步進(jìn)電機(jī)基于專家PID的轉(zhuǎn)速控制

彭 翾，孟 婥，孫以澤

（東華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201620）

步進(jìn)電機(jī)作為一種典型的機(jī)電控制一體化元件組件，它將電脈沖信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)榻俏灰苹蛘咧本€位移。步進(jìn)電機(jī)的脈沖頻率與轉(zhuǎn)速的特性使其與開環(huán)控制系統(tǒng)能很好地結(jié)合，故而在工業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。隨著步進(jìn)電機(jī)的發(fā)展，它的控制策略也在不斷地發(fā)生變化，這些控制算法有PID控制、模糊控制、智能控制、自適應(yīng)控制等。智能控制和矢量控制應(yīng)用于較為復(fù)雜的控制，控制精確、高效，但是成本較高，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求也比較高。一般不太復(fù)雜的系統(tǒng)主要采用PID控制、自適應(yīng)控制，但是自適應(yīng)控制需要與其他控制方式結(jié)合才可以使性能最大化，PID控制可以與其他任何控制方式配合，充分發(fā)揮雙方的效果，但是由于其參數(shù)的不確定性使其對(duì)電機(jī)控制有一定局限性[1-2]。

本文以控制步進(jìn)電機(jī)系統(tǒng)速度為目的，把PID控制和現(xiàn)代控制有機(jī)結(jié)合，構(gòu)建一般情況下適合于步進(jìn)電機(jī)控制要求的專家PID控制算法，基于24HD320D8這款步進(jìn)電機(jī)，設(shè)計(jì)了2條專家規(guī)則調(diào)整PID算法參數(shù)，給出一種專家PID控制器，通過仿真說明本算法對(duì)步進(jìn)電機(jī)速度的控制作用。

1 步進(jìn)電機(jī)專家PID算法

1.1 建立步進(jìn)電機(jī)數(shù)學(xué)模型

實(shí)現(xiàn)步進(jìn)電機(jī)的研究和控制需要建立它的數(shù)學(xué)模型，如圖1所示為步進(jìn)電機(jī)數(shù)學(xué)模型。步進(jìn)電機(jī)涉及電氣和機(jī)械2個(gè)部分，以這2個(gè)部分建立其數(shù)學(xué)模型，其中假設(shè)電氣部分的磁路不飽和且線性化，將其等效為具有混合式步進(jìn)電機(jī)拓?fù)涮匦缘碾娐罚粰C(jī)械部分由阻尼系數(shù)和慣性力矩的狀態(tài)矢量模型來描述。

圖1 步進(jìn)電機(jī)數(shù)學(xué)模型Fig.1 Model of stepping motor

依據(jù)圖1步進(jìn)電機(jī)模型建立兩相混合式步進(jìn)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型。考慮繞組電氣部分的影響，步進(jìn)電機(jī)在工作時(shí)會(huì)產(chǎn)生反電動(dòng)勢，步進(jìn)電機(jī)繞組的反電動(dòng)勢與轉(zhuǎn)子角速度、轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的磁場和定子繞組的匝數(shù)有關(guān)，忽略匝數(shù)的影響，磁場的大小可以反應(yīng)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生扭矩的大小，根據(jù)磁路的法拉第電磁感應(yīng)定律得出混合式步進(jìn)電機(jī)A、B相反電動(dòng)勢為

式中：Km為電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)；θ為轉(zhuǎn)子的機(jī)械角度；ω為轉(zhuǎn)子角速度；Zr為每一個(gè)轉(zhuǎn)子級(jí)齒數(shù)。

繞組A、B的電阻和自感相同，忽略高次諧波，根據(jù)歐姆定律得出A、B相電壓為

式中：R為A、B兩相電阻；L為A、B的自感；iA和iB分別為電機(jī)兩相電流；LM為電機(jī)相繞組之間的互感；分別為A、B相電流的變化率。

假設(shè)電機(jī)轉(zhuǎn)矩恒定，電機(jī)轉(zhuǎn)矩對(duì)于電機(jī)內(nèi)部表現(xiàn)為A、B相電磁轉(zhuǎn)矩相加再減去電機(jī)本身的定位轉(zhuǎn)矩，即

式中：Te為電機(jī)轉(zhuǎn)矩即電機(jī)內(nèi)部輸出的轉(zhuǎn)矩。

根據(jù)物理學(xué)公式得出電動(dòng)機(jī)與負(fù)載之間的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B為制動(dòng)阻尼常量；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

將式（1）～式（5）代入式（6），可得

步進(jìn)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型比較復(fù)雜，涉及參數(shù)眾多，根據(jù)所需要研究的對(duì)象不同可以得到不同的傳遞函數(shù)[3]。給步進(jìn)電機(jī)輸入脈沖信號(hào)使其執(zhí)行相應(yīng)的工作，假設(shè)希望步進(jìn)電機(jī)轉(zhuǎn)過角度θ1，但是它卻轉(zhuǎn)過了θ2，則可知步進(jìn)電機(jī)的傳遞函數(shù)為

假設(shè)步進(jìn)電機(jī)單相勵(lì)磁，無負(fù)載，由式（3）、式（4）、式（6）可得步進(jìn)電機(jī)運(yùn)動(dòng)方程為

假設(shè)轉(zhuǎn)子達(dá)到平衡位置時(shí)θ˙＝0，轉(zhuǎn)子由于慣性產(chǎn)生了細(xì)微的振蕩為單相勵(lì)磁，所以電流不變，增量 δθ＝θ2-θ1：

由于系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間沒有差別，式（12）可以作為步進(jìn)電機(jī)速度的傳遞函數(shù)[4]。本文選用步進(jìn)電機(jī)的型號(hào)為24HD320D8，其電機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 步進(jìn)電機(jī)24HD320D8的性能參數(shù)Tab.1 Performance parameter of stepping motor 24HD320D8

式（13）是在研究轉(zhuǎn)速的基礎(chǔ)上推導(dǎo)的步進(jìn)電機(jī)的傳遞函數(shù)。

1.2 步進(jìn)電機(jī)專家PID控制

對(duì)于典型的控制過程，運(yùn)用比例（P）、積分（I）和微分（D）的PID控制是比較理想的，它具有控制簡單、易實(shí)現(xiàn)、適用面廣、控制參數(shù)相互獨(dú)立、參數(shù)的選定比較容易等優(yōu)點(diǎn)，尤其在電機(jī)控制的研究中，希望控制方法既可以滿足性能期望，又可以降低系統(tǒng)的復(fù)雜程度，以提高系統(tǒng)可靠性并且降低成本，所以電機(jī)控制多采用PID控制。

PID控制器控制調(diào)整的實(shí)現(xiàn)方法有很多種，例如模糊PID、單神經(jīng)元PID等。這些方法的優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡單，但需要實(shí)時(shí)權(quán)值優(yōu)化，算法整體復(fù)雜度較高。若可以根據(jù)控制經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)出幾條專家規(guī)則用來調(diào)整PID控制，從而給出一種專家PID控制器，可能會(huì)是實(shí)現(xiàn)步進(jìn)電機(jī)速度控制的一種有效辦法。

專家PID控制的實(shí)質(zhì)是基于受控對(duì)象和控制規(guī)律的各種知識(shí)，無須知道被控對(duì)象的精確模型，利用專家經(jīng)驗(yàn)來設(shè)計(jì)PID參數(shù)。專家PID控制是一種直接型專家控制器[5]。圖2所示為根據(jù)上述傳遞函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)所得出的速度階躍響應(yīng)曲線。

根據(jù)式（13）計(jì)算其傳遞函數(shù)為

圖2 步進(jìn)電機(jī)速度階躍響應(yīng)曲線Fig.2 Step response curve of stepping motor speed

對(duì)圖2中各點(diǎn)做如下說明，B點(diǎn)、D點(diǎn)、F點(diǎn)目標(biāo)值為90 r/min，C點(diǎn)為 110 r/min，E點(diǎn)為 84 r/min，G點(diǎn)為95 r/min。

在圖 2 中，AB，CD，EF，……區(qū)域，誤差朝絕對(duì)值減小的方向變化，此時(shí)，可采取等待措施，相當(dāng)于實(shí)施開環(huán)控制；BC，DE，F(xiàn)G，……區(qū)域，誤差朝絕對(duì)值增大的方向變化，此時(shí)，可根據(jù)誤差的大小分別實(shí)施較強(qiáng)或一般的控制作用，以擬制動(dòng)態(tài)誤差[6-7]。

令e（k）表示離散化的當(dāng)前采樣時(shí)刻的誤差值，在這里所指的是轉(zhuǎn)速的誤差，即實(shí)際轉(zhuǎn)速與期望轉(zhuǎn)速的差值。 e（k-1），e（k-2）分別表示前一個(gè)和前 2個(gè)采樣時(shí)刻的誤差值，則有

根據(jù)誤差及其變化進(jìn)行如下分析：設(shè)定限值M1、M2，M1的值用來控制誤差的超調(diào)量，取值規(guī)則是取略小于誤差極大值的同比大小；M2的值用來控制誤差朝絕對(duì)值增大方向變化時(shí)控制作用施加值的大小，取值規(guī)則取略小于誤差極小值的同比大小，M1＞M2＞0；em（k）為誤差 e 的第 k 個(gè)極值；u（k）為第 k次控制器的輸出；u（k-1）為第k-1次控制器輸出；k1為增益放大系數(shù)，k1＞1；k為控制周期的序號(hào) （自然數(shù)）；ε為任意小的正實(shí)數(shù)。

2）當(dāng)e（k）Δe（k）＞0或Δe（k）=0 時(shí)，說明誤差在朝誤差絕對(duì)值增大方向變化，或誤差為一常值，未發(fā)生變化。

3）當(dāng)e（k）Δe（k）＜0、e（k）Δe（k-1）＞0 或者Δe（k）＝0時(shí)。說明誤差的絕對(duì)值朝減小的方向，或者已經(jīng)達(dá)到平衡狀態(tài)。此時(shí)，可考慮采取保持控制器輸出不變。

4）當(dāng)e（k）Δe（k）＜0、e（k）Δe（k-1）＜0 時(shí)，說明誤差處于極值狀態(tài)。如果此時(shí)誤差的絕對(duì)值大，即可考慮實(shí)施較強(qiáng)的控制作用，即

2 步進(jìn)電機(jī)專家PID算法的仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)希望反應(yīng)轉(zhuǎn)速控制性能為超調(diào)很小、響應(yīng)過程盡量平穩(wěn)、快速。實(shí)驗(yàn)主要基于轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)圖區(qū)域制定的規(guī)則，運(yùn)用專家PID算法對(duì)PID的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，得出轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)圖和誤差響應(yīng)圖，和常規(guī)PID的控制進(jìn)行比較得出本算法的優(yōu)勢[8]。

用常規(guī)的PID控制方法進(jìn)行步進(jìn)電機(jī)的仿真，P、I、D的值根據(jù)所要求的轉(zhuǎn)矩2 N·m及所要達(dá)到的轉(zhuǎn)速 90 r/min，可設(shè) kP=0.6，kI=0.03，kD=0。

參數(shù)M1、M2的設(shè)定主要是根據(jù)圖2中各個(gè)區(qū)域的極值大小來確定，在誤差絕對(duì)值逐漸變小的AB、CD、EF區(qū)域，可以根據(jù)規(guī)則1，實(shí)施開環(huán)控制，由于A點(diǎn)是轉(zhuǎn)速變化到最小的極值，依據(jù)A點(diǎn)的轉(zhuǎn)速設(shè)定開環(huán)控制閾值M1，其對(duì)目標(biāo)值的同比百分?jǐn)?shù)為則可設(shè)定M1=0.8；而對(duì)于BC，DE，F(xiàn)G區(qū)域，誤差逐漸變大，可以根據(jù)規(guī)則2，在到達(dá)G點(diǎn)時(shí)已經(jīng)快要趨于平穩(wěn)，所以根據(jù)G點(diǎn)的轉(zhuǎn)速來設(shè)定控制閾值M2，其對(duì)目標(biāo)值的同比百分?jǐn)?shù)為0.055，則可設(shè)定M2=0.06。而參數(shù)中k1的確定就需要根據(jù)系統(tǒng)所要完成的控制效果來設(shè)定，經(jīng)過多次仿真實(shí)驗(yàn)將其值設(shè)為k1=3，根據(jù)設(shè)定參數(shù)的大小進(jìn)行Matlab仿真實(shí)驗(yàn)，得出曲線如圖3、圖4所示。

如圖3、圖4所示，專家PID控制器轉(zhuǎn)速的階躍響應(yīng)和誤差調(diào)整時(shí)間約為0.05 s，控制過程平穩(wěn)、快速、超調(diào)較小，而普通PID控制器轉(zhuǎn)速的階躍響應(yīng)和誤差調(diào)整時(shí)間為0.1 s，控制過程中轉(zhuǎn)速會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)和超調(diào)的現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，專家PID控制器對(duì)步進(jìn)電機(jī)的速度可以實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)快速的控制，控制性能良好。

圖3 普通PID控制和專家PID控制階躍響應(yīng)比較曲線Fig.3 Comparison of the step response curves of common PID control and expert PID control

圖4 普通PID控制和專家PID控制誤差響應(yīng)比較曲線Fig.4 Comparison of the error response curves of common PID control and expert PID control

3 結(jié)語

針對(duì)復(fù)雜的步進(jìn)電機(jī)系統(tǒng)控制的問題，以控制步進(jìn)電機(jī)的轉(zhuǎn)速為目的，本文研究了步進(jìn)電機(jī)轉(zhuǎn)速的專家PID控制方法。提出了一種簡單的專家PID控制方法，對(duì)步進(jìn)電機(jī)加速特性適應(yīng)能力強(qiáng)。通過仿真實(shí)驗(yàn)，與普通PID控制方法相比，所提專家PID控制方法高效、控制效果好，易于采用較低檔次的單片機(jī)等器件實(shí)現(xiàn)，為步進(jìn)電機(jī)的應(yīng)用提供了一種可選的控制方法。

[1]潘健，劉夢薇.步進(jìn)電機(jī)控制策略研究[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2009，32（15）：143-145.

[2]劉寶志.步進(jìn)電機(jī)的精確控制方法研究[D].山東：山東大學(xué)，2010.

[3]徐文強(qiáng)，閆劍虹.二相混合式步進(jìn)電動(dòng)機(jī)傳遞函數(shù)模型推導(dǎo)[J].空間電子技術(shù)，2011（3）：50-53.

[4]李錫文，姜德美，謝守勇.步進(jìn)電動(dòng)機(jī)加速運(yùn)行控制研究[J].微電機(jī)，2007（10）：45-47.

[5]鄒乾.兩相混合式步進(jìn)電機(jī)的模糊PI控制方法研究[D].浙江：浙江大學(xué)，2010.

[6]史敬灼，劉玉.超聲電機(jī)簡單專家PID速度控制[J].中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2013，33（36）：120-125.

[7]Kim W，Choi I，Chung C.Microstepping with PI feedback and feedforward for permanent magnet stepper motors[J].ICCASSICE，2009（8）：306-607.

[8]堵杰，林小玲.MATLAB在異步電機(jī)仿真中的應(yīng)用[J].微特電機(jī)，2001（1）：19-21.