圖2說明常規的CPML中存在的不同步問題確實是影響其吸收效果的主要原因,與其CPML自身的數值計算精度無關。

算例2 檢驗修正的CPML對消逝波的吸波性能。三維數值幾何模型如圖3所示。

三維模型在x、y、z方向的長度為52 mm×126 mm×26 mm,網格大小為Δx=Δy=Δz=1 mm,完全匹配層的厚度為10 mm,時間步長Δt為0.98倍的Courant極限。金屬板置于計算區域的中間且大小為25 mm×100 mm,沿著z方向的激勵源被放置在距離金屬板上方1個網格的位置,激勵源形式與(17)式相同,其中,tw=53 ps，t0=4tw。觀察點置于源的斜對角方向并距離金屬板1個網格的距離。PML參數為:m=3,αmax=0.2,kmax=1。3種PML在觀察點的相對反射誤差如圖4 所示。圖4說明了CPML中存在的時間不同步現象確實影響其吸波性能。

圖3 三維數值幾何模型圖4 算例2不同PML在觀察點的相對反射誤差

3種方法的計算內存及CPU執行時間(迭代1 600步)對比見表1所列。從表1可知,修正的CPML在計算內存不增加的情況下,其計算時間最短,比傳統的CPML計算時間減少了約47%。

表1 3種方法計算內存與計算時間對比

3 結 論

常規的CPML與FDTD之間存在的時間不同步現象對其吸波性能有一定的影響,本文采用時間平均近似方法對CPML進行修正,使其吸波性能與其他具有相同數值計算精度的PML吸波性能相當。該方法簡單易于理解,應用時在傳統的CPML代碼基礎上進行簡單的修改即可,同時,計算時間大大縮減,為CPML在FDTD算法中的應用提供了重要依據。

[1] BERENGER J P.A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves[J].Journal of Computational Physics,1994,114(2):185-200.

[2] GEDNEY S D.An anisotropic PML absorbing media for the FDTD simulation of fields in lossy and dispersive media[J].Electromagnetics,1996,16(4):399-415.

[3] FENG N X,LI J X,ZHAO X M.Efficient FDTD implementations of the higher-order PML using DSP techniques for arbitrary media[J].IEEE Transactions on Antenna and Propagation,2013,61(5):2623-2629.

[4] 葛德彪,閆玉波.電磁波時域有限差分算法[M].3版.西安:西安電子科技大學出版社,2011:99-106.

[5] TAFLOVE A,HAGNESS S C.Computational electrodynamics:the finite-difference time-domain method[M].3nd ed.Boston:Artech House,2005:302-310.

[6] LIU J F,FANF Y,XI X L.A new effective SC-PML implementation for WLP-FDTD method[J].IEEE Microwave and Wireless Components Letters,2015,25(8):499-501.

[7] KUZUOGLU M,MITTRA R.Frequency dependence of the constitutive parameters of causal perfectly matched anisotropic absorbers[J].IEEE Microwave and Guided Wave Letters,1996,6(12):447-449.

[8] RODEN J A,DEDNEY S D.Convolutional PML (CPML):an efficient FDTD implementation of the CFS-PML for arbitrary media[J].Microwave and Optical Technology Letters,2000,27(5):334-339.

[9] GIANNOPOULOS A.An improved new implementation of complex frequency shifted PML for the FDTD method[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation,2008,56(9):2995-3000.

[10] FENG N X,YUE Y Q,LIU Q H.DirectZ-tranform implementation of the CFS-PML based on memory-minimized method[J].IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques,2015,63(3):877-882.

[11] GEDNEY S,ZHAO B.An auxiliary differential equation formulation for the complex-frequency shifted PML[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation,2010,58(3):838-847.

Modifiedconvolutionalperfectlymatchedlayertechnique

XIE Guoda, SONG Kaihong, HUANG Zhixiang

(School of Electronics and Information Engineering, Anhui University, Hefei 230039, China)

The numerical computation time is not consistent between the complex frequency-shifted convolutional perfectly matched layer(CPML) and the recursive formula of the finite-difference time-domain(FDTD) method. It is found that the absorption effect of CPML does not reach the absorption effect of some perfectly matched layers(PMLs) with the same second-order accuracy in many numerical examples. In this paper, the time average approximation method is applied to modifying the traditional CPML, making sure that its absorption effect nearly has the same performance with other PMLs which have the same numerical accuracy. The validity of this method is verified by two representative examples. The presented method based on the simple modification to the traditional CPML code can greatly reduce the computation time, which is of significance for the efficient application of CPML in the FDTD algorithm.

finite-difference time-domain(FDTD) algorithm; convolutional perfectly matched layer(CPML); absorption effect; time average approximation method; computation time

2016-09-28；

2017-09-03

國家自然科學基金資助項目(61471001;51277001)

謝國大(1991-),男,安徽亳州人,安徽大學博士生;

宋開宏(1969-),男,安徽合肥人,安徽大學副教授,碩士生導師,通訊作者,E-mail:sk-hong@sina.com;

黃志祥(1979-),男,安徽合肥人,博士,安徽大學教授,博士生導師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.12.027

O441.4

A

1003-5060(2017)12-1725-05

(責任編輯張淑艷)