Orlicz序列空間的（k）性質

左明霞+彭麗娜

摘 要：（k）性質是Banach空間中一個重要的幾何性質，它與弱不動點性質密切相關。利用Banach空間及Orlicz空間的幾何理論，研究（k）性質在一類具體的Banach空間——Orlicz序列空間中的刻畫問題。給出了賦Luxemburg范數和賦Orlicz范數的Orlicz序列空間具有（k）性質的判別準則。作為推論，得到了這類空間具有弱不動點性質的一個充分條件。

關鍵詞：Orlicz序列空間；Luxemburg范數；Orlicz范數；（k）性質

DOI：10.15938/j.jhust.2017.06.023

中圖分類號： O177.3

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2017）06-0122-05

Abstract：Property （k） is an important geometric property in Banach spaces，and it is closely associated with fixed point property.By the geometric theory of Banach spaces and Orlicz spaces， we investigated the characterization for property（k） in a special class of Banach spacesOrlicz sequence spaces. Criteria for property（k） in Orlicz sequence spaces equipped with both the Luxemburg norm and the Orlicz norm are given. As a corollary， the sufficient condition that this kind of spaces has weak fixed point property is obtained.

Keywords：Orlicz sequence space； Luxemburg norm； Orlicz norm； property （k）

0 引 言

不動點問題自20世紀以來已成為人們研究的熱門課題之一。近年來，關于非擴張映射的不動點理論得到了很大的發展，這些理論在微分方程、動力系統理論、經濟均衡理論及控制論等領域有著廣泛的應用。一些數學工作者利用Banach空間的幾何性質討論了定義在非空的有界閉凸集上的非擴張映射的不動點的存在性。例如，Browder和Kirk分別證明了一致凸和具有正規結構的Banach空間上的非擴張映射具有不動點性質[1，2]。這些結果將Banach空間的幾何性質和非線性映射的不動點性質聯系在了一起。此后國內外的一些學者利用空間的幾何性質對非擴張映射的不動點性質進行了廣泛的研究， 得到了許多重要的結果[3-14]。人們在考慮不動點性質的同時，引入了弱不動性質的概念。Banach空間X稱為具有弱不動點性質是指如果C是X的一個非空的弱緊凸子集，T：C→C是一個非擴張映射（即x，y∈C， 有‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖），則T在C上必有一個不動點。后來，Kirk在Banach空間中引入了弱正規結構的概念，并證明了弱正規結構蘊涵弱不動點性質[15]。1994年，Sims在文[16]中引入了（k）性質的概念，證明了若Banach空間X具有（k）性質，則X具有弱正規結構，并且給出了Banach空間X具有（k）性質的一些充分條件。因此，（k）性質是與弱不動點性質密切相關的一個重要的幾何性質。本文將討論（k）性質在一類具體的Banach空間——Orlicz序列空間中的刻畫問題，給出了賦Luxemburg范數和賦Orlicz范數的Orlicz序列空間具有（k）性質的充分必要條件，從而得到這類空間具有弱不動點性質的一個充分條件。

1 預備知識

推論2 若M∈Δ2，則賦Orlicz范數的Orlicz序列空間loM具有弱不動點性質。

參 考 文 獻：

[1] BROWER F E. Nonexpansive Nonlinear Operators in a Banach space [J]. Proc. Nat. Acad. Sci. USA， 1965（54）：1041-1044.

[2] KIRK W A. A Fixed Point Theorem for Mappings Which do not Increasedistances[J]. Amer. Math.Monthly， 1965， 72（1）： 1004-1006.

[3] SIMS B. Orthogonality and Fixed Points of Nonexpansive Maps [J]. Proc. Centre. Math. Anal. Austral. Nat. Univ.， 1988， 20（7）： 178-186.

[4] OPIAL Z O. Weak Convergence of the Sequence of Successive Approximations for Nonexpansive Mappings [J]. Bull. Amer. Math. Soc， 1967（73）： 591-597.

[5] FALSET G J. The Fixed Point Property in Banach Spaces with NUS Property[J]. J. Math. Anal. Appl.， 1997（215）： 532-542.

[6] FALSET G J， FUSTER L E， NAVARRO M E. Umiformly Nonsquare Banach Spaces Have the Fixed Point Property for Nonexpansive Mappings [J]. J. Funct. Anal.， 2006（233）： 494-514.endprint