圓的方程求法“直通車”

■黃海英

圓的方程求法“直通車”

■黃海英

在解析幾何中，要解決與圓有關的問題，必須先求出圓的方程。那么求圓的方程有哪些基本方法呢？下面介紹幾種常用的求圓的方程的方法，供大家學習。

一、直接法

根據題目提供的條件列出方程，化簡整理即為所求的圓的方程。

例 1 設定點M（—3，4），動點N 在圓x2+y2=4上運動，以OM、ON 為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡。

分析：結合圖形，尋求點P和點M 之間的關系，用相關點法（代入法）求解。

解：畫出簡圖，如圖l所示。

圖l

設點P（x，y），點N（x0，y0），則線段OP的中點坐標為線段MN 的中點坐標為

因為點N（x+3，y—4）在圓x2+y2=4上，所以（x+3）2+（y—4）2=4。

故所求點P的軌跡為圓，其方程為（x+3）2+ （y —4）2=4，但 應 除 去 兩 點，即除去點P在直線OM上的情況。

評注：直接法也叫軌跡法，即通過“建系”、“設點”、“列式”、“化簡”等步驟，直接求出圓的方程。

二、幾何法

所謂幾何法，就是根據題意，求出圓心坐標與半徑，然后求出圓的標準方程。

例 2 一個圓經過點 A（5，0）與點B（—2，l），圓心在直線x—3y—l0=0上，求此圓的方程。

分析：由所求圓經過點A（5，0）與點B（—2，l），可知圓心在線段AB的垂直平分線上。先求出線段AB的垂直平分線，再與直線x—3y—l0=0聯立，可得圓心坐標。

故所求圓的標準方程為（x—l）2+（y+3）2=25。

（法二）設所求圓的圓心為P（a，b）。由已知可得線段AB 的中點坐標為

故所求圓的標準方程為（x—l）2+（y+3）2=25。

評注：上述兩種解法不同，但都是先求出圓心與半徑，再得圓的方程。第一種解法是先設圓心坐標再列方程求解，第二種解法是利用兩條直線的交點求出圓心坐標。

三、待定系數法

無論是圓的標準方程，還是圓的一般方程，它們都有三個特定的系數，因此只要求出這三個系數，圓的方程就確定了。

例 3 求經過P（—2，4），Q（3，—l）兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6的圓方程。

分析：設出圓的一般方程，利用待定系數法求解。

解：設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，將P，Q兩點的坐標分別代入此方程可得

令y=0，得x2+Dx+F=0。 ③

設xl，x2是方程③的兩根，由|xl—x2|=6，可得（xl+x2）2—4xlx2=36，即（—D）2—4F=36，D2—4F=36。 ④

由①②④解得D=—2，E=—4，F=—8或D=—6，E=—8，F=0。

故所求圓的方程為x2+y2—2x—4y—8=0或x2+y2—6x—8y=0。

評注：用待定系數法解題的一般步驟是：設（設含待定系數的方程）→列（利用條件列出系數所滿足的方程組）→求（解方程組）→寫（寫出所求方程）。與圓上三點或兩點有關的問題，選用圓的一般方程求解較為簡單；與圓心和半徑有關的問題，選用圓的標準方程容易求解。

江蘇太倉市明德高級中學

（責任編輯 郭正華）