探索流體
——記清華大學丘成桐數學中心博士羅天文

本刊記者 杜月嬌

專家簡介：

羅天文，清華大學數學中心講師，清華大學丘成桐數學科學中心助理教授。2010年畢業于中山大學數學與應用數學專業，獲學士學位；后畢業于香港中文大學，分別獲數學碩士與博士學位。主要研究領域為偏微分方程，自2011年起一直從事歐拉方程弱解的唯一性相關問題的研究，主要的研究成果包含三個方面：歐拉方程具有結構的“wild solution”的存在性、帶有穩定效應（如阻尼、旋轉力等)的可容許解的不唯一性以及部分粘性下弱解的存在性。同時，羅天文注重學術交流與合作，與國內的多位專家學者保持緊密的交流與合作關系。

19世紀，麥克斯韋從數學上論證了電磁波，其后赫茲才有可能做發射電磁波的實驗，接著，手機誕生了。20世紀，愛因斯坦相對論從數學上論證了原子反應將釋放出巨大的能量，到今天，原子能已經成為發達國家電力能源的主要組成部分。21世紀，電腦成為人類生活必需品，在這一重大科學技術的創造和推進過程中，數學一直發揮著“引擎作用”。

可以說，數學是科學進步的基石。

在清華大學丘成桐數學中心，一位年輕的科研工作者正坐在辦公桌前，思考著偏微分方程的問題。自2015年從香港中文大學畢業，他在這里已經工作兩年的時間了，他的名字叫羅天文。

斬獲“金獎”

2013年，羅天文站在了“新世界數學獎”領獎臺上，被授予了碩士金獎，獲獎論文的內容主要是圍繞非唯一解展開的?！凹僭O流體不粘稠，那么，我們可以依據該方程計算出相關的情況。但若它是粘稠的，我們就不能直接應用這個公式了。”羅天文在導師辛周平教授的指導下，受De Lellis,Szekelyhidi等人的開創性工作啟發，考慮了歐拉方程弱解在帶邊區域下的唯一性問題，得到了否定的回答。

該成果有何實際意義呢？要了解這個問題，就要先認識湍流。湍流是流體的一種流動狀態，當流體流速增加到很大時，流線不再清楚可辨，流場中有許多小漩渦，層流被破壞，相鄰流層間不但有滑動，還有混合。這時的流體作不規則運動，有垂直于流管軸線方向的分速度產生，這種運動稱為湍流。“一直以來，沒有特別好的方法可以解釋湍流現象，我們的工作希望能增進 對湍流的理解。”羅天文說。

羅天文是一位年輕的科研者，可對于他來說，數學已經是一位“老友”了。讓我們把時間拉回到2006年，這一年，羅天文進入中山大學數學系學習，在這所由國父孫中山于1924年創建的校園中，隨著學習的深入，他對數學愈發有了興趣，“數學是深邃的，當你不了解它時，也許并不知道它的美麗，而一旦與它相處一段時間，你就必定會感受到它的魅力所在?！?010年，被數學吸引的羅天文考入香港中文大學繼續深造，師從辛周平，在老師的帶領下，他走進了偏微分方程的世界。

如果一個微分方程中出現的未知函數只含一個自變量，這個方程叫做常微分方程，也簡稱微分方程；如果未知函數和幾個變量有關，而且方程中出現未知函數對幾個變量的導數，那么這種微分方程就是偏微分方程。

偏微分方程的解一般有無窮多個，當我們想解決具體的物理問題的時候，就需要從中選取所需要的解，而要做到這一點，我們就必須知道附加條件，例如物體的初始條件和邊界條件?！芭e個例子，對于一個弦樂器來說，如果一種是以撥片撥動弦，另一種是以弓在弦上拉動，那么它們發出的聲音是不同的。原因就是由于‘撥動’和‘拉動’的那個初始時刻的振動情況不同，因此產生后來的振動情況也就不同?！蓖ㄟ^5年時間的學習，羅天文在偏微分領域逐漸扎下了根，在這同時，他在科研項目的開展方面，也積累了一定的經驗。

2015年，羅天文博士畢業后，來到清華大學丘成桐數學中心工作，在偏微分方程方面，這里擁有一批著名的數學家和優秀的年輕學者，對于羅天文來說，丘成桐數學中心再合適不過了，在這里，他踏上了新的征程。

深化歐拉方程

歐拉方程是偏微分方程領域的中心問題之一，吸引了Euler、Riemann等一大批數學家對其進行深入的研究，國內學者如李大潛、陳恕行、肖玲等也對其進行了大量深入的研究工作。該問題的研究成果，對數學學科特別是偏微分方程理論的發展起了極大的推動作用，同時對科學計算、航空航天等領域的發展也提供了理論指導和幫助，具有廣泛的應用前景。可壓縮歐拉方程組是歐拉方程的一個重要內容，是最典型的一類非線性雙曲守恒律系統，由質量、動量、能量三大守恒律構成，它刻畫了理想狀態下流體的演化，描述了眾多重要的物理現象。

但是至今為止，人類對于可壓縮歐拉方程組的了解是還是有限的，在此方面，我們還有許多工作要做。舉例來說，因“wildsolution”的存在，可壓縮歐拉方程組的滿足熵不等式的弱解沒有唯一性，為了排除無物理意義的多解，我們需要尋找合適的函數空間與可容許條件?！巴瑫r，可壓縮歐拉方程組的Holder連續解的構造需要進一步發展凸積分方法，這是因為弱解精細結構的研究涉及幾何測度論與凸積分的結合，而且若想證明弱解在合適可容許條件下的唯一性，我們還需要對高維歐拉方程的弱解有新的理解。這些問題都兼具數學價值與挑戰性，值得進行深入的研究。”為了加深對歐拉方程的探索，2017年年初，羅天文開展了國家基金項目“可壓縮歐拉方程組弱解的一些研究”。

在羅天文看來，歐拉方程可容許弱解的范圍問題，和弱解的合適函數空間與可容許條件問題是有關聯的，“兩個問題中，若能成功推進一個，那么勢必會有助于另一個的解決。具體來說，我將圍繞可壓縮歐拉方程組滿足分片Holder連續條件的弱解、歐拉方程弱解的精細結構、歐拉方程的弱解在附加可容許條件下的唯一性這三大相關主題進行研究。”

從現在來看，有關壓縮歐拉方程Holder連續的弱解的研究，主要集中在其構造依賴于的一類特殊的穩態解，即Beltrami流的結構。而對于可壓縮歐拉流是否存在類比Beltrami流的構造，流的可壓縮性將起何種作用，凸積分的構造與激波、稀疏波、接觸間斷等有怎樣的相互作用與關系這些問題，現在都沒有答案。

要突破現在的瓶頸，羅天文認為可以從凸積分的技術角度出發，找到一族合適的波作為基本的構造，使得其相互作用是可控制的，從而得到振幅、頻率與逼近誤差的有效估計，建立逼近格式，通過迭代收斂到Holder連續空間中的弱解。而對可壓縮歐拉方程組弱解結構的研究，羅天文現在暫處于初步階段?！皩ν狗e分方法構造的“wild solution”，我們期望從幾何測度論的角度，建立逼近解迭代序列的估計，從而得到其幾何、測度等方面的性質?！彼P算著說。在高維歐拉方程的弱解方面，羅天文設計的方案是先分析滿足更好正則性條件的弱解，如變差有界條件等。“在這之后，我們進一步結合弱解的奇性結構分析，探尋合適的可容許條件，排除非物理解的出現。”羅天文說。

對于中國，現在是一個創新的時代，數學是科學界的無冕之王，是推動科學創新發展的重要力量，在數學的研究道路上，羅天文將會一直走下去，助力科學創新更上一階！