基于MATLAB軟件的柴油機配氣系統凸輪型線函數擬合

羅哲

摘要：針對實際生產難以得到具體柴油機配氣系統凸輪型線函數的情況，采用N次諧波曲線逼近擬合法對配氣凸輪升程數據表進行擬合。利用MATLAB軟件建立N次諧波曲線逼近擬合法數學模型，通過代入凸輪升程數據求解出凸輪型線的N次諧波擬合函數方程。本文對兩種不同型線的凸輪采用該方法進行型線擬合，得到整體型線函數方程，分析擬合參數點與實際測量點之間的剩余標準差，以及對函數方程進行求導得出的速度、加速度圖形情況，驗證了所采用的N次諧波曲線逼近擬合法在配氣凸輪函數擬合問題上的有效性。

關鍵詞：N次諧波；曲線擬合；凸輪型線；配氣系統

中圖分類號：TK422 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2017）11-0089-03

1 引言

配氣凸輪作為配氣系統的動力提供者，一直以來其型線都是研究的重點，凸輪型線設計的優劣對于柴油機各方面性能影響顯著。現今，國內外配氣系統使用較為頻繁的凸輪型線有：多項式型線、高次方型線、復合正弦拋物線型線、分段函數型線等凸輪型線[1-3]。凸輪型線的設計過程可以概括為兩種：（1）對已經給出的凸輪輪廓型線方程和幾何形狀進行改進設計與優化；（2）對已經給出的凸輪基圓半徑和挺柱升程曲線進行光滑與擬合。由于在實際設計中很難具體得出某一凸輪的實際型線方程，因此在實際計算時往往采用第二種方法，將配氣凸輪型線用相對于挺柱的升程曲線來表示，其中為凸輪轉角。目前常用的型線擬合方法有多項式法、樣條函數法、N次諧波逼近擬合法等，其中N次諧波逼近擬合法以2π為周期，利用有限項的傅里葉級數擬合型線函數，不僅能保持高階倒數的連續性，而且擬合精度高。

本文以柴油機配氣系統進氣凸輪作為研究對象，采用N次諧波曲線逼近擬合的方式對凸輪型線進行擬合，利用MATLAB軟件編程建立N次諧波曲線逼近擬合求解模型。對兩種不同型線的凸輪進行升程曲線測量，得出每種凸輪相對應的升程曲線數據表，利用上述模型對各凸輪升程曲線進行N次諧波逼近函數擬合，得到每個凸輪的升程函數擬合方程，比對擬合方程與測量數據點的差異性情況，驗證擬合函數的準確性。

2 N次諧波曲線逼近擬合凸輪型線的原理

通常情況下，在得到一個柴油機配氣凸輪之后，可通過使用平面測量頭以凸輪對稱中線點為零點向兩側延伸的方式進行測量。每次間隔一度進行測量，便可以測繪出配氣凸輪的升程數據表[4-5]。通過將平面測量頭所測得的凸輪升程數據進行光順之后，便得到一系列的點陣，即凸輪的轉角及其相對于的升程[6]。假設凸輪轉動角度由到這些節點構成，那么相對應的凸輪升程便由到構成。所謂的擬合簡單來說，就是要得到一條具有顯示方程的曲線能夠盡最大程度的通過或者靠近這個相當于平面上一一對應的n+1個點。鑒于凸輪旋轉一周的角度為，因此可以肯定凸輪的升程函數也是以為運動周期的。在數值分析上可以知道，傅里葉級數可以展開具有一定光滑性且以為周期的函數，因此，利用傅里葉級數展開式可以得出下列式子：

但是就實際而言，要想通過式（2）、（3）、（4）求得參數、、是有一定困難的，因為我們無法確定的表達式，而正是我們所要擬合得出函數，因此便陷入了矛盾之中。從實際情況上來分析，我們雖然不知道的表達式，但卻知道各個所對應的的值，因此可以通過這些點采用數值積分的方法求得、、的近似值。

雖然理論上我們所擬合的區間是，但是就真實情況而言，我們只需要擬合上的一段區間即可，因為在凸輪基圓上函數恒為零。通過已知的凸輪升程數據表，然后采用數值積分的方法通過這有限個節點去近似無限個節點求解、、等參數，然后用這些參數去構造有限項凸輪升程曲線函數形式。因此，其實我們是在使用有限項函數去逼近凸輪升程曲線的真實表達式，所以，該方法稱為“N次諧波曲線逼近法”。

采用N次諧波曲線逼近法所得到的函數具有無限階可導性，從而保證了曲線良好的光滑性，且逼近的階數N也可以根據設計需要自己選擇。通過逼近所得函數是一個整體函數表達式，這樣對于求解其他運動學和動力學問題便顯得十分便捷，只需將該函數方程直接代入便可輕松求解。

3 N次諧波曲線逼近擬合法的MATLAB軟件實現

在MATLAB中可以通過FFT（快速傅里葉變換）工具指令來實現DFT（離散傅里葉變換）。這種方法是通過利用復數形式的離散傅里葉變換來計算實數形式的離散傅里葉變換。那么其具體轉換過程如下：

（1）定義FFT擬合的參數。FFT指令需要我們給出擬合的角度范圍、擬合的位移大小以及擬合的項數N（也可以說是輸入信號的周期）。關于擬合項數的選取可根據凸輪轉角的范圍進行選取，如凸輪轉角80°，那么擬合的項數N可選擇為80及以上。在參數定義完成之后，通過FFT運算可以得到一系列復數形式的點陣，該點陣具有一定的對稱性，一般情況會以N/2+1這個點為對稱點。其所得結果的一般形式為：

（2）將FFT擬合結果進行DFT轉換。在已知輸入信號周期N的情況下，對于FFT到DFT的轉換，我們只需要提取FFT結果的前N/2+1項的值便可以正確的復原原來的位移。FFT變換為DFT之后的形式以及兩種變換之間的關系如下面式子所示：

其中：

（3）完成轉換。將轉換之后所得的系數結果全部代入到DFT合成式子（7）里面便可以得到擬合后的凸輪型線函數表達式。利用該函數表達式便可以進行配氣系統的動力學計算。

4 實驗及結果分析

本文選用兩種不同型線的配氣凸輪作為研究對象，分別標記為凸輪1、凸輪2。利用上述擬合方法分別對這兩種凸輪進行凸輪型線函數擬合，其擬合結果如圖1所示。

從上述擬合圖中可以看出，通過采用N次諧波逼近擬合法完全可以得出進行動力學計算的升程函數，其中關于凸輪1、凸輪2的擬合參數如表1所示，剩余標準差顯示了擬合函數與真實值之間的準確程度，越小代表擬合程度越高，從表1中可以看出兩者標準差均在10的負6次方以下，可見上述兩個凸輪升程數據表通過N次諧波擬合之后所得型線方程特性良好。endprint

通過N次諧波擬合之后，得出了凸輪升程函數，對升程函數進行求導可以得到速度、加速度圖形，其結果如圖2所示。從圖形中可以看出擬合后的函數連續可導，并且曲線具有良好的光滑性。

5 結語

本文利用MATLAB軟件對兩種不同型線的凸輪進行了N次諧波逼近函數擬合，得到了每個凸輪型線的函數擬合方程，并且通過計算值與實際值的比對可以看出擬合效果良好，擬合之后的凸輪型線求得的速度、加速度圖光滑平順，進一步驗證了擬合函數的準確性和有效性。

參考文獻

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[2]高文志，關順吉，劉建國，等.內燃機配氣凸輪型線擬合方法比較[J].拖拉機與農用運輸車，2005，（6）：59-60.

[3]劉海生，彭巖.基于Matlab的發動機配氣凸輪機構的動力學建模與仿真[J].機械設計與制造，2008，（4）：88-89.

[4]鄭定浩.柴油機配氣凸輪型線測量和數值逼近的研究[J].中國水運，2006，（2）：92-94.

[5]Tsay D M， Tseng K S， Chen H P. A Procedure for Measuring Planar Cam Profiles and Their Follower Motions[J].Journal of Manufacturing Science & Engineering， 2006，（3）：697-704.

[6]袁銀南，陳廣暉，張樂夫.發動機凸輪升程光順時不同方法的應用[J].內燃機工程，1998，（3）：1-6.

Abstract：In view of the fact that it is difficult to obtain the cam profile simulation of the diesel valve train in actual production， the Nth harmonic method is adopted to fit the data table of the valve cam. The mathematical model of Nth harmonic method is established by using MATLAB software. By solving the cam lift data， the Nth harmonic fitting function equation of cam profile is obtained. In this paper， the method of line fitting is adopted for two different kinds of cam profile， as a result of acquiring the function equation of the whole. The figures of speed and accelerated speed are acquired by the derivation of function equation and analysis of residual standard between fitting parameters and actual measurement point. The availability of Nth harmonic method in valve cam profile is verified.

Key Words：Nth harmonic； curve fitting； cam profile； valve systemendprint