露天礦采礦作業(yè)計(jì)劃的二元整數(shù)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型

黃 敏 李學(xué)華 賈 民(.廣州南洋理工職業(yè)學(xué)院，廣東 廣州 50980；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院，江蘇 徐州 226;3.深部煤炭資源開(kāi)采教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 徐州 226;.兗州煤業(yè)股份有限公司濟(jì)寧二號(hào)煤礦，山東 濟(jì)寧 272000)

對(duì)于露天礦年度作業(yè)計(jì)劃來(lái)說(shuō)，邊界品位優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)重要的研究挑戰(zhàn)。在礦產(chǎn)資源行業(yè)，通過(guò)每個(gè)時(shí)期的最優(yōu)邊界品位計(jì)算可以獲得相當(dāng)大的經(jīng)濟(jì)效益，從而最大化采礦項(xiàng)目的凈現(xiàn)值(net present value，NPV)[1]。因此，露天采礦作業(yè)中與礦塊開(kāi)采順序相關(guān)的，最復(fù)雜的問(wèn)題之一就是邊界品位選擇。

邊界品位直接影響到項(xiàng)目壽命期內(nèi)采礦作業(yè)的經(jīng)濟(jì)可行性。為了得到給定項(xiàng)目的更高整體凈現(xiàn)值，需要選擇適當(dāng)?shù)倪吔缙肺徊呗浴Ｔ诓傻V順序的初始階段，更高的邊界品位會(huì)導(dǎo)致每噸礦石的平均等級(jí)更高，因此，可以通過(guò)礦床的品位分布研究來(lái)實(shí)現(xiàn)更高的平均品位[2]。采礦項(xiàng)目的成功與否直接取決于邊界品位的選擇。因此，在礦山開(kāi)采中，邊界品位優(yōu)化是必不可少的[3]。

文獻(xiàn)[4]提出了一種基于遺傳算法和拓?fù)渑判蛳嘟Y(jié)合的作業(yè)計(jì)劃優(yōu)化方法，但不能保證最終解決方案的質(zhì)量。文獻(xiàn)[5]使用幾種策略相結(jié)合來(lái)減少計(jì)算時(shí)間。Nasab等人在文獻(xiàn)[5]基礎(chǔ)上，提出了一種聚集并應(yīng)用了拉格朗日松弛原理[6]。到目前為止，這些模型不能滿(mǎn)足每一階段內(nèi)品位混合的質(zhì)量要求。文獻(xiàn)[7]對(duì)不同的作業(yè)技術(shù)和建模問(wèn)題開(kāi)展了廣泛的調(diào)查。任何給定時(shí)期的動(dòng)態(tài)邊界品位可以視為這一時(shí)期關(guān)于礦石供應(yīng)和銑削需求的一個(gè)函數(shù)。研究人員不斷嘗試通過(guò)各種計(jì)算機(jī)處理方法來(lái)實(shí)現(xiàn)露天礦開(kāi)采順序優(yōu)化。但是由于具有許多相關(guān)的變量，現(xiàn)有方法都沒(méi)有得到廣泛的認(rèn)可。

眾所周知，忽略采礦順序中這些變化對(duì)最優(yōu)邊界品位的影響，將導(dǎo)致不切實(shí)際的礦山設(shè)計(jì)和分析。因此，本研究提出了一種新的二元整數(shù)規(guī)劃模型來(lái)求解開(kāi)采順序問(wèn)題。介紹了邊界品位對(duì)開(kāi)采順序的影響。給出了以礦塊經(jīng)濟(jì)損失評(píng)估和礦體品位概率分布為基礎(chǔ)的公式。通過(guò)物理約束將一個(gè)礦塊的經(jīng)濟(jì)損失評(píng)估與概率集成在一個(gè)二元整數(shù)規(guī)劃模型[8]中。該模型的最終目標(biāo)是設(shè)定最佳開(kāi)采順序，同時(shí)優(yōu)化礦山各時(shí)期的邊界品位。

1 露天礦邊界品位優(yōu)化的必要性

邊界品位分析，一般來(lái)說(shuō)可以解決以下問(wèn)題：

(1)礦床中的哪些塊段值得開(kāi)采和加工，如果不是，則應(yīng)該被認(rèn)為是廢石。

(2)一旦開(kāi)采，該如何加工。

實(shí)際上，邊界品位計(jì)算的目的是為了發(fā)送從礦山中提取的礦物，圖1顯示了基于邊界品位的決策準(zhǔn)則。

圖1 基于邊界品位的決策準(zhǔn)則Fig.1 Decision criteria based on boundary grade

一個(gè)靜態(tài)邊界品位不具備在不同情況下實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化所需的靈活性[4]。邊界品位優(yōu)化是一個(gè)相互作用的過(guò)程，包括金屬價(jià)格、采礦成本、加工成本、加工能力、采礦作業(yè)能力、開(kāi)采順序、礦床品位分布以及由此產(chǎn)生的現(xiàn)金流。礦塊的加工決策在采掘順序變更中起主要作用。在礦山開(kāi)采過(guò)程中，由于礦山凈現(xiàn)值遞減效應(yīng)的變化，使得礦山開(kāi)采階段的開(kāi)采效果會(huì)發(fā)生很大的變化。因此，在采礦順序中應(yīng)同時(shí)考慮邊界品位的優(yōu)化[4]。邊界品位優(yōu)化是采礦作業(yè)中最重要的課題之一：

(1)邊界品位優(yōu)化用于加工類(lèi)型(銑削/礦物堆浸/廢石堆浸/廢棄)的決策問(wèn)題，以確定哪種決策決定了最大的經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)。

(2)邊界品位優(yōu)化可改善礦山開(kāi)采順序。

2 考慮動(dòng)態(tài)邊界品位的開(kāi)采順序公式

2.1 定 義

在開(kāi)采順序問(wèn)題中，每個(gè)階段內(nèi)每個(gè)塊的開(kāi)采取決于邊界品位的定義。邊界品位決定塊分類(lèi)。對(duì)一個(gè)塊的錯(cuò)誤分類(lèi)會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的礦塊經(jīng)濟(jì)價(jià)值計(jì)算結(jié)果。在這方面，文獻(xiàn)[9]定義了一種“經(jīng)濟(jì)損失”函數(shù)，用來(lái)區(qū)分礦石和廢石。與每種加工類(lèi)型d(d=1，2，……D，從最低等級(jí)到最高等級(jí)排序)相關(guān)的實(shí)際經(jīng)濟(jì)損失可以用以下等式計(jì)算：

(1)

從式(1)可以看出，如果塊ijk正確選擇加工類(lèi)型，那么經(jīng)濟(jì)損失為零。在實(shí)踐中，礦塊是未知的，它將用累積分布函數(shù)來(lái)表示。一個(gè)較實(shí)際的方法是使用條件模擬技術(shù)，它能夠?qū)崿F(xiàn)一定數(shù)量同等概率的塊級(jí)。考慮到這一點(diǎn)，根據(jù)每一種加工處理的概率分布和平均品位，對(duì)每一個(gè)選擇d的預(yù)期經(jīng)濟(jì)損失(expected economic loss，EEL)進(jìn)行計(jì)算，其具體描述如下所示：

(2)

礦塊ijk的最優(yōu)加工類(lèi)型是具有最小EEL的d，如：

(3)

2.2 作為整數(shù)問(wèn)題的公式

根據(jù)上述定義和假設(shè)，建立了整數(shù)決策變量形式的開(kāi)采順序數(shù)學(xué)規(guī)劃模型[11]，并在此基礎(chǔ)上確定了特定塊的開(kāi)采時(shí)期及其目的地。事實(shí)上，該模型可以同時(shí)優(yōu)化礦塊開(kāi)采順序和邊界品位。如前所述，模型的目標(biāo)函數(shù)可以用數(shù)學(xué)形式表示如下：

(4)

?t，

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

約束條件(5)、(6)將送去銑削物料的平均品位限制在某一值上。約束(7)強(qiáng)制只在一個(gè)時(shí)期內(nèi)刪除礦塊。約束(8)、(9)確保銑削能力保持不變。這些上限和下限是保證礦石順利供應(yīng)所必需的。約束(10)、(11)與每個(gè)時(shí)期實(shí)際可用的設(shè)備容量相關(guān)。約束(12)是各時(shí)期各礦塊基于Y的邊坡限制。

該模型提供了一種評(píng)估可選策略的工具，可作為長(zhǎng)期生產(chǎn)調(diào)度可行性研究的一部分。因此，由此產(chǎn)生的邊界品位有助于風(fēng)險(xiǎn)量化決策過(guò)程。

提出的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型方法步驟如下。

(1)該模型的基礎(chǔ)條件為一個(gè)三維塊模型，并完成了露天最終境界圈定。

(2)在每個(gè)開(kāi)采時(shí)期開(kāi)始時(shí)，包括采礦和加工階段能力、采礦成本和加工類(lèi)型成本以及當(dāng)前金屬價(jià)格等參數(shù)已知。

(3)使用序貫高斯模擬得到了若干概率相同的礦塊模型的實(shí)現(xiàn)。

(4)為每個(gè)加工類(lèi)型提供每個(gè)塊的經(jīng)濟(jì)損失矩陣，并隨后計(jì)算每個(gè)可選d的EEL。

(5)構(gòu)建混合整數(shù)規(guī)劃模型，以便根據(jù)指定的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)每個(gè)時(shí)期內(nèi)的礦塊進(jìn)行最優(yōu)選擇。

3 應(yīng)用實(shí)例

在本節(jié)中，我們?cè)谡鎸?shí)的采礦區(qū)實(shí)現(xiàn)和測(cè)試了提出的模型，以確保礦塊開(kāi)采順序的最優(yōu)性和邊界品位優(yōu)化。一個(gè)金礦把它的礦化產(chǎn)品送到4個(gè)目的地：廢料堆、廢石堆浸、礦物堆浸或銑削。這4個(gè)類(lèi)型的特性列于表1中(黃金價(jià)格以10 $/g為例)。首先，利用序貫高斯模擬方法，產(chǎn)生了礦體金品位的一百個(gè)等概率實(shí)現(xiàn)。給定塊的模擬結(jié)果如表2所示。

表1 金礦床各礦化塊分類(lèi)特征Table 1 Classification characteristics of mineralized blocks in gold deposits

表2 金礦床某給定塊的模擬結(jié)果Table 2 Simulation results of a given block of gold deposits

表3 礦塊分類(lèi)的經(jīng)濟(jì)損失結(jié)果Table 3 Economic loss results of ore block classification

例如，假設(shè)塊ijk的一個(gè)正確采礦目的地是廢石堆浸(d=3)，但卻被錯(cuò)誤地送到廢料堆(d′=2)，那么由于這個(gè)造成的經(jīng)濟(jì)損失評(píng)估可以從式(1)計(jì)算得到，如：

-[(10-0.5)·1.5·0.45-3.5]

=2.81.

(12)

表3顯示了d和d′其他值的經(jīng)濟(jì)損失結(jié)果。如果塊ijk選擇的分類(lèi)是d=2，那么由錯(cuò)誤分類(lèi)導(dǎo)致的預(yù)期經(jīng)濟(jì)損失可以從式(2)得到，如：

+1.362×0.2+14.375×0.17

=2.81.

(13)

根據(jù)表3，最佳預(yù)期經(jīng)濟(jì)損失是1.69，因此，這個(gè)塊的最佳目的地是d=3，這意味著最好將此塊發(fā)送到礦物堆浸。

在開(kāi)采順序問(wèn)題中，各時(shí)期中每塊的開(kāi)采都取決于該時(shí)期的經(jīng)濟(jì)價(jià)值。另一方面，由于時(shí)間和價(jià)格的變化，塊的經(jīng)濟(jì)價(jià)值隨時(shí)間而變化，因此，一個(gè)時(shí)期的最優(yōu)礦塊分類(lèi)可能與其他時(shí)期的最優(yōu)礦塊分類(lèi)不同。相應(yīng)地，時(shí)期t塊ijk的損失函數(shù)可由式(4)計(jì)算得到。由于經(jīng)營(yíng)需求，最小化的目標(biāo)函數(shù)受到式(5)～式(12)的約束。

由于優(yōu)化的迭代步驟既枯燥又耗時(shí)，因此開(kāi)發(fā)了一個(gè)Excel電子表格，以便于計(jì)算。輸入?yún)?shù)包括：每個(gè)塊的計(jì)數(shù)器特征，每個(gè)塊的噸位、礦石品位和含量，每個(gè)塊的預(yù)期經(jīng)濟(jì)損失。考慮模型中決策變量和與礦塊類(lèi)型相關(guān)的可用約束。我們的目標(biāo)是為5 a的礦山開(kāi)采作業(yè)，生成一個(gè)維持8%貼現(xiàn)率的時(shí)間表。

按照上一節(jié)中給出的模型步驟，并根據(jù)生產(chǎn)率和凈現(xiàn)值組合，可以得到最優(yōu)的邊界品位。表4顯示了黃金礦山的最優(yōu)邊界品位、相應(yīng)的生產(chǎn)率和NPV。

表4 黃金礦山的最優(yōu)邊界品位、相應(yīng)的生產(chǎn)率和NPVTable 4 Optimum border grade，corresponding productivity and NPV of gold mine

如表4所示，在1 a期間，堆浸礦石處理將金屬含量保持在1.96%到2.36%。這就說(shuō)明1.96%以下的材料被視為廢物并運(yùn)到垃圾堆中。盡管如此，它仍產(chǎn)生一個(gè)最優(yōu)凈現(xiàn)值。

4 結(jié) 論

本研究提出了一種基于露天礦二進(jìn)制整數(shù)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，能夠在考慮動(dòng)態(tài)邊界品位優(yōu)化的情況下優(yōu)化開(kāi)采順序，實(shí)現(xiàn)凈現(xiàn)值最大化。該模型能夠產(chǎn)生一個(gè)切實(shí)可行的加工類(lèi)型計(jì)劃表，在滿(mǎn)足系統(tǒng)限制的情況下最大限度地減少預(yù)期經(jīng)濟(jì)損失。雖然該模型以經(jīng)濟(jì)損失為目標(biāo)函數(shù)沒(méi)有直接最大化NPV，但是它提供了一個(gè)切實(shí)可行的凈現(xiàn)值(在同時(shí)考慮邊界品位優(yōu)化和開(kāi)采順序優(yōu)化情況下，該凈現(xiàn)值是最優(yōu)的)。該模型克服了傳統(tǒng)方法的局限性，減少了需要的變量數(shù)量，能夠在短時(shí)間內(nèi)處理可用變量和約束。案例研究的結(jié)果表明，該模型具有較好的靈活性，可以有效用于各種備選方案的評(píng)估，并確保最佳的資源利用率以及準(zhǔn)確的大型礦業(yè)投資決策。

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