搭建“分率”和“比”的橋梁

李偉

[摘 要]分數意義豐富，不僅可以表示部分占整體的幾分之幾，還可以延伸到除法比值“分率”以及“比”。分數具有“數字”“分率”“比”等多重身份，從不同角度理解的意義不同。

[關鍵詞]分數；搭建；透視；分率；比

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）35-0092-01

在分數的應用中，由于分數有多重身份，解題方法也相應豐富多樣。然而，學生在學了分數乘除法和比例后，解題思路反而受到限制。針對這一嚴峻事實，筆者做了一些研究，現提出一些觀點，與同行交流探討。

一、反思教材的編排

人教版教材以“塊狀編排，線性推進”為主。在設計六年級上冊“分數乘法”時，教材插入了“分率問題”中的“求幾分之幾”和“多（少）幾分之幾”兩個內容，類比線段圖和倍數問題，歸納出“單位‘1的量[×]對應分率=分率量”這一分數乘法基本模型。在“分數除法”單元中，教材插入了“分率問題”中的“已知分率數，求單位‘1的量”和“已知多（少）出的分率數，求單位‘1的量”兩個內容，并借鑒分數乘法的固定模型，列方程解題，然后補敘“量率對應”求單位“1”的量這一方法，套用線段圖和倍數問題中求每份數的方法，建立“分率量[÷]對應分率=單位‘1的量”這一分數除法基本模型。

而“比”作為獨立章節，出現在“分數除法”之后。教材專門設計了“按比例分配”應用模型。教學中，通過把“比”轉化為“分率”，再根據分率乘法公式求出各部分的量，或者先求出每份量，再根據比例，求出分量。

經歷以上教學，“分率問題”和“比的應用問題”都得以妥善解決，但是解題策略略顯呆板僵化。比如，音樂班招收學員56名，瑜伽班招收學員的名額是音樂班的[78]，瑜伽班招收學員多少名？教師在征詢不同方法的過程中發現，將分率[78]看作一個比的人寥寥無幾，也就是“瑜伽班∶音樂班=7∶8”。

二、透視問題，追根究底

上述案例反映出學生思維僵化，不能根據分數的豐富意義將“分率”與“比”互化融通，靈活多變地解題。

筆者認為，盡管人教版教材豐富了分數的意義，著重指出了分數、除法和比三者的聯系，但并沒有發揮“比和比的應用”這一章節的作用。從教材將“比和比的應用”歸入“分數除法”單元，可以看出其意圖就是以分數除法為紐帶，溝通分數和比的關系，豐富分數的意義。教材將“分率問題”和“比的應用”分隔開，沒有融通兩者的關系，后續章節也沒有整合這兩塊知識，于是一遇到“分率問題”，學生往往只會用分率的方法解決，無法轉化為“比”的形式，而解決“比的應用”的問題時，求分量時也只會先求每份數，無法轉化為“分率”形式。

可以說，教材的編排方式束縛了學生的思維，硬生生將關聯密切的兩部分內容拆散了。鑒于此，筆者認為學完“分率問題”和“比的應用”后，應進行一次大整編，引導學生抓住“分率”與“比”之間的聯系，將兩者共通融合，從而能靈活解題。

三、改進教學策略

基于上述認識，筆者認為在整編過程中可以補充以下內容。

首先可以設計一些基本轉化練習，讓學生學會用“比”來解析“分率”。

比如，已知甲是乙的[58]，填空。

①如果將乙看作（ ）份，甲含有同樣的（ ）份。

②甲∶乙=（ ）∶（ ）。

③甲∶（甲+乙）=（ ）∶（ ）。

④（乙-甲）∶乙=（ ）∶（ ）。

其次，設計幾類“分率問題”，引導學生用“比”的知識去解析。比如，玩具店里有電動汽車24輛，遙控飛機的數量是電動汽車的[58]，遙控飛機有多少架？有了轉化練習的鋪墊，學生就會從“比”的角度去審視[58]。顯然，化為比例后，電動汽車有8份，遙控飛機有5份，遙控飛機∶電動汽車=5∶8，問題迎刃而解。

組題升級：玩具店里有電動汽車24輛，比遙控飛機多[35]，遙控飛機有多少架？同樣用“比”的知識解讀“比遙控飛機多[35]”的含義，設遙控飛機的數量為5份，那么電動汽車就比它多出3份，共計8份，于是題目就轉換為“8份是24輛，5份有多少架”。轉化后，各對象間的數量關系直白明了。

由此看來，有的時候，用“比”來解題優勢明顯，解題更簡單容易。

總之，通過補充教學，打破了原來“分率問題”與“比的應用”“各自為政”的局面，搭建起通連“分率”與“比”的橋梁，不但豐富了學生的解題策略，而且加深了學生對分數意義的理解，從形式到實質貫徹了知識融通目標。

（責編 吳美玲）