基于Inventor的多次曲線創(chuàng)建及其在葉片泵設計中的應用

謝紅太，黨小剛(西安鐵路局 西安動車段，陜西 西安 710016)

計算機輔助設計技術中，準確快速地描述空間多次曲線顯得極為重要.目前，普遍采用通過XYZ坐標點構建或通過可視化語言VBA等編程控制構建多次復雜曲線.Autodesk Inventor是一款面向機械設計的三維設計軟件，它融合了當前CAD所采用的最新技術，具有強大的參數(shù)實體造型能力，智能的幫助系統(tǒng)，簡單而直觀的設計環(huán)境，快速裝配顯示，自適應裝配系統(tǒng)以及輔助協(xié)作設計等優(yōu)點，尤其在高次空間曲線和空間曲面的智能化參數(shù)化設計以及現(xiàn)代機械加工及模擬仿真分析方面[1-3]更為準確便捷.

以SolidWorks軟件輔助設計為例，其對復雜高次特殊曲線的建模只能依靠笛卡爾坐標系中參數(shù)繁多的直角坐標方程進行搭建，本文以其他三維軟件中實現(xiàn)較困難的雙作用葉片泵定子內高次曲線為基礎[4-5]，展開對Inventor表達式曲線的再運用及優(yōu)勢說明.

1 高次曲線在Inventor中的創(chuàng)建方法

1.1 建立高次函數(shù)模型

在工業(yè)制造領域中，對于一些加工表面形位精度要求較為嚴格的使用場合，多采用高次曲線控制構建外表面的形式以滿足其相關的機械精度要求和運行穩(wěn)定性及平穩(wěn)性要求.例如，雙作用葉片泵葉片與定子內六次曲線配合時可使其葉片受力狀況最佳，航天飛行器的渦輪葉片設計等都大多采用性能較高的多次曲線.

高次方程也稱為整式方程，其一般形式為：y=kxm,(m≥2)，其中x為自變量，y為因變量，k為系數(shù)，m為冪級數(shù).在包含有兩個變量x，y的二維直角坐標系中所取點描繪出的圖形即此高次方程所對應的高次曲線.本文首先以二次函數(shù)曲線為例對Inventor中二維曲線創(chuàng)建的兩種方法進行探究，令二次函數(shù)：fx=0.1x2+0.1x-2 .

1.2 利用樣條曲線對二次離散點進行擬合

1)在Excel中列舉計算有限二維離散點

在此利用Microsoft Office Excel對如上fx二次函數(shù)曲線進行區(qū)間內的離散點確定.在Excel表格中輸入fx對應的兩個關系變量，即自變量x，因變量y，并對自變量x給定一個閉區(qū)間[-10,10]，并分別列出閉區(qū)間中的21個特殊整數(shù)值，在Excel表格相應單元格中編寫fx函數(shù)關系fx=0.1x2+0.1x-2,并將其應用到因變量y所在列中，系統(tǒng)對其進行自動處理列出相應的計算離散數(shù)組，結果見表1.

表1 fx在Excel中x，y所對應的二維坐標點
Tab.1 fxin Excel x, y 2d coordinates of the point

序號123456789101112131415161718192021x-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910fx(y)75．23．62．210-0．8-1．4-1．8-2-2-1．8-1．4-0．8012．23．65．279

2)將二維離散點導入Inventor草圖環(huán)境中

Inventor草圖設計集目標參數(shù)化與變量化設計于一體，整個草圖環(huán)境中功能齊全，能實現(xiàn)智能化約束與驅動.在功能區(qū)中將Excel點插入模塊，設定并調整相應的單位及接口后即可實現(xiàn)Excel表格中所設定的fx函數(shù)所對應的21組二維離散數(shù)組[x,y]的導入，如圖1所示.并對圖中的21個離散點進行鎖定約束，確定其在外界參數(shù)調整下處于草圖xoy坐標系的位置不變.

用Inventor中的樣條曲線擬合fx二次曲線.樣條的概念來源于制圖技術，即讓富有彈性的線條(稱為樣條)通過一組點，得到光滑的曲線.目前使用的樣條曲線主要有二次樣條曲線和三次樣條曲線，其中大多Inventor高版本軟件中的樣條曲線為三次樣條曲線.三次樣條曲線克服了二次樣條曲線的缺點，即最前面的兩個點所對應的線段為直線連接，最后一個曲線區(qū)間的擺動過大；也克服了不常用的高次樣條曲線有時可能會造成的龍格現(xiàn)象.采用樣條曲線進行插值擬合完成的平面fx二次曲線如圖1所示，對其進行長度檢測為l1=29.624mm.

圖1 樣條曲線擬合的fx二次曲線Fig.1 Spline curve fitting fx quadratic curve

1.3 利用表達式創(chuàng)建二次曲線

1)fx表達式的參數(shù)化方程設定

按照如上所述的二次曲線模型fx=0.1x2+0.1x-2，建立Inventor草圖參數(shù)化設計中所特有的t參數(shù)模型，即

(1)

Inventor中特別規(guī)定，曲線的創(chuàng)建必須在某一限定的有限閉區(qū)間之內，即

(2)

2)在Inventor草圖中創(chuàng)建fx二次曲線模型

選擇笛卡爾坐標系，以t作為參變量，x(t)、y(t)為因變量，分別對照設定參函數(shù)的上下閉區(qū)間tmin、tmax，即可完成整個二次曲線的創(chuàng)建，結果如圖2所示.

圖2 Inventor中的表達式曲線fxFig.2 fx expression curve of Inventor

同樣，將該二維曲線轉換到三維xyz空間中，利用長度檢測工具測得曲線長度l2=29.624mm.由上述可知，通過導入Excel參數(shù)表和三次樣條曲線擬合的方式創(chuàng)建的fx二維曲線和直接采用表達式曲線創(chuàng)建的fx二維曲線在閉區(qū)間內的弧長l1=l2=29.624mm，則說明在Inventor表達式曲線的建模機制中正是采用了三次樣條曲線和有限坐標點擬合的方式.

2 模型fx的積分學研究

利用對弧長曲線積分的計算法，設f(x,y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為

(3)

存在，且

由此對上述fx函數(shù)進行在區(qū)間[-10,10]上的曲線積分，從而求出其準確的弧長值l0.在此把x看做y的參變量，利用弧長的曲線積分計算定理，求其弧長l0，即

(4)

有關曲線積分的計算在此不再贅述，分別帶入計算得理論弧長l0≈29.618mm.通過數(shù)學積分對fx二維曲線在閉區(qū)間上的弧長計算得l0≈29.618mm，與通過Inventor創(chuàng)建的fx二維曲線弧長l1=l2=29.624mm的誤差僅為Δ=0.02%，故由Autodesk Inventor 中所提供的創(chuàng)建曲線的這兩種方法，在數(shù)模仿真分析計算中有著一定的現(xiàn)實意義，也為實際設計生產運用提供了一個較為可靠的技術方案.

3 基于Inventor的葉片泵定子內曲線的創(chuàng)建

目前，葉片泵是大功率機械化系統(tǒng)中使用較廣的動力原件之一，定子和葉片作為葉片泵核心受力構件，其內曲線的研究設計有著不言而喻的意義.市場上常見的雙作用葉片泵的定子內曲線形式多為余弦曲線、正弦曲線、 等加速等減速曲線等.近幾年的研究發(fā)現(xiàn)，相比其他形式的曲線，高次內曲線無論在速度、加速度及加速度變化率等液壓系統(tǒng)性能方面更具優(yōu)勢，但其中一個難點就是定子內部特殊高次曲線的數(shù)模創(chuàng)建[6].

3.1 雙作用葉片泵定子內曲線的數(shù)學模型

為了更為直觀地運用Inventor高次曲線的建模機制，在此選擇YB型雙作用葉片泵為雛形，所不同的是定子內曲線不是完整的曲線所直接組成，而是由4段過渡曲線、兩段小圓弧r、兩段大圓弧R連接而成，依據(jù)相關機械制造標準，定子外形為直徑D=φ65mm的普通圓柱面；定子內曲線的小圓弧半徑r=26mm，大圓弧(0°葉片傾角時)半徑R=27.682mm，大圓弧和小圓弧所對應的4段圓弧角均相等且為α=36° ，4段特殊高次曲線所對應的圓弧角為β=54°.

由六次曲線極坐標方程的標準形式ρ(φ)=a0+a1φ+a2φ2+a3φ3+a4φ4+a5φ5+a6φ6及φ=0 ,φ=β兩邊界條件可求出0°葉片傾角時對應六次曲線的極坐標方程

(5)

根據(jù)此邊界條件，依次將r=26mm，R=27.682mm，β=54°，代入推導出0°葉片傾角時六次曲線的極坐標方程，即

(6)

3.2 雙作用葉片泵定子內緣的建模設計

進入Autodesk Inventor草圖設計環(huán)境中，其中fx表達式曲線為用戶提供了兩種曲線設計環(huán)境，即笛卡爾坐標系和極坐標系，針對式(6)所表示的定子內曲線4段特殊六次曲線的極坐標參數(shù)方程，切換到極坐標系狀態(tài)下進行參數(shù)方程的創(chuàng)建.

(7)

系統(tǒng)根據(jù)式(7)所建定子內曲線高次曲線段的極坐標方程，擬合出該曲線如圖3(a)所示.依次創(chuàng)建分別連接于六次曲線段兩側的小圓弧段和大圓弧段，再分別鏡像得到整個定子內曲線模型如圖3(b)所示，然后在Inventor環(huán)境中拉伸葉片泵定子草圖區(qū)域即可完成定子三維模型的創(chuàng)建[7-8].

(a)第一段六次曲線

(b)定子內外曲線生成圖3 定子內曲線模型的創(chuàng)建Fig.3 The creation of stator curve model

上述fx極坐標方程式(6)的創(chuàng)建與Inventor中為用戶提供的fx表達式曲線雙坐標系建模機制相適應，避免了在其他三維軟件中(例如SolidWorks)必須將極坐標參數(shù)方程轉換成直角坐標參數(shù)方程的弊端，而且由于兩坐標系轉換過程中存在正余弦函數(shù)以及無限不循環(huán)數(shù)π的參入，導致建模結果出現(xiàn)或大或小的誤差，影響后續(xù)的研究.

4 結束語

應用Inventor軟件對高次復雜曲線提出兩種不同性質的創(chuàng)建方法，其中基于Microsoft Office Excel的曲線建模機制采用二維及多維數(shù)組點的創(chuàng)建提取，并導入到Inventor草圖環(huán)境中利用樣條曲線進行擬合，得到所需的近似曲線.此方法適合于Excel大數(shù)據(jù)的曲線分析建模處理，沒有確切的函數(shù)關系表達式，較為方便靈活.對于fx表達式曲線的建模機制，采用可視化參數(shù)化的函數(shù)庫作為基礎，能準確識別常用函數(shù)及復雜對應關系式，如Inventor為用戶提供了極坐標和笛卡爾坐標兩種曲線參數(shù)表達形式，其中極坐標參數(shù)方程的表示對工業(yè)生產制造領域中特殊曲面、曲線的準確快速創(chuàng)建有著不可替代的意義.

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