基于循環相關的加權分數階傅里葉變換信號旋轉因子估計方法

張笑宇， 宋碧雪， 王洋， 馮永新， 錢博

(1.沈陽理工大學 信息科學與工程學院， 遼寧 沈陽 110159；2.山東特種工業集團有限公司 軍品研究所， 山東 淄博 255200；3.長春理工大學 電子信息工程學院， 吉林 長春 130022)

0 引言

電磁頻譜域由于資源有限成為繼海陸空天后各國競爭的又一大戰備域，為贏得未來戰爭中的信息主動權，美軍針對信息化戰場的復雜電磁環境提出了電磁戰替代電子戰的信息對抗思路。作為一種電磁頻譜利用率高的新型通信手段，加權分數階傅里葉變換(WFRFT)因實現簡單，得到普遍的關注和認可。隨著通信物理意義的明確，不僅具有單載波系統抗多普勒能力，同時兼顧多載波系統抗多徑能力的WFRFT在保密通信領域得到更多研究者的重視。考慮到混合載波體制在未來信息對抗中的抗截獲和抗識別優勢，對WFRFT信號開展精確的關鍵參數估計，對現代通信對抗有至關重要的意義。

作為一種新型調制信號，WFRFT信號的研究主要集中在正向通信系統的參數優化及其性能分析上，文獻[2]針對當前多參數(MP)-WFRFT星座特征缺乏定量研究的不足，提出一種新型的星座疊加方法，該方法以星座模糊及裂變為依據，構建了基于MP-WFRFT的星座預編碼相關混合整數優化模型。文獻[3]為提高衛星通信系統的性能，提出一種基于的通信系統預編碼設計方法，該方法分析了MP-WFRFT星座的變化規律，構建了基于MP-WFRFT的星座預編碼優化系統。文獻[4]為解決衛星通信信號隱蔽性不足的問題，提出一種基于MP-WFRFT的通信方法，該方法通過將信號偽裝成其他調制方式，增強衛星通信信號的隱蔽性。

針對WFRFT信號的識別和參數估計問題研究較少，文獻[5]提出一種WFRFT信號參數識別方法，該方法在分析典型WFRFT信號特征和抗掃描特性的基礎上，已知調制方式下通過高階累積量估計WFRFT信號的旋轉因子；未知調制方式下通過掃描法和判決法估計WFRFT信號的旋轉因子，并利用神經網絡對提出的參數估計方法進行了進一步優化。

循環相關法利用相關函數和功率譜密度互為傅里葉變換對的基本思想，通過循環相關代替傳統線性相關的信號處理方法。相對于傳統的線性相關信號分析法，循環相關采用圓周相關中快速傅里葉變換(FFT)算法降低乘法運算的復雜度，從而縮短參數估計的時間。

本文將循環相關法引入WFRFT信號旋轉因子估計中，提出一種基于循環相關的WFRFT信號旋轉因子估計的方法，以實現未知信號參數條件下的旋轉因子估計。

1 WFRFT通信機理及其信號特性分析

1.1 通信機理

WFRFT在通信中的物理意義可理解為：信息數據經過串并轉換后分別進入4個支路進行處理，其中3支路和4支路的數據在加權處理之前都經過了離散傅里葉變換(DFT)模塊，剛好對應于以正交頻分多路復用(OFDM)為代表的多載波通信模型，1支路和2支路的數據沒有經過DFT模塊，則對應于單載波的通信模型。受4個支路的影響，WFRFT是一種同時具有單載波和多載波的混合載波通信模型。

基于上述思想，WFRFT通信模型原理框圖如圖1所示。在發射端中，將基帶信號經過串并轉換處理后生成待調制的信號；然后輸入旋轉因子，生成加權因子信號，并對生成的待調制的信號進行WFRFT調制并添加循環前綴；最后經過并串轉換、D/A轉換及上變頻，得到WFRFT信號，并通過天線發射。

圖1 WFRFT通信模型原理框圖Fig.1 Functional block diagram of the WFRFT transmitter

在接收端中，利用天線接收經過信道的帶高斯白噪聲的WFRFT信號；其次，對接收信號進行下變頻、A/D轉換、串并轉換及移除循環前綴；然后，經過傅里葉變換和頻域均衡后，接收方進行WFRFT逆變換，再經過串并轉換后即可解調原始信號。

基于WFRFT的通信模型產生的信號由于同時包含了單載波及多載波兩種調制類型，產生了一種單、多載波調制信號特征過渡的信號形式。因此，作為傳統時、頻域通信信號的延伸，WFRFT通信信號兼顧時、頻通信信號的優勢和特點。WFRFT通信信號中單、多載波占比由加權因子決定，即旋轉因子為0時，WFRFT的通信模型等價于傳統單載波通信模型；當旋轉因子為1時，WFRFT的通信模型等價于以OFDM為代表的多載波通信模型。

1.2 信號產生及特性分析

作為經典傅里葉變換的周期性分數化擴展形式，4項加權分數階傅里葉變換(4-WFRFT)的表達式為

()=WFRFT((),())=
()+[()]+{[()]}+
{[(())]}

(1)

式中：WFRFT(·)表示信號的加權分數階傅里葉變換；()為原始信號，為信號的采樣時間；為旋轉因子；(·)表示信號的傅里葉變換；(=0,1,2,3)表示加權因子，

(2)

這種變換域信號可理解為區間[0，4)范圍內變化旋轉因子在時域和頻域的加權疊加，且旋轉因子表現為如下特點：當旋轉因子趨近于0或2時，時域占比增加；當旋轉因子趨近于1或3時，頻域占比增加，若旋轉因子為0，則第1個加權系數為1、其他系數為0，此時WFRFT等價于原始時域信號；若旋轉因子為1，則第2個加權系數為1、其他系數為0，此時WFRFT等價于信號的傳統傅里葉變換。

傳統離散傅里葉變換如(3)式所示。

(3)

式中：()為信號的頻域量，為頻域采樣點；()為時域分量，為時域采樣點；為信號長度。

為描述簡潔，將離散傅里葉變換(DFT)和離散傅里葉逆變換(IDFT)改寫為矩陣形式如(4)式所示：

(4)

式中：和為DFT和IDFT運算；離散傅里葉矩陣如(5)式所示：

(5)

因此，矩陣形式的離散化WFRFT如(6)式所示：

(6)

=()+()+()+()=
()+()+()·+()··

(7)

式中：、、為第1次、第2次、第3次DFT運算。

由DFT的周期性和置換矩陣的特性可知，時域反轉分量()是()的反轉操作，二者的關系如(8)式所示：

(8)

4-WFRFT可利用反轉模塊和DFT模塊實現，其實現原理如圖2所示。

圖2 WFRFT實現原理圖Fig.2 Schematic diagram of WFRFT

由于WFRFT具有和OFDM相同類型的輸入信號，二者區別僅為WFRFT改變了信號在時頻域的信號特征。WFRFT信號的特性分析可通過多電平的載波調制方法實現，以正交相移鍵控(QPSK)、正交幅度調制(QAM)等傳統調制方式為基礎，對同相支路分量和正交支路分量分別進行WFRFT運算，即可完成WFRFT調制，進而分析WFRFT的信號特征。

圖3為QSPK及WFRFT功率譜圖對比。由圖3可以看出：WFRFT信號的功率譜密度和QPSK信號的功率譜密度基本相同，兩種系統具有基本相同的均峰功率比，射頻部分的設計基本相同，因此可兼容于現有通信系統；單載波信號、多載波信號及WFRFT混合載波信號具有相同水平的頻譜利用率。

圖3 QSPK及WFRFT功率譜圖對比Fig.3 Comparison of the spectrum of original QPSK and WFRFT signals

WFRFT的功率譜密度可表示為

(9)

式中：為輸入信號的方差；為采樣周期；(·)為傳遞函數；為頻率；為輸入信號的均值；為采樣點數。WFRFT的功率譜密度由連續譜和離散譜兩部分共同組成。

圖4為不同旋轉因子下WFRFT信號星座圖描述，描繪了WFRFT多變的信號特征。由圖4可見，隨著WFRFT中旋轉因子的變化，WFRFT信號的星座點在QPSK星座點的基礎上逐漸分裂、旋轉，且在不同的旋轉因子下呈現不同的信號特征。

圖4 WFRFT調制星座圖對比Fig.4 Comparison of constellation diagrams of the WFRFT signals

這是因為WFRFT信號的星座特征同時受到原信號的時域信號特征、頻域信號特征以及加權因子的共同影響，各自作用如下：

1)時域分量()與時域反轉分量()的加權疊加使得WFRFT信號星座分布徑向改變，即以QPSK星座圖中每一個星座點為中心產生一簇和輸入信號同分布的星座點。

2)頻域分量()與頻域反轉分量()的加權疊加使得WFRFT信號星座分布逐漸高斯化，且WFRFT信號星座圖和QPSK信號具有相類似的星座分布。

3)加權因子決定了WFRFT中各分量對信號特征的貢獻程度。通過控制加權因子可實現WFRFT在復平面的信號表征形式，決定復平面圖形相應的伸縮程度及偏轉趨勢。其中，WFRFT各信號分量受加權因子影響產生的相位偏轉為

(10)

式中：為相位偏轉；為旋轉因子序列。

2 循環相關機理及復雜度分析

循環相關法最早應用于擴頻信號的快速同步捕獲中。傳統的線性相關可定義為2個采樣點數均為的信號進行重疊的信號部分移位相乘累加的過程，其信號長度為2-1。兩段采樣點數不同的信號線性相關表達式為

(11)

式中：()為采樣長度的接收信號；()為接收信號的共軛。由于線性相關等價于信號翻褶后與另一個信號進行移位相乘再求和的過程，與卷積運算相似，只是卷積和沒有翻褶，此時線性相關可表示為

(12)

線性相關中的加法次數為2-1，乘法次數為，因此要想提高運算速度，需從減少移位相乘求和的運算量，特別是乘法運算的開銷。

由傅里葉變換理論可知，時域上的卷積可用頻域相乘實現，此傅里葉變換對可表示為

()=(+)·()

(13)

式中：為經過DFT后的頻域值；(+)、()分別為(+)和()對應的頻域分量。此時計算(+)與()的相關函數只需做一次IDFT即可。通過分析可知，對于短信號，傳統的線性相關運算速度較快，但對于長信號，采用DFT和IDFT計算相關可極大提高運算速度。

WFRFT信號的自相關函數()可表示為

(14)

與線性相關相比，循環相關過程為WFRFT信號的圓周相關求解，由于采用了圓周相關中快速FFT算法，其計算速度可以大大提高，從而實現快速計算過程。采用基于FFT的循環相關計算WFRFT的相關值，運算長度僅為線性相關信號長度的一半。

(15)

通過此比值，即可衡量線性相關和循環相關法在旋轉因子估計的復雜度性能。

3 循環相關法旋轉因子估計流程

由于WFRFT具備良好的相關性，即相同旋轉因子的WFRFT自相關性好，而不同旋轉因子的互相關性很差。因此，利用WFRFT的相關性對WFRFT信號的旋轉因子進行估計。

不同于擴頻通信中的接收方本地信號，WFRFT接收方中的本地信號是指對接收信號分別進行旋轉因子為[0，4]的WFRFT變換而產生的信號。根據WFRFT自相關性和周期性，當旋轉因子分別為0、4以及發送端的旋轉因子時，接收信號和本地信號的相關性將會出現峰值。

為縮短估計時間，采用循環相關法進行旋轉因子的估計，循環相關估計旋轉因子的原理框圖如圖5所示，該方法共采用2次FFT和1次IFFT計算相關函數。通過循環相關，根據(16)式分別計算旋轉因子[0，4]的本地信號和接收信號的相關函數，獲取每個旋轉因子下的相關函數的最大峰值，計算旋轉因子除0和4外的最大峰值所在的位置。

={[((()),
((WFRFT{(),})))]}

(16)

式中：為最大峰值位置；(·)為最大值所在位置；(·)為取最大值；()為接收信號；(·)為取共軛；為接收方本地信號的旋轉因子值。

由于WFRFT具有周期性，通過最大值所在位置與已知旋轉因子可有效估計未知的旋轉因子值，待估計的旋轉因子與最大值所在的位置如(17)式所示。

(17)

基于循環相關的旋轉因子估計原理如圖5所示，旋轉因子的估計過程可分為以下4個步驟：

圖5 基于循環相關的旋轉因子估計原理框圖Fig.5 Estimation functional block diagram of cyclic correlation

求點輸入信號的FFT和本地信號的FFT。

求輸入信號FFT和本地信號FFT共軛的乘積，并求乘積的IFFT。

求每個旋轉因子下的相關函數的最大峰值，求旋轉因子除0和4外的最大峰值所在的位置。

根據峰值最大位置估計出旋轉因子。

4 仿真與分析

為驗證提出方法的可行性和正確性，用MATLAB軟件對WFRFT信號旋轉因子估計性能進行驗證與分析。具體仿真參數如下：調制方式為QPSK，載波振幅1 V；載波頻率51.25 MHz；采樣頻率1.025 GHz；信息碼周期200 ns；初始旋轉因子為0.3；信道為高斯白噪聲信道。

首先，對利用相關性估計WFRFT信號旋轉因子的可行性進行仿真驗證，歸一化相關值結果如圖6所示。

圖6 不同旋轉因子WFRFT歸一化相關值Fig.6 Normalized correlation value of different rotation factors of weighted fractional fourier transform

由圖6可見，WFRFT信號的相關函數出現了3個峰值，分別是在旋轉因子為0、2、4處。這是因為WFRFT信號具有周期性，即對WFRFT信號再次進行WFRFT的信號仍為WFRFT，且信號的相關性不受影響。除去自相關函數出現峰值外，當本地的旋轉因子與接收信號的旋轉因子相同時，同樣會出現峰值。根據WFRFT的周期性，[1，3]和[3，5]的自相關峰值相同，即WFRFT進行循環相關后同樣呈現周期性的變化規律，且變化周期為2，上述歸一化自相關峰值搜索范圍可進一步優化為[1，3]，此區間內有且只有1個峰值。

采用循環相關計算旋轉因子[1，3]的相關函數的最大峰值，最大峰值所在的位置如圖7所示。由圖7中可知，在不同旋轉因子下，循環相關法相關最大值所在的位置呈分段式周期性變化規律，且最大值所在的位置與已知的旋轉因子有關系。在旋轉因子為[0，1.7)的區間內，最大值所在的位置在區間[0，34)上直線下降；在旋轉因子為[1.7，3.7)的區間內，最大值所在的位置在區間[0，38)上直線下降；在旋轉因子為[3.7，4]的區間內，最大值所在的位置在區間[34，38]上直線下降。

圖7 循環相關法相關最大值所在位置圖Fig.7 Position of the maximum correlation value of cyclic correlation

圖8 線性相關和循環相關法旋轉因子估計準確率對比Fig.8 Comparison of rotation factor estimation accuracy between linear correlation and cyclic correlation

由圖8可知：當信噪比大于22 dB時，WFRFT的相關性受到噪聲的影響小，相關峰值容易被捕獲，此時循環相關法估計的旋轉因子準確率接近100%；隨著信噪比的減小，當信噪比小于22 dB時，WFRFT的相關性受到噪聲的影響變大，WFRFT的相關峰值被淹沒在噪聲中，此時循環相關法估計的旋轉因子準確率開始下降。

圖9 線性相關和循環相關法運算時間對比Fig.9 Comparison of computation time for linear correlation and cyclic correlation

不同信號處理長度下，信噪比為10 dB，線性相關法和循環相關法計算時間對比結果如圖9所示。由圖9可知，當信號處理長度大于64時，由于所需的乘法運算復雜度越低，循環相關相比于傳統線性相關的計算時間優勢較大。但信號處理長度的增加會增大硬件設計的要求，此時需要根據WFRFT信號的特性，采用如均值法和分塊搜索法的處理手段和方法，并通過合理地設置每一次循環相關的長度，優化循環相關的結果。

為驗證不同采樣時間下基于循環相關法的旋轉因子估計性能，信號處理長度分別為512、1 024和2 048個采樣點的估計準確率對比結果如圖10所示。由圖10可知，基于循環相關的加權分數階傅里葉變換信號旋轉因子估計性能與信噪比和采樣長度均有關，采樣長度越大算法的估計性能越好。這是由于采樣長度越大，處理數據點數越多，WFRFT信號的自相關性越好。因此在實際的參數估計過程中應在處理能力范圍內，盡可能增大采樣長度來提高估計性能。

圖10 循環相關不同采樣長度估計準確率對比Fig.10 Estimation accuracy comparison of the cyclic correlation at different sampling lengths

為進一步驗證不同待估旋轉因子的循環相關法估計性能，圖11給出了信號處理長度為512個采樣點，待估旋轉因子分別為0.1、0.3和0.5在10～30 dB條件下的旋轉因子估計準確率變化曲線。由圖11可以看出，不同旋轉因子下的估計性能相當，表明循環相關的估計方法與參數選取無關，可以適用于不同旋轉因子參數下的WFRFT信號。

圖11 循環相關不同旋轉因子估計準確率對比Fig.11 Estimation accuracy comparison of rotation factors of cyclic correlation under different rotation factors

為進一步驗證本文提出的旋轉因子估計性能，圖12給出了信號處理長度為512個采樣點，循環相關法和文獻[5]中的高階累積量法()在10～30 dB條件下的旋轉因子估計準確率變化曲線。由圖12可以看出，本文方法的估計準確率優于文獻[5]中的高階累積量方法，尤其在信噪比為10～15 dB的條件下；高階累積量法中信噪比需24 dB才可達到100%的估計準確率，相對于高階累計量法，在估計準確率為100%時可提高2 dB的估計性能。

圖12 循環相關和高階累積量旋轉因子估計準確率對比Fig.12 Estimation accuracy comparison of rotation factors of cyclic correlation and higher order cumulates (HOC)

5 結論

1)在分析WFRFT信號及其特性的基礎上，通過統計分析不同旋轉因子歸一化相關值的峰值及其位置，實現WFRFT信號的旋轉因子估計。為縮短參數估計的時間，利用循環相關代替傳統線性相關，采用圓周相關中快速FFT算法降低乘法運算的復雜度，提出了一種基于循環相關的WFRFT信號旋轉因子估計方法。通過設置合理仿真參數，在不同參數條件下進行參數估計性能的驗證。

2)仿真結果表明，基于循環相關的參數估計方法可有效地估計WFRFT信號旋轉因子，且有效縮短旋轉因子估計的時間，為WFRFT通信對抗提供重要的依據。

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