圓的方程求法“直通車”

■黃海英

圓的方程求法“直通車”

■黃海英

在解析幾何中，要解決與圓有關(guān)的問題，必須先求出圓的方程。那么求圓的方程有哪些基本方法呢？下面介紹幾種常用的求圓的方程的方法，供大家學(xué)習(xí)。

一、直接法

根據(jù)題目提供的條件列出方程，化簡(jiǎn)整理即為所求的圓的方程。

例 1 設(shè)定點(diǎn)M（—3，4），動(dòng)點(diǎn)N 在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、ON 為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡。

分析：結(jié)合圖形，尋求點(diǎn)P和點(diǎn)M 之間的關(guān)系，用相關(guān)點(diǎn)法（代入法）求解。

解：畫出簡(jiǎn)圖，如圖l所示。

圖l

設(shè)點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)N（x0，y0），則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為線段MN 的中點(diǎn)坐標(biāo)為

因?yàn)辄c(diǎn)N（x+3，y—4）在圓x2+y2=4上，所以（x+3）2+（y—4）2=4。

故所求點(diǎn)P的軌跡為圓，其方程為（x+3）2+ （y —4）2=4，但 應(yīng) 除 去 兩 點(diǎn)，即除去點(diǎn)P在直線OM上的情況。

評(píng)注：直接法也叫軌跡法，即通過“建系”、“設(shè)點(diǎn)”、“列式”、“化簡(jiǎn)”等步驟，直接求出圓的方程。

二、幾何法

所謂幾何法，就是根據(jù)題意，求出圓心坐標(biāo)與半徑，然后求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

例 2 一個(gè)圓經(jīng)過點(diǎn) A（5，0）與點(diǎn)B（—2，l），圓心在直線x—3y—l0=0上，求此圓的方程。

分析：由所求圓經(jīng)過點(diǎn)A（5，0）與點(diǎn)B（—2，l），可知圓心在線段AB的垂直平分線上。先求出線段AB的垂直平分線，再與直線x—3y—l0=0聯(lián)立，可得圓心坐標(biāo)。

故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—l）2+（y+3）2=25。

（法二）設(shè)所求圓的圓心為P（a，b）。由已知可得線段AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為

故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—l）2+（y+3）2=25。

評(píng)注：上述兩種解法不同，但都是先求出圓心與半徑，再得圓的方程。第一種解法是先設(shè)圓心坐標(biāo)再列方程求解，第二種解法是利用兩條直線的交點(diǎn)求出圓心坐標(biāo)。

三、待定系數(shù)法

無論是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，還是圓的一般方程，它們都有三個(gè)特定的系數(shù)，因此只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了。

例 3 求經(jīng)過P（—2，4），Q（3，—l）兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6的圓方程。

分析：設(shè)出圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求解。

解：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，將P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入此方程可得

令y=0，得x2+Dx+F=0。 ③

設(shè)xl，x2是方程③的兩根，由|xl—x2|=6，可得（xl+x2）2—4xlx2=36，即（—D）2—4F=36，D2—4F=36。 ④

由①②④解得D=—2，E=—4，F(xiàn)=—8或D=—6，E=—8，F(xiàn)=0。

故所求圓的方程為x2+y2—2x—4y—8=0或x2+y2—6x—8y=0。

評(píng)注：用待定系數(shù)法解題的一般步驟是：設(shè)（設(shè)含待定系數(shù)的方程）→列（利用條件列出系數(shù)所滿足的方程組）→求（解方程組）→寫（寫出所求方程）。與圓上三點(diǎn)或兩點(diǎn)有關(guān)的問題，選用圓的一般方程求解較為簡(jiǎn)單；與圓心和半徑有關(guān)的問題，選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程容易求解。

江蘇太倉市明德高級(jí)中學(xué)

（責(zé)任編輯 郭正華）