形異法相同，同源構法成

郝敬軍

[摘 要] 對于不同類型的考題，有時可以采用相同的思路來求解，該類考題稱之為解法同源考題. 該類考題的出現，極大地拓展了解題方法，有助于解題思路的關聯性建構，對提高解題效率有一定的幫助.

[關鍵詞] 同源；面積；性質；割補法；幾何

考題2 （2018年甘肅張掖中考）如圖6，已知二次函數y=ax2+2x+c的圖像經過點C（0，3），與x軸分別交于點A和點B（3，0），其中點P是直線BC上方拋物線上一動點.

（1）試求二次函數y=ax2+2x+c的表達式.

（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸翻折，得到四邊形POP′C，如果四邊形POP′C為菱形，請求出此時點P的坐標.

（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ACPB的面積可以取得最大？請求出此時點P的坐標以及四邊形ACPB面積的最大值.

思路突破 本題為典型的函數綜合題，涉及拋物線和直線，第（1）（2）問分析略，下面主要探討第（3）問的求解策略.

難點分析 對于第（3）問，從問題形式來看，求四邊形ACPB的面積過程中，存在三大難點，一是題目為最值問題，隨著點P的移動，四邊形ACPB的形狀必然發生變化，如何定量分析有待研究；二是四邊形ACPB為不規則圖形，如何利用已有知識建立面積求解模型有待討論；三是題干信息僅給出了函數的解析式，沒有具體的線段長，如何利用轉換條件獲得相應的線段長需要進一步討論.

思路構建 研究面積的最值，可以嘗試設出點P的坐標，使其變為相對意義上的靜止點，則可以建構特定條件下的四邊形面積模型. 四邊形ACPB為不規則圖形，可以嘗試采用分割法，將其轉化為幾個規則的基本圖形的組合，則不規則圖形的面積就可以通過分別求解規則圖形的面積來求解. 線段的長度可以通過兩點之間的坐標來獲得，因此可以將求線段長度的問題轉化為求關鍵點的坐標，求點的坐標可以結合函數解析式來獲得. 最后，可以建立關于點P坐標參數的面積函數式，通過研究點P的軌跡參數來完成最值求解.

考題1和考題2的第（3）問都是求幾何圖形的面積，只是問題的研究背景不同. 考題1直接給出了幾何元素的相關信息，包括角、邊的大小以及相關幾何性質，是幾何動點下的面積分析問題；而考題2給出了函數的解析式和相關點的坐標，是函數圖像中的幾何問題，屬于解析幾何. 雖然兩者的問題形式不同，但考慮到解析幾何是函數與幾何的綜合，因此實質上都是對幾何的拓展研究. 上述解題策略在思想方法和構建思路上存在一些相同之處，具體如下.

對于思想方法，考題所涉及的四邊形均為不規則四邊形，利用已有的圖形面積求解方法無法直接完成，因此基于構造思想采用面積的割補法是最為有效的方式. 該解題思想方法在考題1、考題2中均有充分的體現，它們均是通過添加輔助線的方式，將四邊形分割成幾部分，構造出幾個常見的基本圖形，利用其面積公式來求解. 需要注意的是，不同的分割方式所構造的基本圖形不相同，面積求解的難易程度也有差異，最為簡潔的方式是根據題目所給條件進行圖形構造，如考題1的純幾何問題直接利用已知的線段長，考題2則盡量將已知點作為所構圖形的頂點，這是構造思想的具體使用細節，合理構造可以簡化求解.

對于思路構建，利用面積割補法是構建求解幾何模型的總體思想，而如何建立已知條件與目標問題的關系是求解的具體思路. 考題1基于三角形的面積公式，利用幾何性質來探究面積求解的關鍵線段長，采用的是“公式→線段→幾何性質”的思路探尋模式，這是由所給條件——幾何性質所決定的；考題2同樣基于圖形面積公式，進行了所需線段長度的思路構建，采用的是“公式→線段→函數性質”的思路探尋模式，都是由問題目標展開的思路構建. 考慮到點坐標與線段之間的聯系，及幾何與代數之間的不可分割聯系，問題的構建思路均是以定理、公式為出發點，建立必要條件與性質之間的聯系，這是兩道考題構建思路的同源所在.

考題求解的學習思考

1. 重視考題解法，透析問題結構

上述考題屬于不同知識領域的“形異法同”的關聯題，雖然問題的形式、題干信息條件有較大的差異，但由于均是對不規則面積的求解，因此在解題策略上存在同源性. 對考題進行總結歸納，不能只局限于同類型的考題，也應重視對相同解題策略的考題整理，尤其是具有相同思想方法的考題. 深入探析解法上的“同”與“不同”，不僅可以豐富解題方法，在解法歸納的過程中還可以拓展解題思路，促進思維的活躍性. 另外，關注同源考題的命題結構，反思問題求解時的轉化策略，充分理解命題人由條件構建問題的基本框架，真正理解解法一致性的根源，是解題的核心.

2. 提煉問題條件，總結重點知識

解后反思是對問題求解進行信息提煉，包括問題的條件、出題形式、求解涉及的基礎知識，如上述考題1給出圖形的基本性質來求解圖形的面積，涉及菱形、三角形的性質，求解時利用了面積公式、勾股定理、分割方法等. 對問題信息進行總結，有助于后續知識的學習，結合考題，可以深入理解涉及的知識內容，積累知識運用的經驗，達到融會貫通的效果. 同時，在知識整理的過程中，可以進一步把握知識之間的聯系，構建知識的解題框架，這樣有助于解題策略的形成. 解后反思實際上是知識的內化過程，是知識與能力強化、提升的過程.

寫在最后

解法同源是較為特殊的一類關聯考題，解題過程中用到的思想方法、構建思路具有潛在的研究價值，尤其是在命題形式多樣化的中考中，局限于表象問題是難以提升解題能力的. 深刻挖掘解題思路的構建策略、思想方法，有助于擺脫考題的束縛，真正理解問題的精髓，獲得思想層面的能力提升.