關于廟會游戲得獎概率的研究

王斌?陳柏健

摘要：廟會的娛樂項目吸引了很多游客的參與，但是許多人卻無功而返。經過我們的觀察發現，其中獎率低的原因就在于場地的設計。為了提醒和警示那些只為了獎品的參與者小心為妙，不要對獎品抱有太大希望，要以娛樂為主。我們展開了此課題的研究。

關鍵詞：數學建模；統計分析；分類討論；概率計算

廟會游戲的玩家必須站在外圈外，將一枚游戲幣（直徑為2cm每枚5元）拋入場地，若硬幣全部落在玻璃圓盤內，則獲得大獎（零售價大約為30元），若未全部落在圓盤內或落在圓盤外皆無獎。我們采集了其他玩家參與此游戲的數據，發現20個參與者，一共投了168次，只投中了6次，概率僅有3.57%。由此可見，這個游戲的中獎概率極低。

概率如此之低的游戲，導致其因素都哪些呢？通過觀察和思考我們發下，可能導致中獎概率太低的因素有如下三條：

（1）面積：圓盤面積、圓盤外外場內面積

（2）因為材料原因，硬幣落在圓盤內彈起，落在圓盤外不彈起

（3）扔硬幣的起始高度、力度（拋物線）

在此基礎上我們建立模型進行分析。

由于硬幣在玻璃上運動會彈起，而硬幣在空中的運動軌跡近似拋物線，所以將運動的軌跡抽象成幾個拋物線的組合，如下圖所示。

其中，硬幣從手拋出時刻位于第一個拋物線任意一點，人可以控制的只有h和s。

h：硬幣第一個拋物線的高度

s：硬幣經過的第一個拋物線在地面上的投影長度

由于硬幣和玻璃間碰撞會損失能量，所以設每一次彈起的高度會有減小，但我們假設拋物線的形狀不變（a）不變，只是拋物線的位置變化了。

m：相鄰兩個高度值，后一個與前一個之間的比值，即為衰減率

在圖中的直角坐標系中，對于第一個拋物線，有點（0，0）點（s/2，h）點（s，0），所以第一個拋物線解析式為y=（-4h/s）×x×（x-s），所以易知A1A2=s，

第二個拋物線中，有點（s，0），拋物線的a與第一個拋物線相等，頂點到x軸的距離是mh，所以第二個拋物線的方程為y=（-4h/s）×（x-s）×（x-s-），所以易知A2A3=，第三個拋物線中，有點（s+，0），拋物線的a與第一個拋物線相等，頂點到x軸的距離是m2h，所以第三個拋物線的方程為y=（-4h/s）×（x-s-）×（x-s--）所以易知A3A4=

……

由上述的規律，可知AnAn+1=（n大于等于2）

所以X==s+{}

概率計算

若硬幣第一次落地剛好落在第一個圓盤最右端，最后停止在圓盤上，則s=129，這時可以算出：X=s+{} ≈141.29

若硬幣最后停止在第一個圓盤最左端，則X=s+{}=159

解出s≈145.93，所以易知可行的s范圍是[129， 145.93]

以此類推，可以計算在第二個乃至第五個圓盤降落的s范圍。

綜上所述，則可行的s的范圍：

此時的概率為：

P1=≈12.3538%

由于硬幣在落入盤中時，有可能會滑動導致滑出圓盤，極大地縮小了概率，為了統計滑出圓盤的概率，我們在自制場地上進行了實驗：從圓盤上10cm以各個方向，適宜的力度向盤上投擲硬幣（模擬硬幣最后著陸的過程）。計算未滑出的概率P0=27/160≈16.88%

綜上所述：最終的概率為P=P0×P1=2.09%

結論

本文先進行了實驗，統計出平均概率大約為1.07%。后又進一步實驗，使用一種高概率的方法進行投擲，統計出平均概率大約為1.26%。之后，我們又建立了數學模型，算出了這種概率高的方法的理論概率為2.09%。

從這里我們可以看出，即使是用高概率的方法進行投擲，概率仍只有1～2%，足以體現出此游戲概率之低。

通過對廟會游戲得獎概率的研究與計算，我們發現此類游戲的得獎概率極低，我們在此呼吁大家，在玩此類游戲時不要抱有一定要得獎的心理，重在參與，體驗其中的樂趣。其次，我希望游戲舉辦者可以參考以上概率，根據情況提高得獎概率，以便吸引更多的玩家參與進來。

作者簡介：

王斌（2000.07.19）男，籍貫：北京昌平，學校：北京市昌平第二中學；

陳柏健（2000.04.14）男，籍貫：北京昌平，學校：北京市昌平第二中學。endprint