序列一階自相關對MK突變檢驗影響的探討

王建新,王 健(山東理工大學 數學與統計學院,山東 淄博 255049)

時間序列的突變檢驗在生活中很多領域有著重要的應用，例如水文氣象序列的突變時間研究.隨著全球氣候的變化威脅著人類的生活環境，關于水文氣象序列的研究越來越重要.非參數統計方法要求的假定條件較少，運算比較簡單，更容易使研究者理解應用推廣.因此，研究非參數統計檢驗方法有重要的意義.目前關于突變檢驗的非參數統計方法有很多，如Mann-Kendall法，pettitt 法，Reverse Spearman’s rho test ,pettitt 法，WMW法等. 眾所周知，非參數秩檢驗受原始數據是否存在自相關的先驗假設條件限制，但高階自相關遠遠小于一階自相關帶來的誤差可以忽略.許多學者也認識到非參數統計法方法會受到一些序列自身性質的影響，而傾向研究小波理論等引入的新方法.[1-3]本文將通過蒙特卡洛模擬的方法驗證剖析不同一階自相關系數的存在對Mann-Kendall突變檢驗產生的具體差異影響，從而對其進行修正,并探討不同樣本空間所帶來的的突變次數的改變.為檢驗相關問題提供更加簡單可行的分析方法及運算步驟.

1 Mann-Kendall 突變檢驗

設時間序列{Xt},觀察值序列{xt,t=1,2,...,n}.構造秩序列

其中

在時間序列隨機獨立的假定下，定義統計量：

(k=1,2,...,n)

其中UF1=0，當x1,x2,...,xn相互獨立，且連續同分布，

UFk是按時間序列x順序x1,x2,...,xn計算出來的統計量序列.按時間序列x逆序xn,xn-1,...,x1,再重復上述過程，然后使計算值乘上-1，即可得到UBk序列.分別繪制UFk和UBk曲線圖，如果UFk和UBk曲線交點在置信線之間，那么交點對應的時刻便是突變開始的時間.

2 AR(1)過程的影響

2.1 模擬條件

為了驗證存在一階自相關對于Mann-Kendall 突變檢驗方法產生的影響，將利用蒙特卡洛模擬實驗對于不同一階自相關系數ρ1的序列進行分析[4-5].設

Xt=μX+ρ1(Xt-1-μX)+εt

(1)

(2)

2.2 模擬結果及分析

蒙特卡洛模擬如圖1、圖2所示.

圖1 正相關AR(1)影響結果Fig. 1 Effect of positive serial correlation

圖2 負相關AR(1)影響結果Fig. 2 Effect of negative serial correlation

通過圖1和圖2可以看出，當時間序列存在正相關AR(1)過程時，隨著正相關系數的不斷增加，檢驗出突變次數呈明顯的逐漸下降趨勢.另外，隨著樣本空間的增大，檢驗出突變點的概率均隨著增高，這符合現實的認知.當時間序列存在負相關AR(1)過程時，隨著負相關強度的增加，檢驗出突變次數和正相關情況相反呈逐漸上升的趨勢.通過對比不難發現，存在負相關AR(1)過程的樣本要比存在正相關AR(1)過程的樣本檢驗出突變的次數的概率均有所增加.因此，通過模擬實驗不難發現如果時間序列存在自相關性對Mann-Kendall 突變檢驗方法將產生較大的影響，消除時間序列的自相關性在進行突變檢驗可能會產生更加精確的結果.

下面利用Pre-whitening法對蒙特卡洛模擬產生的時間序列進行預處理，然后再進行模擬實驗.

3 Pre-whitening 處理

Pre-whitening法[6]是von Storch 提出，并被Yue S等人用于減少AR(1)過程對于MK檢驗趨勢分析產生的影響中，下面驗證其在處理突變檢驗中的效果.樣本序列可以通過公式進行Pre-whitening處理：

Yt=Xt-ρ1Xt-1

然后對新的時間序列{Yt}進行蒙特卡洛模擬.

圖3 Pre-whitening 修正Fig. 3 Modified by Pre-whitening

從圖3可以看出，運用Pre-whitening 處理后的時間序列再進行蒙特卡洛模擬的Mann-Kendall突變檢驗已經去除了不同自相關系數對于突變檢驗的影響，各個樣本空間的模擬實驗結果均和自相關系數等于0時保持在幾乎同一水平.說明Pre-whitening 處理對于Mann-Kendall突變檢驗也是一種有效的方法.

4 實例分析

以全國1949-2008年洪災數據為例，利用非參數統計檢驗方法Mann-Kendall突變檢驗進行修正前后分析結果的分析對比.首先，判斷洪災數據是否存在一階自相關性.

表1 一階自相關系數顯著性檢驗
Tab.1 The test of significance of lag-1 serial correlation coefficient

參數估計標準誤差t值近似Pr>|t|滯后MU9763．1994．855099．81<．00010AR1，10．401250．120303．340．00151

通過利用SAS軟件進行條件最小二乘估計(見表1).可以看出一階自相關系數0.40125，并且系數的t檢驗p值小于0.01，說明該序列具有較強的一階自相關性，系數顯著非零，該數據具有一定的討論意義.利用Pre-whitening 處理洪災數據，消除一階自相關對數據檢驗的影響.

圖4 全國1949—2008年洪災數據Pre-whitening 處理前、后折線對比圖Fig. 4 Line chart of flood data before and after Pre-whitenhg from 1949 to 2008 in China

利用pre-whitening 處理全國洪災數據后，消除了數據本身存在的一階自相關性.通過圖4的折線圖對比可以看出，數據處理前后波動起伏變化非常小，沒有改變原始數據的核心信息.同時更好的滿足了利用非參數秩檢驗方法所受到原始數據是否存在自相關的先驗假設條件.

圖5 全國1949-2008洪災數據Pre-whitening 處理前、后MK突變檢驗對比圖Fig. 5 Line chart of the MK test based on the flood data before and after Pre-whitenhg from 1949 to 2008 in China

Mann-Kendall突變檢驗，如果UFk和UBk曲線交點在置信線之間，那么交點對應的時刻便是突變開始的時間.從圖5可以看出全國1949-2008洪災數據Pre-whitening 處理前后的Mann-Kendall突變檢驗結果有所差異.因已算出原始數據一階自相關系數ρ1=0.401 25，觀察第三節中所做的不同一階自相關系數在不同樣本空間下對Mann-Kendall突變檢驗產生影響的分析結果，可以看出存在ρ1=0.4的不同樣本空間下均會產生突變次數少許降低的影響. 對圖5分析可以看出數據處理前Mann-Kendall突變檢驗只檢驗出1980年左右一次明顯的突變，但數據處理后發現在原有的突變點外還有較小的波動，這對分析數據即會產生影響.同時將隨著一階自相關系數的增加以及樣本量的變化產生更大的影響，更對剖析突變的成因，突變開始的時間點及突變的發展趨勢等產生干擾，因而不容忽視. 通過修正的Mann-Kendall突變檢驗可以看出1980年前后發生了2次突變，其中1980年左右發生的突變最為顯著，使全國洪災受災面積呈上升的趨勢.不難發現靠前的一次突變可能是1980年突變產生的根源所在，值得引起我們的深入分析. 因此通過Pre-whitening 處理后的Mann-Kendall突變檢驗方法對進一步分析全國洪水災害變化的趨勢以及產生的原因可以做出更加精確的解釋.

5 結束語

通過蒙特卡洛模擬實驗可以看出，存在AR(1)過程的時間序列，在進行Mann-Kendall突變檢驗時會對檢驗的結果產生影響.并且不同的自相關系數對分析結果影響程度不同，可以分別從正負自相關系數來解釋.因此，在利用Mann-Kendall突變檢驗方法檢驗時間序列的實際應用中，應先判斷時間序列是否存在自相關性.本文利用蒙特卡洛模擬實驗驗證了Pre-whitening 處理方法在Mann-Kendall突變檢驗時間序列中修正的可行性.另外，通過實驗不難看出，當一階自相關系數ρ1≥0.2時，即將對Mann-Kendall突變檢驗結果產生不可忽視的誤差.同時，當樣本量n≥100，一階自相關系數-0.1<ρ1<0.1時，為了計算簡便可以忽略其誤差.當一階自相關系數ρ1≤-0.2時，Mann-Kendall突變檢驗結果也產生不可忽視的誤差. Mann-Kendall突變檢驗方法適用于多類時間序列的突變檢驗，可以推廣到其他水文氣象領域或金融等領域的應用問題中，具有重要的研究及應用價值.

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