帶有Dzyaloshinski-Mariya相互作用的兩比特糾纏量子Otto熱機和量子Stirling熱機?

趙麗梅 張國鋒

(北京航空航天大學物理科學與核能工程學院,北京 100191)(2017年5月24日收到;2017年8月22日收到修改稿)

1 引 言

隨著量子信息科學的蓬勃發展,量子力學和熱力學的交叉領域逐漸引起了越來越多物理學家的關注[1,2].自從量子熱力學這一概念被Kieu首次提出以來,物理學者們在這一領域做了大量的研究工作,使得量子熱力學循環性能成為近年來研究的熱點[3,4].目前研究比較多的體系有自旋系統[5?27]、諧振子系統[28?31]二能級或多能級系統[32,33]以及腔量子電動力學系統[34,35]等.

Dzyaloshinski-Mariya(DM)相互作用[36,37]是一種具有反對稱的各向異性超交換相互作用,可用來解釋反鐵磁材料中的弱鐵磁性以及其他的新奇性質[38].近年來,人們也廣泛討論和研究了在各向異性交換作用下的海森伯模型,發現DM相互作用會對研究系統的性質產生重要的影響.例如,Zhang[39]探討了具有DM相互作用的兩個自旋各向異性系統糾纏量子熱機.Wang等[40]研究了具有DM相互作用的各向異性海森伯XXZ模型的熱糾纏等,這些研究工作都取得了豐富的成果.但是到目前為止,尚未見具體的DM相互作用對量子熱機影響的探究.

為了進一步豐富量子熱力學循環理論,本文以帶有DM相互作用的兩比特模型作為工作物質,構建一個四能級糾纏量子Otto熱機和量子Stirling熱機,通過保持其他參數不變,僅改變DM相互作用參數來研究DM相互作用對量子熱機的影響.而這種操作在具體的實際過程中也很容易實現[41,42],例如,Niu等[43]研究了當保持外磁場不變,只有粒子間的自旋耦合系數J發生變化的四能級量子Otto熱機.

通過數值計算,探究了循環過程中在不同的DM相互作用參數下對熱機的基本熱力學參數的影響,并且利用等值線圖描繪和分析了糾纏與熱量、功和機械效率之間的關系.

2 具有DM相互作用的量子Otto熱機模型

量子Otto熱機是以具有DM相互作用各向異性的兩比特海森伯模型為工作物質,其哈密頓量可寫為

式中J表示自旋耦合系數,反鐵磁性物質對應J＞0,鐵磁性物質對應J＜0,為了計算方便,本文只取J＞0;B是沿Z方向的連續外磁場;D表示DM相互作用矢量,σi(i=1,2)是泡利算符.為了簡便,我們只考慮D=Dz時的情況,此時的哈密頓量可化簡為

選|00〉,|11〉,|10〉,|01〉為基矢,則HDM的本征態為

其中θ=arctanD,相應的四個本征值為

當系統處于熱平衡態時,其狀態密度算符可寫為ρ=∑ipi|ψi〉〈ψi|. 其中,pi=exp(?βEi)/Z,配分函數Z=Tr[exp(?βEi)],β=1/(kBT).

圖1 (網刊彩色)當 T1=2,T2=1,J=1和B=4時,(a)QH,(b)QL,(c)W 和(d)η隨D1和D2變化的等值線圖Fig.1.(color online)Variations of heat transferred(a)QH,(b)QL,(c)net work input W and(d)the efficiency η of the QHE with variables D1and D2in isoline map for parameters T1=2,T2=1,J=1 and B=4.

量子Otto熱機循環由兩個量子等容過程和兩個量子絕熱過程構成,下面是量子Otto熱機循環的四個階段.

階段一:初始時,體系的四個本征態的概率為pi,DM耦合相互作用為D=D1,外部磁場B保持不變,將體系與溫度為TH的高溫熱源接觸,經過一段時間,達到熱力學平衡,在這個過程中系統本征能量Ei保持不變,體系的四個本征態的概率變為.在這個階段中,只有熱量的交換,不做功.

階段二:移除熱源,體系經歷一個量子絕熱過程,DM耦合作用從D1變到D2,這個過程要足夠緩慢,使得每個量子態的概率不變,依舊為,體系各本征能級Ei變為.因此在這個過程中,只有做功而無熱量的傳遞,指出要使該過程保持絕熱,耦合作用的變化需要滿足傳統的量子絕熱定理[16].

階段三:與第一階段相似,體系與溫度為TL的低溫熱源持續接觸,經過一段時間的耦合作用后達到熱平衡狀態,工作物質的每個態的占有概率由變為pi,體系各本征能級保持不變.在此過程中,由于占有概率的改變使體系與熱源之間存在熱傳遞,沒有做功.

圖2 (網刊彩色)當T1=2,T2=1,J=1和B=6時,(a)QH,(b)QL,(c)W 和(d)η隨D1和D2變化的等值線圖Fig.2.(color online)Variations of heat transferred(a)QH,(b)QL,(c)net work input W and(d)the efficiency η of the QHE with variables D1and D2in isoline map for parameters T1=2,T2=1,J=1 and B=6.

階段四:與第二階段類似,移除熱源,體系再次經歷量子絕熱過程,這一過程,DM耦合作用從D2變到D1,每個本征態的占有概率pi均保持不變,體系各本征能級由又回到了Ei.此過程中體系只做功,沒有熱量的交換.

根據上述過程,可以得到在階段一和階段三的兩個等容過程中,轉移的能量分別為

式中,QH＞0和QL＜0分別代表系統吸熱和放熱.因此整個循環的輸出功為

量子熱機的機械效率為

當T1=2,T2=1,J=1,磁場B分別為4和6時,我們給出了以D1,D2為變量的函數,通過數值分析,繪出了基本熱力學量QH,QL,W,η隨D1,D2變化的等值線圖(如圖1和圖2所示).

從圖1和圖2可以得到4個結論:1)DM相互作用不僅能夠提高系統的熱糾纏度,而且會對Otto熱機的基本量子熱力學量產生很大的影響,既能影響工作熱力學量的大小,也能影響其變化趨勢;2)當系統做正功時,滿足條件D1＜D2,這個結論也可以從(7)式中推理得到,當W＞0,有化簡后得到B/T1＜B/T2;3)當W＞0時,QH＞?QL＞0始終成立,且在不同的外磁場參數下該糾纏熱機機械效率都小于卡諾熱機的效率,因此熱力學第二定律始終成立;4)隨著外磁場B的增大,做功和效率的取值范圍也會越來越大.

3 具有DM相互作用的量子Stirling熱機

在本節中,考慮了同樣的耦合系統作為工作物質構建了量子Stirling循環.量子Stirling循環是經典Stirling循環的量子推廣,包括兩個量子等溫過程和兩個量子等容過程[44].該熱機的四個過程可以做如下表述.

階段一:是量子等溫過程.在該過程中,系統與處于TH的高溫熱源接觸.DM耦合作用緩慢的從D1變到D2,外部磁場B保持不變,并且在此過程中,系統與熱源在任何一個時刻都保持熱平衡.系統從高溫熱源吸熱為Q1.

階段二:是量子等容過程.在該過程中,DM耦合作用為D2保持不變,系統的溫度從TH減小到TL,該過程系統不對外做功,但釋放熱量為Q23.

階段三:是另外一個量子等溫過程.在該過程中,系統與溫度為TL的低溫熱源接觸,DM耦合作用從D2變到D1.系統的溫度保持不變.系統向低溫熱源釋放熱量(記為Q2).

階段四:是另一個量子等容過程.在該過程中,DM耦合作用為D1保持不變,系統吸收熱量(記為Q41),但不對外做功.整個系統循環過程如圖3所示.

圖3 (網刊彩色)量子Stirling熱機的D-U(DM作用:內能)Fig.3.(color online)Scheme illustration of a quantum Stirling heat engine cycle based on DM interaction-energy D-U diagram.

在兩個等容過程中,由于系統對外不做功,因此其熱傳遞等于內能U的改變.則該系統內能

從(9)式可以得到系統與回熱器之間的熱交換Q23和Q41分別為

兩個等溫過程中,系統與外界環境之間的熱交換為dQ=TdS,這里的S是工作物質的熵.則該系統熵為

代入到dQ=TdS中,得到在兩個等溫過程中系統從高溫熱源吸收的熱量以及向低溫熱源釋放的熱量Q1和Q2分別為

與量子Otto循環很不相同,量子Stirling循環可以使用回熱器.通過回熱器便可以使循環過程中的階段二釋放的熱量會在階段四中重新被系統吸收,從而達到改善熱機循環的性能的目的.典理想氣體為工作物質的循環而言,系統達到最佳回熱的條件是Q23+Q41=0.然而,以量子系統為工作物質的循環卻并非如此.事實上,對于量子循環而言,系統與回熱器在兩個等容過程中的凈熱傳遞量需要滿足:ΔQ=Q23+Q41,因此系統在整個循環過程中,從高溫熱源(溫度為T1)吸收的熱量和從低溫熱源(溫度為T2)釋放的熱量為

(13)式中,如果ΔQ＜0,δ=0;ΔQ＞0,δ=1;(14)式中,如果ΔQ＞0,δ=0;ΔQ＜0,δ=1.以這些熱交換為基礎,根據熱力學第一定律可以得出系統對外做功為

W＞0代表系統對外界做功.量子熱機的機械效率為

令T1=2,T2=1,J=1,B=4,通過數值軟件,就可以繪制出量子Stirling熱機在整個循環過程中ΔQ不同情況下的基本熱力學量QH,QL,W,η隨D1,D2的變化的等值線圖,結果如圖4–圖6所示.

從所示的等值線圖中可以得出3個結論:1)DM相互作用會對量子Stirling循環熱機的基本量子熱力學產生重要影響;2)當W＞0時,QH＞?QL＞0,滿足條件D1＜D2,這個結論也可以從(14)式中推理得到,最終化簡后得到B/T1＜B/T2;3)在量子Stirling熱機循環中,熱機由于回熱器的使用,其循環效率甚至會超過Carnot效率,熱力學第二定律在整個循環中都始終成立.

圖4 (網刊彩色)在Q23+Q41＞0情況下,T1=2,T2=1,J=1和 B=4時,(a)QH,(b)QL,(c)W 和 (d)η隨D1和D2變化的等值線圖Fig.4.(color online)In the case of Q23+Q41＞0,variations of heat transferred(a)QH,(b)QL,(c)net work input W and(d)the efficiency η of the QHE with variables D1and D2in isoline map for parameters T1=2,T2=1,J=1 and B=4.

圖5 (網刊彩色)在Q23+Q41=0情況下,T1=2,T2=1,J=1和B=4時,(a)QH,(b)QL,(c)W 和 (d)η隨D1和D2變化的等值線圖Fig.5.(color online)In the case of Q23+Q41=0,variations of heat transferred(a)QH,(b)QL,(c)net work input W and(d)the efficiency η of the QHE with variables D1and D2in isoline map for parameters T1=2,T2=1,J=1 and B=4.

4 結 論

以含有DM相互作用的兩比特模型為工作物質構建了一個糾纏量子熱機.分別介紹了兩種不同的量子熱機模型:量子Otto熱機和量子Stirling熱機.通過保持其他參量不變,只有DM相互作用發生改變,利用數值運算,分析出了熱機循環中DM相互作用與熱傳遞、做功以及效率等熱力學量之間的關系.結果表明:DM相互作用對兩種熱機的基本熱力學量都會產生重要影響;發現量子Otto熱機的機械效率始終小于卡諾熱機的效率,但是量子Stirling熱機的循環效率大于量子Otto熱機,甚至可以超過Carnot效率.在這兩個糾纏體系中,熱力學第二定律都依然成立.

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