一種三自由度并聯機構運動學及工作性能分析

張 超，李 彬,2，趙新華,2

（1.天津理工大學 天津市先進機電系統設計與智能控制重點實驗室，天津 300384；2.天津理工大學 機電工程國家級實驗教學示范中心，天津 300384）

0 引言

近年來，隨著并聯機構相關理論研究和應用的不斷深入，少自由度并聯機構，特別是3自由度并聯機構得到了較快的發展，已成為并聯機構領域的研究熱點。相對于6自由度并聯機構，少自由度并聯機構具有機械結構簡單、制造成本低、工作空間大、精度高、速度快、累計誤差小等優點，在加工制造、醫療器械、航空航天等領域得到了廣泛的應用。三平動自由度并聯機構是少自由度并聯機構中非常重要的一類，對于這類機構的設計研究已經成為目前少自由度并聯機構研究的趨勢。文獻[1]設計一種3自由度平動機器人Delta robot，被廣泛應用于流水生產線的抓拾作業，成為工業應用最成功的并聯機構之一。文獻[2]提出一種新型的3-CRU并聯機構，并對機構的構型，正反位置，工作空間，傳動性能等做了研究。文獻[3]對一類具有3個完全相同運動支鏈的平動并聯機構的拓撲做了研究。文獻[4]對一類含平行四邊形支鏈的三平動自由度并聯機構的幾何誤差建模，靈敏度及裝配工藝做了研究，并已將其應用于并聯機床的主模塊。文獻[5]提出一種新型的三自由度并聯機構3-CPR，并基于ADAMS軟件對機構的運動學模擬仿真，同時利用遺傳算法對機構的工作空間做了研究。文獻[6]以一種新型的三平動自由度并聯機構3-PRUR為研究對象，利用螺旋理論分析了機構的自由度屬性，并基于使用Bezout消元法對機構的位置進行了分析。文獻[7]設計了一種3自由度高精度并聯機構3-UPU，并對機構建模設計，靈敏度分析，同時基于機構的研究對原型機進行了研發。文獻[8]利用變胞機構理論設計了一類3-UPU并聯機構構型轉換的實現機構，并利用螺旋理論對機構的自由度等進行分析，同時研究了轉換位置點對工作性能的影響。

本文以三平動自由度并聯機構3-CRU為研究對象，基于螺旋理論對機構的自由度屬性進行了分析，該機構可實現空間三平動運動。并利用幾何法對機構的位置正反解進行了研究，同時基于正解方程，得到了機構的工作空間。另外，通過建立機構的雅克比矩陣，利用機構靈巧度指標對機構的工作性能進行研究，為后續機構動力學及實際應用奠定理論基礎。

1 機構組成與坐標系建立

3-CRU并聯機構如圖1所示，它是由動平臺和靜平臺通過3個完全相同的CRU運動支鏈連接而成的，其中，靜平臺分布有三條相同的支撐導軌，其中，兩條導軌在同一平面內，另一條導軌的軸線所在的平面垂直于兩導軌所在平面，這種分布方式稱為面對稱分布。CRU支鏈自下而上依次通過圓柱副（C）、轉動副（R）和虎克鉸（U）彼此之間相互連接而成，支鏈的一端通過圓柱副與靜平臺上的支撐導軌相連，另一端通過虎克鉸與動平臺直接連接。

圖1 3-CRU三維模型圖

為了建立機構的位置分析模型，如圖2所示，在靜平臺上建立參考坐標系O-xyz，其中O點位于靜平臺三個支撐導軌的交點，y軸與O2O3的連線平行并由O3點指向O2點，z軸垂直于靜平臺，x軸滿足右手定則。圖中Ai點位于圓柱副的中心，Bi點位于轉動副的中心，Ci點位于虎克鉸的中心，點P在動平臺上，并且位于動平臺的幾何中心，Oi為支撐導軌與靜平臺的交點。

圖2 3-CRU機構原理圖

如圖2所示，對于CRU運動支鏈，圓柱副的軸線與轉動副和虎克鉸的軸線彼此相互平行。支撐導軌OOi與xoy平面的夾角用βi表示，其中β1=β2=β3=β。

2 3-CRU并聯機構自由度分析

3-CRU并聯機構的自由度屬性由機構的三條支鏈對動平臺所提供的約束力和力偶共同決定，本文通過互易螺旋理論對施加在動平臺的約束力進行分析。不失一般性，在機構的每條支鏈上建立坐標系Ai-xiyizi（i=1,2,3），則，每條支鏈的螺旋系如圖3所示，通過分析可得：

其中SiC和SiR分別表示圓柱副和轉動副的單位方向向量，并且SiC=SiR。同樣SiU1和SiU1表示虎克鉸的單位方向向量。

通過互易運算，可以得到式(1)中5個螺旋的反螺旋，即CRU支鏈的約束螺旋為：

圖3 CRU支鏈約束圖

通過式(2)可知，機構中繞x軸，y軸和z軸的轉動被約束，因此，3-CRU并聯機構具有三個平動自由度（沿x軸方向，沿y軸方向和沿z軸方向）。因此，3-CRU并聯機構是一個三平動自由度并聯機構。

3 3-CRU并聯機構位置分析

3.1 位置逆解

3-CRU并聯機構的位置逆解分析是通過給定動平臺的位置坐標，求解圓柱副在支撐導軌上的移動距離如圖2所示，構建閉環矢量方程，在參考坐標系O-xyz中，點P的位置向量r=(x y z)T可以表示為：

對于CRU支鏈，在式(3)的兩邊同時點乘siR可得：

由式(4)可知，通過給定動平臺的位置向量r，可以求出對應的qi，也就是點O到點Ai的距離，進而可以得到點Ai在支成導軌上位置。

3.2 位置正解

3-CRU并聯機構的位置正解是給圓柱副在支撐導軌上的移動距離通過一定的數學運算得到動平臺在坐標系O-xyz中的位置。

通過式(4)可以求出：

式中：a為動平臺上點P到點Ci的距離，即：

將式(6)和式(7)相加可得：

同理，式(6)減式(7)可得：

將式(8)代入式(5)可得：

因此，給定圓柱副Ai的位置，通過式(8)、式(9)和式(10)可以得到動平臺上P點在坐標系中的位置，進而可以求出動平臺在靜平臺中的相對位置。同時，由式(8)、式(9)、式(10)可知，機構動平臺的位姿僅與支撐導軌與坐標系的夾角β和點P到點Ci的距離有關，與桿AiBi和桿BiCi的長度無關。

3.3 數值算例

根據3.1節和3.2節的位置正反解分析，設定3-CRU并聯機構的結構參數，a=400mm，β=25°。對于機構的位置反解，給出兩組不同的輸入(x y z)，通過式(5)，式(6)和式(7)可得輸出結果如表1和圖4所示，對于機構的位置正解，為了驗證正反解之間的相關性，將反解的輸出作為正解的輸入(q1q2q3)，通過式(8)、式(9)、式(10)可得到正解的輸出如表2和圖5所示。

圖4 機構位置反解

表1 機構的位置反解

表2 機構的位置正解

圖5 機構位置正解

4 3-CRU并聯機構的雅可比矩陣

對式(5)、式(6)和式(7)分別關于對時間求導可得：

當機構非奇異時，式(11)～式(13)可表示行列式的形式，如式(14)所示：

式中：

其中J為3-CRU并聯機構的雅克比行列式。

當J可逆時，式(14)可以表示為：

可知，式(14)為機構的速度反解，式(15)為機構的速度正解。

5 3-CRU并聯機構的工作空間分析

工作空間是衡量機構性能的重要指標，與串聯機構相比，并聯機構的運動學正解比較復雜，各關節之間相互約束較大，奇異位置較多，增加了工作空間分析的難度。本節在前面對機構運動學分析的基礎上，通過限制圓柱副的移動范圍，運用機構的運動學正解求解機構的運動空間。

根據3-CRU并聯機構結構特點，將機構的約束條件設置為0≤q1≤300(mm)，0≤q2≤300(mm)，0≤q3≤300(mm)，β=25°通過MATLAB軟件仿真可得機構的工作空間如圖6所示。

圖6 機構的工作空間

由圖6(a)和(b)可以看出，3-CRU并聯機構在x軸方向的工作空間較y軸方向的工作空間更大，由圖6(c)可以看出，機構在z軸方向的工作空間較大，由圖6(d)可知機構的工作空間關于y軸對稱分布。

6 3-CRU并聯機構工作性能分析

并聯機構工作性能分析的方法有很多種[9,10]，其中靈巧度分析是影響機構機械設計、軌跡規劃、機構控制的重要因素之一。并聯機構的靈巧度是指機構在任意方向上位置或力和力偶變化的能力。本文用過定義靈巧度的指標來分析3-CRU并聯機構的工作性能，靈巧度的評價指標的定義如下，

式中，J為機構的雅克比行列式，λ表示機構避免奇異的能力，當λ=0時，機構為奇異配置，當λ的值越趨近于1時，機構避免奇異的能力越強，工作性能越好，機構的工作性能如圖7所示。

圖7 機構的工作性能

如圖7所示，當β=0°和β=90°時，機構的工作性能最差，當β=35°時，機構的工作性能最好，機構的工作性能在0°～35°之間隨β角的增大而增大，在35°～90°之間，隨著β角的增大而變差，β的取值范圍在25°～45°之間時，3-CRU并聯機構具有較好的工作性能。

7 結論

本文以三平動自由度并聯機構3-CRU為研究對象，利用螺旋理論分析了機構自由度屬性，同時利用幾何法對機構的位置正反解分析求解，得到機構運動學方程，并利用機構的運動學正解，對機構的工作空間進行了分析。基于螺旋理論建立機構的雅克比矩陣，并利用機構靈巧度指標對機構的工作性能進行研究，通過MATLAB軟件仿真結果可分析出機構工作性能的優劣，這為后續機構的優化設計及實際應用奠定理論基礎。

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