新證據沖突衡量標準下的證據二次修正組合

曹 潔，馮 鋒，王進花

（蘭州理工大學 計算機通信學院，蘭州730050）

D-S證據理論是信息融合技術得以實現的重要工具，產生于20世紀60年代人們對多值映射工作的研究[1]。相對于概率論，它對證據的融合無需先驗知識，對信息的表達和處理更加有效，因而D-S證據理論被廣泛地應用于信息融合領域中[2]。然而，在證據理論發展應用的過程中，也遇到了諸如“一票否決”、“魯棒性差”、“信任度偏移”等問題。對此，研究人員從以下方法開展了研究：

第一類方法，Smarandache等人認為證據理論框架本身不合理，并對其進行修改，在超冪集的框架上構建了DSmT理論。該理論處理不確定信息非常適宜，但對框架的修改難度很大。

第二類方法，許多學者將問題歸咎于Dempster組合規則歸一化運算，認為將沖突信度按比例分配給其他非空焦元并不合理，因而提出對Dempster組合規則進行修改[3-6]。

第三類方法，部分學者首先對Dempster組合規則給予肯定，認為合成結果有悖常理應歸咎于數據模型的不合理性，因而提出在組合規則不變的情況下對證據源模型進行修改的方法[7-10]。

證據之間沖突程度的衡量是處理沖突的關鍵，常常被人們忽視。目前，對于衡量證據之間的沖突，尚未有統一的方法[11]。算例表明，用經典沖突系數k表征沖突的大小，并不合理。文獻[12-13]提出，將Pignistic概率距離和k組合，構成1個二元組用于表征證據之間的沖突程度，其效果優于僅僅使用沖突系數k，然而由于證據是嵌套子集，如果證據條數＞2，則不能有效地判斷證據之間的沖突。文獻[14-15]利用Jousselme距離和沖突系數k的簡單平均來修正原始的沖突系數。文獻[16]用沖突系數和自定義的證據距離來描述證據之間的沖突，但是當存在相同證據時卻不能用這樣的表達式來描述它們之間的沖突程度。

針對上述問題，在此基于三角模算子定義了證據之間的相似度，計算得到了證據距離，并結合定義的證據馬氏距離及經典沖突系數k，提出一種比較合理地衡量證據沖突的沖突系數。由此得到待組合證據體相應的權重，采用序貫方式實現證據組合。

組合前利用折扣因子對待組合證據予以修正，經Dempster組合規則融合后，利用信任系數對組合結果進行第2次修正，然后參與后續證據的組合。該組合方法摒棄了對傳統D-S證據理論模型框架的修改，使實現組合的難度大大降低。其實質是對待組合證據體進行了預處理，并改變了傳統批量式的融合方式，并未對組合規則本身進行修正，保留了組合規則所滿足的交換律和結合律性質。

1 D-S證據理論存在的問題分析

文獻[17]給出了D-S證據理論的基本概念。雖然證據理論在信息融合、故障診斷、智能決策等系統中已獲得廣泛運用，但是在實際應用中也遇到了難題。在此舉例說明Dempster組合規則存在的不足。

1.1 高沖突證據組合問題

當k=1時，不能用Dempster組合規則進行融合，而當k→1時，對高沖突證據進行融合，將會產生有悖常理的結果。

例 1假定辨識框架 Θ=｛a，b，c｝，系統 2個證據為

證據 1：m1（a）=0.99，m1（b）=0.01

證據 2：m2（b）=0.01，m2（c）=0.99

證據m1和m2以0.99的信度值分別最大支持焦元a和c，而支持b的信度值只有0.01，但合成結果為 m（a）=m（c）=1，m（b）=0，融合結果有悖常理。同時，如果證據完全沖突，合成公式的分母為0，組合規則完全失效。

1.2 傳統沖突表示存在的問題

例 2 假定辨識框架 Θ=｛A，B，C，D，E｝，2 個證據的基本概率分配為

組合后的融合結果為

完全相同的證據體m1和m2沖突程度應為0。但是，計算得到系數k=0.8，說明描述證據沖突程度僅僅依靠傳統沖突系數k，顯然并不合理。而利用文獻[14-16]所提沖突程度表達式在此計算沖突程度也不為0，據此可知其所提沖突系數并不全面。

1.3 引入三角模算子

分析經典沖突系數k及以上兩例可知，僅利用焦元間的非包容性衡量證據間的沖突程度并不全面，證據之間的差異性也是衡量沖突程度必須考慮的重要因素。為了在描述證據沖突時利用證據之間的差異性，特引入三角模算子（triangular norm）[18]。

三角模算子是人工智能領域中的一種理論方法[19]，常依賴于模糊推理的思想，將單源決策映射到另一空間，通過比較來達到判決目的。三角模定義如下：

若映射 T（S1，S2），［0，1］*［0，1］→［0，1］，對?a，b，c，d∈［0，1］，滿足條件為

若 a≤b，c≤d 則 T（a，b）≤T（c，d）；

則映射T稱為三角模算子或三角模。幾種常見的三角模算子如下：

定義1假設m為識別框架Θ上的BPA函數，定義證據mi，mj之間的相似度為

定義2證據mi和mj之間的證據距離定義為

例3假定辨識框架Θ=｛a，b，c｝， 系統3個證據為

證據 E1支持 a，E2和 E3支持 c，一般推斷 E2和E1的沖突要大于E2和E3，經計算得到k12=0.71，d12=0.32；k23=0.52，d23=0.38（kij為第 i個和第 j個證據的沖突系數；dij為第i個和第j個證據的距離）。故根據沖突系數判斷E2和E1的沖突大于E2和E3，與分析一致，但按照距離來判斷卻會得到相反的結論，因此同樣不能單純利用證據距離來表征沖突程度。

2 基于新沖突系數的證據二次修正融合方法

2.1 新的沖突系數

為了更好地描述證據間的差異性，引入了馬氏距離[20]（Mahalanobis distance）。 馬氏距離有別于歐氏距離，由于考慮了各種特征之間的聯系且獨立于測量尺寸，用于計算2個未知樣本集的相似度非常有效，能夠避免變量相關性所造成的干擾。

第i，j兩個樣品之間的馬氏距離為

定義3假設m為識別空間U上的BPA函數，U→［0，1］，定義 mi和 mj之間的馬氏距離為

由上可知，沖突系數kij反映了證據之間的非包容性，而自定義證據距離 dBPA（mi，mj）及證據間的馬氏距離能夠反映證據間的差異性。鑒于此，為了充分利用兩者在某些情況下的互補性，提出新的證據沖突程度的表達式為

由式（7）可以看出，新的沖突系數 kij′為 kij，dBPA（mi，mj）和三者共同作用的結果。只有當三者均為0時，才說明證據間無沖突，同時也只有當三者都較大時，才能判定證據之間存在較大的沖突，有效地抑制了單一要素對證據沖突判定造成的偏差。

2.2 改進組合規則的實現

2.2.1 證據權重系數

證據的權重系數是證據的“價值”體現，與其他證據沖突較小的證據為“多數證據”，有利于最終組合結果的正確合成，權重系數較大；與其他證據沖突較大的證據為“少數證據”，它們會使最終合成結果有悖常理，應獲得較小的權重系數。在此定義了第 i個與第 j（ j≠i）個證據的矛盾因子 kij′后，令

證據沖突程度方陣的每一個元素由證據間的沖突程度構成，于是n維沖突方陣為

將沖突方陣的第i行或第i列相加，可得到第i個證據與其他證據的總沖突程度，即：

設有n個待組合的證據體mi，各自所對應的總沖突度為confi，每個證據體對應的權重為[21]

式中：α為負指數函數參數。

2.2.2 證據的二次修正

關鍵證據的權重系數最大，其權重系數為

得到的各證據相對權重向量為

于是得到證據mass函數的“折扣因子”為

根據“折扣因子”對證據體進行第1次修正：

修正后的證據利用D-S規則進行合成。

定義4證據mi和mj之間融合的信任系數定義為

假設證據 mi和 mj融合后的結果為 mij（X），則第2次修正的結果為

將修正的融合結果Mij′（X）和新證據重復上述融合與再修正，后續融合依此類推。融合過程類似于哈夫曼編碼，由于采用序貫式融合，無需再對證據進行排序。 假設有 5 個證據 m1，m2，m3，m4，m5，計算得到對應的“折扣因子”為 α1，α2，α3，α4，α5，證據的二次修正過程如圖1所示。

圖1 證據的二次修正組合過程Fig.1 Secondary correction combination process of evidence

采用上述改進方法進行證據組合的步驟歸納如下：

步驟1融合系統（傳感器）收集到n個證據，計算兩兩間的證據相似度；

步驟2計算兩兩間的證據距離，并得到新的沖突系數；

步驟3構造沖突方陣并分別計算各個證據的權重系數、折扣因子及衡量各步融合結果的信任系數；

步驟4采用序貫式進行證據二次修正組合，得到最終組合結果。

3 算例分析

3.1 試驗1—新沖突衡量指標有效性驗證

1）根據所提的沖突系數計算例1中所給證據體的沖突，由于證據m1最大支持焦元a，證據m2最大支持焦元c，2條證據之間存在較大沖突，由上述計算公式計算得到：

則新的沖突系數為

例1中，2組證據的沖突非常高，新沖突系數亦能準確反映出來。

2）根據所提出的沖突系數計算例2中所給證據體的沖突：

則新的沖突系數為

例2中，2組證據完全一致，因此證據間沖突程度應為0，所提方法計算結果并不為0，但相比經典沖突系數更加切合實際。由此可知所提出的沖突系數能夠較好地反映證據間的沖突程度。

3.2 試驗2—多源數據融合對比

以文獻[23]給出的4個證據為例，將傳統D-S組合方法及典型的幾種修改方法的組合結果進行對比，從而驗證所提方法的有效性。

假設辨識框架 Θ=｛A：民航機，B：轟炸機，C：戰斗機｝，利用開發的軟件仿真產生4組傳感器數據，從而構成4個不同的證據體，即

將這 4 個證據分別用 Dempster，Yager，Murphy，文獻[3]，文獻[22]，文獻[23]和本文提出的二次修正組合方法進行融合，結果如表1所示。

表1 多信息源融合結果Tab.1 Fusion results of multiple information sources

由表1可知，D-S組合規則無法有效地處理存在高沖突的證據，若存在支持度為0的證據體，則證據合成結果始終是0，而不依賴其他證據對該命題有多大的支持概率，即該組合規則存在“一票否決”的弊端而得出錯誤結論。

Yager的結果與D-S組合規則類似，并未克服“一票否決”的弊端，它將導致證據沖突的那部分信度值完全轉移給Θ，證據數量的擴大也導致了未知項m（Θ）增大，從而增加了組合結果的不確定性。

Murphy平均方法的不足在于忽略了證據之間的相關性，雖然也能夠正確識別目標A，由于它僅通過對證據簡單平均來抵消證據2中 “壞值”0的影響，在系統收集到4個證據時才識別出目標A，所以收斂速度較慢。

本文提出的二次修正組合方法采用序貫方式實現證據組合，分別對組合前的證據及各步組合結果進行修正，有效地抑制了“壞證據”對系統最終融合結果的影響，提高了融合結果的準確性，避免了由于D-S融合方法改進而導致運算量的增加，使得整體的融合過程具有較小的計算量。

4 結語

信息融合系統，由于受到人為或自然環境等因素的干擾，使得收集到的證據之間常常存在較大沖突，這時傳統的Dempster組合規則失效，無法得到令人滿意且合理的融合結論，同時經典沖突系數對證據沖突的描述也并不合理。鑒于此，基于三角模算子及馬氏距離，同時考慮證據間的非包容性和差異性，提出了新的沖突表示方法，從而有效地度量證據之間的沖突程度。然后，基于新的沖突表示方法提出了一種新的沖突信息融合方法，實現了融合過程的二次修正，在系統存在高沖突證據時仍能獲得正確結論，且收斂速度快，計算量小。

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