Non-Kolmogorov湍流大氣中小尺度熱暈效應線性理論?

張鵬飛 喬春紅 馮曉星 黃童 李南 范承玉 王英儉

(中國科學院安徽光學精密機械研究所,大氣成分與光學重點實驗室,合肥 230031)

(2017年5月16日收到;2017年7月24日收到修改稿)

1 引 言

高能激光在大氣中傳輸,受到湍流效應及非線性熱暈效應的影響,嚴重限制了激光的傳輸質量.對于大氣湍流效應引起的光束抖動、漂移與擴展,使用自適應光學系統的實時補償可以明顯改善光束質量.然而對于非線性熱暈效應的相位補償,由于存在相位補償的正反饋機制[1,2],在一定條件下會嚴重限制自適應光學系統對熱暈效應的補償能力.

當光束直徑較小時,整束熱暈成為限制非線性熱暈效應相位補償的主要因素;但對于大口徑準直光束,當熱暈主要集中于近口徑位置時,整束熱暈效應變得不再明顯,媒質中不均勻源造成的光束振幅起伏和相位擾動成為影響高能激光湍流熱暈傳輸的主要因素.擾動在非線性熱暈效應的作用下逐漸放大,這種現象稱為受激熱瑞利散射(STRS)[1,2],在湍流介質中的放大現象也可以稱為湍流熱暈相互作用(TTBI)[3].當存在自適應光學系統補償時,由于自適應光學系統與主激光之間的正反饋作用,使得這些擾動增長速率高于TTBI或STRS的增長速率,這種現象稱為熱暈補償不穩定性(PCI)[4],這些小尺度擾動的發展程度最終確定了高能激光在大氣中的傳輸效率.

小尺度熱暈的研究主要集中于20世紀90年代,小尺度熱暈線性理論主要建立于90年代末期,Briggs[5],Karr[3,4,6?8],Chambers[1,2]和Viecelli[1,2]等是主要貢獻者.他們進行了大量的數值模擬及對比實驗[5,8?11],驗證了小尺度熱暈線性理論的正確性,但是這些研究主要針對Kolmogorov譜大氣湍流.實際的大氣湍流不總是符合Kolmogorov譜的[12?15],大量的實驗報道了湍流的non-Kolmogorov譜特征.激光在non-Kolmogorov湍流大氣中傳輸特性[16?19]的研究也已有較多的進展,但對于non-Kolmogorov湍流與熱暈效應相互作用的研究相對較少.本文對小尺度熱暈理論進行了推廣,使其能夠應用于non-Kolmogorov湍流大氣中.

2 理 論

在傍軸近似下,高能激光在大氣中的傳輸方程[1?3]可以表示為

式中?為光場函數,k為波矢,z為縱向坐標,n為折射率,Δ⊥為橫向拉普拉斯算符,t為時間變量,I為路徑上光強分布,V為大氣風速,?為梯度算符;ΓI=α|nT|/ρCP,α為吸收系數,ρ為空氣密度,CP空氣的定壓比熱容,nT為折射率隨溫度變化率.對方程(1)在拉氏、傅氏域求解可以得到

式中x為二維空域坐標,κ為二維頻域坐標,表示傳輸路徑上折射率擾動的初始分布,角標χ,?分別對應于對數振幅及相位.對應的時域中對數振幅及相位擾動的格林函數可以表示為[3,4,20?25]

式中,τ=4k2ΓII0t/κ2,jn為n階球貝塞爾函數.

在自適應光學系統閉環條件下,時域中對數振幅及相位擾動的格林函數[20?25]可以寫為

對非均勻路徑上TTBI開閉環的格林函數可以通過Wentzel-Kramers-Brillouin[4]近似進行推廣.利用自適應光學系統開環及閉環條件下的格林函數,對數振幅起伏及相位起伏的相關函數可以表示為

式中Nw=ΓIIkzt為熱暈半徑,表征一定時間內熱暈引起的相位畸變的程度,單位為rad.對于平臺光束,穩態時熱暈半徑Nw與熱畸變參數ND的關系為湍流折射率的相關函數可以表示為[26,27]

式中Φn為湍流折射率譜函數.將方程(6)代入方程(5),方程(5)可以化簡為

對于non-Kolmogorov湍流,譜函數[28?32]可以推廣為一般的形式:

式中A(α)=Γ(α?1)cos(απ/2)/(4π2);β(z)為湍流的廣義折射率結構常量,單位為m(3?α);κ0=2π/L0,κm=2π/l0,L0為湍流的外尺度,l0為湍流的內尺度,單位為m;α為湍流譜指數,當譜指數為11/3時對應于Kolmogorov湍流.為計算簡便,一般忽略湍流的內外尺度影響.

平面波廣義大氣相干長度可以表示為[31,32]

因此在忽略湍流內外尺度的條件下,對數振幅及相位起伏的結構函數可以表示為

光場的結構函數可以表示為

方程(12)是普遍適用的,只要確定了格林函數,那么光場的結構函數便確定了.下面對其分類討論.

1)純湍流效應下的結構函數

在僅考慮湍流效應的情況下,方程(3)和(4)可以得到簡化,在自適應光學系統開環條件下,

而在自適應光學系統閉環條件下

當自適應光學系統開環時,將自適應光學系統開環時的結構函數(13)代入方程(12),對應的結構函數可以表示為

這與文獻[31,32]中結構函數計算結果是一致的.

其中D0為發射系統孔徑,λ為激光波長,NF為光束菲涅耳數,L為傳輸路徑長度,NT為湍流菲涅耳數,κDM為變形鏡的截止頻率.一般認為變形鏡的截止頻率κDM與驅動器間距d之間滿足κDM=2π/2d[33,34].通常使用驅動器菲涅耳數來表征小尺度熱暈中自適應光學系統擾動源的尺度,其定義為Nd=d2/(λL)[33].

在均勻路徑上將(14)式代入(12)式經坐標變換得

2)湍流熱暈效應下的結構函數

同時考慮湍流、熱暈效應,在開環條件下,對于大菲涅耳數光束而言,Strehl比會很快趨于0,因此不予考慮.湍流熱暈效應閉環時,對數振幅起伏及相位起伏的結構函數可以將補償的格林函數(4)式代入(12)式進行求解,然而對補償后結構函數的積分進行數值計算時具有較強的奇異性,數值積分是比較復雜的.Enguehard和Hat fi eld[23,24]指出在驅動器菲涅耳數較大且熱暈半徑較低時,PCI對光束質量的影響變得不明顯,閉環的結構函數可以用開環的格林函數在頻率域濾波來實現.此方法容易得到解析的結果,因此,閉環的結構函數可以表示為

將方程(19)以ε進行Taylor展開,Strehl比可以表示為

當n+m＞1時,

至此,我們得到了平面波non-Kolmogorov湍流下補償后Strehl比的解析表達式.

Karr[4]指出,小尺度熱暈線性理論是可以認為是光在湍流熱暈中傳輸的Rotov近似.因此,與湍流中對數振幅起伏方差做類比,定義湍流熱暈中的對數振幅方差為

(22)式在忽略熱暈效應的影響時,令n=0,m=0,得到

對于Kolmogorov大氣湍流,令譜指數α=11/3,(23)式可以化簡為σ2χ=0.157N?5/6T.

但是,方程(20)僅為理想的平面波的表達式,對于有限孔徑的光束而言,由于風場渡越的作用,結構函數在孔徑的不同位置處對應的熱暈半徑Nw是不同的,因此對光束質量的影響也不同.在上風位置處光束質量較好,而在下風位置處光束質量較差.為了得到有限光束的Strehl比,使用Enguehard和Hat fi eld的方法[21],將光斑分成不同的小塊,這些小塊等效為不同熱暈半徑的無限平面波,利用這些小塊的Strehl比平均作為有限孔徑的Strehl比S,使用數學描述可以表示為

式中Sr為方程(20)計算結果,I0為初始位置處光強分布.

3 湍流譜對熱暈補償的影響分析

圖1給出了湍流菲涅耳數NT=20,不同湍流譜指數條件下,方程(24)計算的Strehl比隨熱畸變參數的變化.計算中主激光使用1.3μm波長,發射口徑1.8 m,均勻路徑傳輸2.5 km,驅動器菲涅耳數為2.94和15.74.從圖1可以看出:不同湍流譜下,隨著熱畸變參數的增加,補償效果逐漸變差;當湍流譜越接近3時,Strehl比下降越快補償效果越不理想,相反,當湍流譜指數逐漸接近于4時,Strehl比下降越慢,補償效果越好;在文中條件下,PCI不明顯時,使用較小的驅動器菲涅數的自適應光學系統有較好的補償效果.

圖1 (網刊彩色)相同廣義相干長度、不同湍流譜條件下Strehl比隨熱暈的變化關系 (a)Nd=3.94;(b)Nd=15.74Fig.1.(color online)The relationship between Strehl ratio and thermal distortion number under different turbulence spectrum index with same generalized atmospheric coherence diameter:(a)Nd=3.94;(b)Nd=15.74.

給定β=5.92×10?16m3?α為常量,除湍流強度外使用圖1中計算參數,圖2給出了不同湍流譜條件下,Strehl比隨熱畸變參數的關系.從圖2可以看出:與圖1結果類似,在不同湍流譜下,熱畸變參數的增加,補償效果變差;當湍流譜越接近3時,Strehl比下降越快,當湍流譜指數逐漸接近于4時,Strehl比下降越慢,補償效果越好;使用較小的驅動器菲涅數的自適應光學系統有較好的補償效果.但是與圖1不同的是在熱畸變較弱時自適應光學系統的補償效果隨譜指數有一個先減少后增大的過程,這是由于在β為常量時廣義大氣相干長度ρ0的非線性變化引起的.

圖2 (網刊彩色)相同折射率結構常量、不同湍流譜條件下Strehl比隨熱暈的變化關系 (a)Nd=3.94;(b)Nd=15.74Fig.2.(color online)The relationship between Strehl ratio and thermal distortion number under different turbulence spectrum index with same generalized index structure constant:(a)Nd=3.94;(b)Nd=15.74.

圖3給出了NT=20時,不同譜指數下理想平面波對數振幅起伏方差隨熱暈的增長情況.從圖3可以看出,湍流譜指數越接近3時,對數振幅起伏方差有越快的增長.這是圖1、圖2計算結果中湍流譜指數由4逐漸接近3時,Strehl比隨湍流熱畸變增加下降變快的原因.

圖3 (網刊彩色)NT=20時不同湍流譜條件下對數振幅起伏方差隨熱畸變參數的變化Fig.3.(color online)NT=20,variation of logarithmic amplitude fl uctuation variance with thermal distortion number under different turbulence conditions.

4 結 論

本文將小尺度熱暈理論推廣到non-Kolmogorov湍流大氣中,對高能激光的實際熱暈補償有重要的理論意義.從小尺度熱暈線性理論出發,在non-Kolmogorov譜的基礎上,得到了non-Kolmogorov譜湍流下熱暈相位補償的Strehl比表達式,分析了湍流譜對高能激光的相位補償的影響.湍流譜對湍流熱暈效應的相位補償有重要的影響.在相同的湍流菲涅耳數下,當譜指數越接近于3時補償效果越差,譜指數接近于4時補償效果越好;在相同湍流折射率結構常量的條件下,其補償效果變得復雜.無論在相同大氣相干長度條件下,還是在相同湍流折射率常量條件下,當譜指數接近于3時,Strehl比隨熱暈效應的增強而下降變快,當湍流譜指數逐漸接近于4時,Strehl比下降速度變慢,這是由于隨著湍流譜指數的增大,TTBI引起的對數振幅起伏增長變慢而造成的.

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