發動機臺架試驗特性曲線擬合算法研究與實現

楊 揚，尹憲棟，謝中朝

（1.武漢理工大學 自動化學院，武漢430070；2.中國地質大學（武漢）自動化學院，武漢430074）

發動機臺架試驗是發動機性能測試的主要方法[1]，目的是盡量模擬發動機實際運轉時的各種工況，精確測量發動機的性能指標，獲得發動機的試驗特性曲線，以研究發動機性能[2]。發動機特性主要包括外特性和負荷特性[3]。通過研究發動機特性曲線，衡量發動機的最高動力性能，確定發動機在不同負荷和不同轉速時的燃油經濟性及最有利的工作轉速范圍[4]。

本文以某型號柴油發動機為例，設計發動機臺架試驗數據采集系統，研究發動機外特性和負荷特性曲線擬合算法及程序實現，精確繪制特性曲線，并保證曲線光滑且符合實際。對比幾種曲線擬合算法，建立適合處理發動機外特性和負荷特性試驗數據的算法模型，用C++編寫算法程序，實現發動機特性曲線繪制，為繪制發動機萬有特性曲線提供依據，為發動機性能分析提供準確基礎[5]。

1 發動機臺架試驗數據采集

1.1 發動機特性

發動機外特性曲線是指在發動機全負荷（汽油機為節氣門全開）時測得的功率或扭矩隨轉速變化的曲線[6]。當燃料供給機構位置達到最大時，得到的是總功率特性，也稱發動機外特性。發動機的外特性是衡量發動機具有的最高動力性能的依據[7]。

發動機的負荷特性是指當發動機轉速一定時，有效比燃油消耗量隨發動機負荷的變化關系。利用發動機的負荷特性曲線，可以全面地確定發動機在不同負荷和轉速時的燃油經濟性[8]。

1.2 試驗數據采集系統

發動機臺架試驗數據采集系統結構如圖1所示，采用CAN總線完成數據采集。工控機采集發動機臺架試驗過程的燃油消耗率、油耗量、溫度和壓力等參數，并存儲在文件中，能夠進行數據處理、試驗特性曲線繪制和實時參數顯示等。STM32作為下位機，負責測量勵磁、油門、轉速和扭矩，再通過CAN總線傳送給工控機。

圖1 發動機臺架試驗數據采集系統Fig.1 Engine bench test data acquisition system

在發動機油門全開時，測量轉速與扭矩，獲得如表1所示的14組外特性試驗數據。采集負荷特性試驗數據的方法為在50%～80%的額定轉速下，保持發動機轉速不變，從小負荷開始，逐步加大油門開度直至全負荷，適當分布8個以上測量點，獲得發動機功率、燃油消耗率和油耗量。表2所示為發動機轉速為2400 r/min時測量的9組負荷特性試驗數據。

表1 外特性試驗數據Tab.1 Test data of external characteristics

表2 負荷特性試驗數據Tab.2 Test data of load characteristics

2 曲線擬合算法

為了通過有限的試驗數據精準擬合出光滑的曲線，必須采取插值或擬合算法進行函數逼近。常用的曲線擬合算法有最小二乘法、多項式擬合、三次樣條插值算法和折線法等。采用折線法繪制的發動機負荷特性曲線不光滑，無法真實反映變化規律。

2.1 最小二乘法多項式擬合

運用多元線性回歸理論進行多項式曲線擬合，給定數據點（xi，yi）（i=0，1，2，…，N），利用多項式（1）擬合出x與y的關系曲線，擬合的原則是使式（2）所示的偏差的平方和最小[9]。

以二次多項式擬合為例，多項式函數擬合的法方程如式（3）所示，求解法方程，得到二次多項式的系數，從而求得二次多項式函數。

本文采用最小二乘法多項式擬合繪制發動機外特性曲線，曲線與試驗數據點的偏差平方和最小，且能夠通過試驗數據點之間。

2.2 三次樣條插值算法

由于發動機負荷特性曲線連續一階可導，具有二階導數且二階導數不為零，因此，由試驗數據擬合的曲線也必須一階、二階可導。同時，要求曲線與試驗數據點間的偏差最小，曲線通過試驗數據點。因此，本文采用三次樣條插值算法繪制發動機負荷特性曲線。

三次樣條插值可以使插值函數既是低階分段函數，又是光滑的函數。給定區間［a，b］上的一個劃分：a=x0

給定 n+1 個數據節點（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），則三次樣條插值函數的求解方法為①計算步長 hi=xi+1-xi（i=0，1，…，n-1）；②確定邊界條件下首尾端點條件，本設計中采用自然邊界，首尾端點的二次微分值滿足式（5）；

③由數據節點和首尾端點條件得到式（6）所示的矩陣方程，式中 mi（i=0，1，…，n）表示各數據節點的二次微分值；④解式（6）所示的3對角矩陣方程，求解二次微分值mi；⑤依式（7）計算三次樣條曲線的系數，其中 i=0，1，…，n-1；

⑥在每個子區間［xi，xi+1］（i=0，1，…，n-1）上創建如式（8）所示的三次多項式方程，由此方程得出三次樣條插值曲線。

用三次樣條插值算法繪制的曲線不僅光滑度好，而且當節點逐漸加密時，其函數值在整體上非常逼近被插值函數，相應的導數值也收斂于被插值函數的導數，能夠保證曲線一階和二階導數連續，不會發生龍格現象[10]，擬合方法簡單易行，便于編程實現。因此，本文采用三次樣條插值算法繪制發動機特性曲線。

3 擬合算法的程序實現

在發動機臺架試驗數據采集系統的上位機軟件中實現擬合算法，采用C++和MFC編寫試驗數據處理和特性曲線繪制程序的流程如圖2所示。

若選擇繪制外特性曲線，則采用最小二乘法多項式擬合程序。程序步驟為①從文件中讀取外特性試驗數據，求得轉速和扭矩的最大值和最小值，確定繪制曲線的坐標；②去掉橫坐標相同的數據點，得到有效數據點；③定義數組和法方程矩陣；④求解法方程矩陣，求解多項式系數，得到多項式擬合函數；⑤設置多個等間隔樣點，依樣點的x坐標計算樣點的y坐標值；⑥從第一個樣點到最后一個樣點依次畫線，從而繪制出外特性曲線。

圖2 特性曲線繪制程序流程Fig.2 Program flow chart of drawing characteristics curves

若繪制負荷特性曲線，則采用三次樣條插值算法程序。程序步驟為①從文件中讀取負荷特性試驗數據，繪制坐標系；②數據處理，去掉橫坐標相同的數據點，得到用于插值算法的有效數據節點；③定義數組，用于存放步長、三次樣條曲線的系數、節點二次微分值等，并定義對三角矩陣；④計算步長，求解對三角矩陣，得出節點二次微分值；⑤計算三次樣條曲線函數的系數，得出每個節點區間上的三次多項式方程；⑥畫曲線。

調用最小二乘法多項式擬合程序繪制的外特性曲線如圖3所示，曲線反映了發動機油門全開時扭矩與轉速的關系，曲線光滑且準確通過試驗數據點之間，與試驗數據點之間的偏差平方和最小，因此，最小二乘法多項式擬合是一種比較理想的發動機外特性曲線繪制方法。

圖3 最小二乘法多項式擬合外特性曲線Fig.3 External characteristics curve drew by using the least squares polynomial fitting method

調用三次樣條插值算法程序和最小二乘法多項式擬合程序繪制的負荷特性曲線分別如圖4和圖5所示。曲線表示的是轉速為2400 r/min時，燃油消耗率及油耗量與功率之間的關系。從圖中可以看出，通過三次樣條插值算法繪制的負荷特性曲線光滑，具有一階和二階連續導數，曲線精確地通過所有試驗數據點，穩定性和收斂性較好，符合發動機負荷特性的實際情況；采用最小二乘法多項式擬合法繪制的曲線光滑，但是誤差較大，高次多項式擬合時容易出現振動，與實際不符，不能采用。

圖4 三次樣條插值算法擬合負荷特性曲線Fig.4 Load characteristics curve drew by using cubic spline interpolation algorithm

圖5 最小二乘法多項式擬合負荷特性曲線Fig.5 Load characteristics curve drew by using the least squares polynomial fitting method

4 結語

本文設計了發動機臺架試驗數據采集系統，對比了幾種曲線擬合算法，建立適合處理發動機外特性和負荷特性試驗數據的算法模型，采用C++編寫算法程序，繪制的特性曲線光滑且符合實際。采用最小二乘法多項式擬合繪制的發動機外特性曲線比較理想。針對負荷特性曲線的特點，采用三次樣條插值算法繪制曲線，并與最小二乘法多項式擬合結果進行對比。結果表明，三次樣條插值算法是一種比較理想的發動機負荷特性曲線繪制方法。

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