時間序列模型在金沙江干流水沙隨機模擬中的應用

郭 銀，周家俞，李 怡，陳嘉玉，龍天瑋

(1.重慶交通大學 河海學院，重慶 400074；2.重慶交通大學 重慶西科水運工程咨詢中心，重慶 400074)

隨機模擬法是隨機水文學中研究水文變化過程的一個基本方法，它是認識、設計和管理復雜水文水資源系統的主要方式之一[1]。其在水文水利計算[2]、水文預報[3-4]、防洪安全設計、抗旱規劃[5]等領域都有著廣泛的應用。其模擬方法主要是根據水文系統觀測資料的統計特性和隨機變化規律，以短時間序列的有限觀測樣本值為依據，建立水文時間序列模型，從而模擬得到大量的長期水文序列，以便能夠全面地表征水文現象統計變化特性，為水利工程的相關建設提供具有價值的參考。

天然河流中大都挾帶不同數量的泥沙，這些泥沙隨水流不停流動。河流挾帶泥沙會直接影響河床變化，引起水庫、河道、渠道的淤積，給防洪、灌溉、航運帶來困難。因此，在水庫規劃、航道通航設計時必須綜合考慮長期實測水流泥沙因素，了解二者的內在聯系。然而，在實際工程中，比較難以獲得天然河流特定位置處長期水文實測數據，常需要根據有限的短期水文實測資料對該處的水文序列進行長時間的隨機模擬和預測，用以獲取更多水文數據樣本。因此，本文針對上述問題，借助隨機模擬方法建立合理可靠的水文模型，全面表征水文現象統計變化特性。文中基于金沙江中游石鼓水文站22 a的實測流量時間序列，采用水文時間序列組成成分分析方法，結合自回歸模型和水沙聯合隨機模型共同建立了該地區的流量時間序列和水沙相關關系，預測了該處的500 a的流量和含沙量結果，并對預測的流量結果進行誤差分析，以充分驗證本文提出的流量時間序列模型的正確性與合理性。本文計算結果可進一步的為港口、水運工程建設、船舶通航提供安全保障。

1 隨機水文模擬

1.1 時間序列模型

時間序列是指按時間順序排列的、隨時間變化且相互關聯的數據序列。而對水文數據建立相應的時間序列模型則是揭示和認識水文過程長期變化特性的重要途徑[6]。建立此類模型主要是根據原始水文數據的統計特性，從而生成一系列長期水文時間系列。一般來說，水文站提供的實測資料相對較少，不能全面的反映未來長期的水文特征。可以通過借助短期水文資料的統計特性建立相應的隨機模型，生成一個長時間的序列。模擬這一過程的主要方法與步驟如下：

1)對已有的實測資料進行相應的處理。設有季節性水文序列xt,τ(t=1, 2, …,n，n為年數；τ=1, 2, …,m，m為季節數)，該序列存在以年為周期的季節性變化，其統計特征也隨季節而變。通過式(1)消除原始數據在均值和方差上的偏態性和季節性。由于季節性水文時間序列多為偏態的，進行隨機模擬時需考慮這種偏態特性，可通過式(2)進行W-H逆變換得到近似服從于標準正態分布的序列。

(1)

(2)

2)將消除了季節性和經過W-H逆變換的序列zt,τ排成一列zl(l=1, 2, …,s,s=t·τ)，對zl建立自回歸滑動平均模型ARMA(p，q)。

zl=φ1zl-1+φ2zl-2+…+φpzl-p+ε1-θ1εl-1-θ2εl-2-…-θqεl-q

(3)

式中：φ1,φ2,…φp為自回歸系數，p為自回歸階數；θ1,θ2…θq為滑動平均系數，q為滑動平均階數。

3)通過相關時間序列模擬軟件(如ITSM，此軟件可實現單變量、多變量以及平穩、季節性時間序列的快速模擬及預測分析，軟件提供多種可視化窗口，并可方便地輸出模擬數據及圖形)分析計算p和q，使得p，q取某一值時，選擇的模型模擬出的結果與實測結果吻合度較高。

4)對模型的模擬結果進行統計檢驗，模擬序列的參數由矩法估計，并通過式(4)計算最大相對誤差，以檢驗模型的合理性。同時分析隨機模型是否能夠較好地保持了原始流量數據的長期統計特性。

(4)

式中：X模、X實分別表示模擬值和實測值。

5)對建立的周、旬、月或年均模型，需通過解集該類模型形成日均模型從而進行分析計算。解集過程主要按特定關系將總量隨機解集成各分量，且能保持水量平衡和連續分解。典型解集法的思路：先模擬總量，再按照特定原則從實測資料中選擇一種分配系數對模擬總量進行縮放，得到模擬分量序列[1]。

設有實測旬均流量序列xi(i=1, 2, …,n)和對應的逐日流量序列ci,j(i=1, 2, …n,n=36;j=1, 2, …,h,h=8, 10或11)。典型解集模型隨機模擬步驟如下：

ki,j=ci,j/xi

(5)

式中：ki,j為逐日流量分配系數；i為旬序；j為日序。

表1 實測旬、日流量Tab.1 Tested flow of ten-days and daily

1.2 水沙關系

從航道通航水位、碼頭設計水位以及施工水位角度出發，航道含沙量的大小，對河床變形影響較大，而長時段的河床變形可能會對未來長期的水位產生影響。故航道含沙量的確定可為航道的相關建設提供關鍵的技術支撐。利用短期實測流量與含沙量資料，建立水沙相關關系。分別考慮多種函數關系(如線性、冪、指數、多項式關系等)對水沙關系進行擬合，從中挑選出擬合程度最佳的函數關系作為水沙相關關系式，據此計算可得出某工程位置處的上游來沙量，為今后航道通航水位、碼頭設計水位以及施工水位的確定提供重要參考依據。

2 案例分析

2.1 基本概況

石鼓為金沙江干流中游和上游的分界，位于云南省西北部。金沙江流域內地形復雜多變，不同河段氣候特征差異明顯。夏秋季節為降雨汛期，雨量充沛且強度大，占全年總徑流量的比重較大，冬春季節則多干燥少雨。徑流量年內差異較大，具有明顯的季節性，但年際徑流相對較穩定[7]。

本文以石鼓水文站為例，進一步說明隨機水文模擬的應用過程。由于該水文站上游人為開發活動較少，且鮮有水電項目。因此，該水文站的水文資料具有較好的長期平穩性。此外，當基本站資料具有良好的一致性時，應取近期連續資料系列，且取用年限不短于20 a[8-11]。故本文選用了石鼓水文站1991～2012年間共22 a的較為完整的實測逐日流量數據。擬模擬序列的長度為500 a。主要研究思路如圖1所示。

圖1 研究思路Fig.1 Research idea

2.2 模型建立

將實測逐日流量數據整理為旬均流量序列Xt，經標準化和W-H逆變換后得到近似服從于標準正態分布的時間序列Zt。ITSM分析顯示，p=2，q=5的ARMA(2, 5)模型能較好地模擬時間序列Zt，表達式如下：

Zt=0.960 3Zt-1-0.000 3Zt-2+εt-0.226 6εt-1
-0.236 1εt-2-0.091 9εt-3-0.102 9εt-4
+0.006 1εt-5，εt～N(0,0.354 7)

(6)

圖2 50 a旬均流量序列Fig.2 Average flows of 10-days periods sequence of 50 years

2.3 模型檢驗

采用長序法進行統計檢驗。檢驗內容有：

1)旬均流量截口統計參數檢驗：截口統計參數有均值、均方差S、變差系數Cv、偏態系數Cs、滯時為1、2的自相關系數r1、r2，檢驗結果見表2。從表中可以看出模型模擬出的均值、S、Cv、Cs均保持的很好，模擬出的r1、r2也較為理想。

從誤差分析結果可以看出，旬均流量截口統計參數的實測值與隨機模擬結果二者的相對誤差均小于15%，滿足工程設計的誤差范圍，可驗證本文旬均流量時間序列模型的正確性和可靠性。

2)月均流量統計參數檢驗：為進一步驗證模型的實用性，對月均流量統計參數進行了檢驗，檢驗結果見圖2，從圖中不難看出：均值、S、Cv均保持的很好。Cs保持的也較好。

同理，從誤差分析結果可以看出，月均流量截口統計參數均值、S、Cv的實測值與隨機模擬結果二者的相對誤差均小于10%，Cs的實測值與隨機模擬結果二者的相對誤差大部分均小于25%，滿足工程設計的誤差范圍，進一步驗證了本文月均流量時間序列模型的正確性和可靠性。

表2 旬均流量截口統計參數實用性檢驗Tab.2 Practicability validation for various statistical parameters of average flows of 10-days periods

3)時段徑流量統計參數檢驗：本文建立的為旬均模型，1)、2)的檢驗結果已包含有時段徑流量檢驗，故在此不單獨列出檢驗結果。

綜上所述，該模型模擬的旬均流量過程合理，其結果能較好地保持了原始流量數據的長期統計特性，對于將此模型應用在金沙江中游石鼓水文站旬均流量隨機模擬是可行的。

圖3 月均流量統計參數實用性檢驗Fig.3 Practicability validation for statistical parameters of average monthly flows

圖4 模擬日流量與實測日流量結果過程線Fig.4 Results of simulated daily flow and observed daily flow

2.4 模型解集

利用逐日流量分配系數將上述500 a模擬旬均流量解集為日均流量。圖4展示了其中的50 a的模擬值與實測值的對比結果。

從圖中可以看出，通過模型生成旬均流量序列解集得出的日流量過程線與實測日流量過程線吻合度很高。說明經過解集的模擬序列是合理的，很好的保持了實測數據反映出的水文特性。

表3 石鼓水文站各月水沙關系Tab.3 Monthly flow-sediment concentration relationship of Shigu station

注：1. 每年12月至次年3月，含沙量接近為零，因此按規定停測；2. 表中，S為含沙量(kg/m3)，Q為流量(m3/s)。

表4 模擬含沙量與實測含沙量統計結果Tab.4 Statistical results of simulated sediment concentration and observed sediment concentration

2.5 水沙聯合隨機模型

根據石鼓水文站實測逐日流量與含沙量的數據，按月份擬合出相應的水-沙函數關系。分別考慮線性關系、乘冪關系及對數多項式關系對月水沙關系進行擬合，并綜合考慮比較月均含沙量和月總輸沙量，從中挑選出擬合程度最佳的函數關系，見表3。

圖5 模擬含沙量結果過程線Fig.5 Results of simulated daily sediment concentration

根據月水沙關系，能夠利用上述生成的500 a日均流量計算得到對應的500 a逐日含沙量序列。現從中選取50 a序列進行統計對比，以檢驗水沙關系的合理性。表4和圖5展示了選取的50 a逐日含沙量序列和50 a逐日含沙量模擬值與實測值月均含沙量的統計結果對比。

通過水沙關系模擬的結果可以看出，該過程較好地保持了實測數據反應出的水文特性和原始含沙量的長期統計特性。表明對該水文站建立的水沙聯合隨機模型是合理的。

3 結語

通過總結分析得出如下結論：

(1)實例驗證表明，根據時間序列模型和水沙聯合隨機模型模擬的情況能夠較好地反映日均流量和逐日含沙量的變化特征。因而將此方法用于長序列水文資料的模擬是可行的。

(2)ARMA(p，q)模型是一種結構相對簡單、概念清楚的時間序列模型，可用此模型反映日均流量在時序上的水文特征；水沙聯合隨機模型可用來反映流量含沙量間的相關關系。二者模擬的結果對于在水利工程方面的建設有著重要的參考價值。

(3)從港口碼頭、航道的建設和運行的角度出發，由于其水位情況變化復雜，流量、含沙量等水文特征對設計水位、相關工程的規劃影響較大，尤其對于山區河流來說，短期實測資料往往不能夠全面地反映實際情況。借助本文提出的隨機水文模擬的方法可以有效地解決工程設計中水沙實測資料不全的問題。將模型模擬的長序列結果應用到港口航道工程建設中，可以為船舶的航行、靠泊提供安全保障。

因此，本文利用隨機水文模擬的方法來生成長序列的水文資料，不僅可以為水文方面的相關研究提供參考資料，同時還能夠在水利工程建設、防洪、抗旱等方面提供強有力的技術支撐。

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