數理統計和頻譜分析的TIADC誤差校正方法

楊擴軍，孔祥偉，施佳麗，葉 芃

(1. 電子科技大學自動化工程學院 成都 611731；2. 武漢第二船舶設計研究所 武漢 430205；3. 四川建筑職業技術學院信息工程系 成都 610399)

電子測試儀器、寬帶通信和雷達等電子系統對高速數據采集系統提出了越來越高的要求。采樣率作為數字示波器領域一個最核心的指標之一，直接決定了示波器的檔次與應用場合。然而由于集成電路工藝的限制，在高速ADC方面國內外差距較大，這極大限制了國內以ADC為核心的高速數據采集系統的發展，從而制約了高檔儀器、通信及雷達等系統的進步。因此，研究為提高實時采樣率而采用的多片ADC并行時間交替結構(即TIADC結構)意義重大，對于打破國外技術封鎖與壟斷具有十分重要的現實意義。但是多片ADC之間失配帶來的增益誤差、偏置誤差和時間誤差卻限制了TIADC系統的性能,因此對于各個誤差的校正是TIADC系統中非常重要的研究內容。

關于TIADC的誤差校正，大量文獻對此進行了研究，并提出了若干誤差估計與校正的方法。文獻[1-3]提出校正誤差的自適應校正方法，但是這種校正方法需要多次迭代計算，運算量大，不利于工程實現；文獻[4-10]通過各種濾波器(如Farrow、Lagrange)進行校正，雖然可以達到的精度較高，但是濾波器的設計普遍復雜度較高；文獻[11]利用基于正弦擬合的TIADC誤差校正方法，該方法實現較簡單實用性較強，但是偏置誤差校正精度不高。

本文提出的數理統計誤差校正方法用于TIADC的偏置誤差校正，頻譜分析的方法用于增益和時間誤差的校正。以某個通道作為基準，對各個子ADC采樣的數據進行數理統計，排除偶然因素帶來的偏離很大的量化點，得到各個子ADC的偏置誤差，根據誤差的估計值得到相應的校正值。為了提高校正精度，提出了一種二次校正方法，使校正結果精度更高。而頻譜分析的方法是利用FFT對子ADC采樣數據進行頻譜分析，通過對特定頻點上的幅度、相位計算得到相應的增益和時間誤差估計值，進而得到相應的增益、時間誤差校正值，該方法實現簡單，工程應用性極強，且精度高。

1 TIADC并行采集系統誤差建模分析

圖1所示為TIADC系統誤差模型，圖中，M為子ADC的個數，m表示通道索引號。Gm、Om分別代表ADCm的增益、偏置，如果以ADC0為參考通道，那么Gm、Om與G0、O0間的偏差就是增益與偏置誤差。由時間交替采樣原理可得，理想情況下ADCm的采樣時刻為：

式中，Ts為整個TIADC系統的采樣周期，對應的采樣率為fs。考慮到存在的時間誤差ΔTm(代表實際采樣時刻與理想采樣時刻之間的偏差)，則實際的采樣時刻是tm-ΔTm。

圖1 TIADC系統誤差模型

由式(1)及圖1可得存在誤差時ADCm的量化輸出為：

由模擬信號xa(t)與其采樣序列x(n)=xa(t)|t=nTs=xa(nTs)頻域之間的關系：

以及DTFT的線性性質可以得到式(2)存在誤差時ADCm的量化輸出的DTFT變換為：

式中，ω為對應子ADC的MTs采樣周期的數字頻率。即ω0=Ω0MTs，根據奈奎斯特采樣定理，輸入信號的最高頻率為fs/2。那么Ω＞|πfs|時，Xa(jΩ)=0。所以式(4)可以改寫為：

若xa(t)=Asin(Ω0t)=0，它的初相為0，則ADC0的采樣點的初相也為0。把輸入信號的傅里葉變換Xa(jΩ)=Aπ(δ(Ω-Ω0)-δ(Ω+Ω0))/j 帶入式(5)，得到ADCm在輸入正弦信號時候的輸出頻譜為：

對式(6)令ω0=Ω0MTs，得到ω0處的帶誤差的輸出頻譜為：

如果Ω0＜πfs/M，即輸入信號使單個子ADC也滿足奈奎斯特采樣定理，則式(7)進一步化簡為：

從式(8)可以得到Gm、ΔTm反應在ω0處的幅度、相位上，那么通過ω0處的幅度、相位信息可以得到ADCm的增益時間誤差的估計值。TIADC系統的時間誤差如圖2所示。

圖2 TIADC系統的時間誤差

2 算法驗證硬件平臺簡介

算法驗證平臺中采用M=4片采樣率為1.25 GS/s的子ADC進行前端并行逐次采樣，并通過后端拼合的技術使整個系統的等效采樣率達到5 GS/s。子ADC有相應的偏置、增益、相位控制器用于進行相應的調整，這些控制器采用SPI串行協議通過在相應寄存器寫入不同的控制字的方式來進行調節。而如何根據TIADC系統中的誤差來調節偏置、增益、相位控制器是本文研究的關鍵。

圖3 5 GS/s TIADC系統原理框圖

整個5 GS/s TIADC系統的原理框圖如圖3所示。采用的是e2v公司的8 bit ev8aq165，該芯片內部集成的4片1.25 GS/s采樣率的子ADC構成了采樣率fs為5 GS/s的系統，采用ADC+FPGA+DSP的架構。在FPGA中可以方便快速的作FFT運算，迅速實時地獲得頻譜分析數據。它的偏置、增益、相位調節寄存器的調節范圍是0～0x3ff，默認控制字Default CtrWord是0x200。偏置的調節范圍是±20LSB，發送0x200(默認值)表示偏置調整量為0，大于0x200表示偏置變小，每個步進為0.039LSB，控制字變化約25才使增益變化1LSB，這也對校正方法的精度提出了很高的要求。增益的調節范圍是±10%，每個步進是0.02%，發送0x200(默認值)表示增益調整量為0，大于0x200表示增益調整量變大。時間誤差的調節體現在相位控制字上，相位調節寄存器的調節范圍是±15ps，相應的每個步進是30 fs。發送0x200(默認值)表示相位調整量為0，大于0x200表示相位調整量變大。所有的誤差都是在默認控制字DefaultCtrWord為0x200基礎上校正。

3 數理統計的偏置誤差校正方法

3.1 偏置誤差的估計

由式(2)，如果輸入信號xa(t)為一定值，如xa(t)=0，則ADCm的量化輸出為：

即輸入為0時ADCm的量化輸出是ADCm的偏置Om。以ADC0作為參考，則Om與O0之差就是偏置誤差。

求Om最大的障礙是隨機噪聲的影響，隨機噪聲會使量化值在一個范圍內上下波動。圖4是對量化值的數理統計，可以看出，隨機噪聲使個別量化值偏離中心值較遠，它們的頻數遠小于統計的總點數，工程上認為小于10倍就是遠小于。本文算法的統計總點數N設置為2 000，認為頻數小于N/20的點數是偶然因素的影響，這里采取直接剔除的濾波方式，圖4中將量化值為124、125、130和131直接剔除。

圖4 對量化值的數理統計

對于其他的點，采用加權平均的方式來消除隨機噪聲的影響，得到ADCm偏置的公式為：

式中，i表示ADCm的量化值；pi表示i出現的頻數。

3.2 偏置誤差的校正

得到ADCm的偏置Om后要對ADCm發送相應的控制字，進行偏置誤差的校正。根據前面的介紹，控制是在默認控制字DefaultCtrWord為0x200的基礎上調節，步進stepoffset為0.039，則校正的控制字為：

在一些特殊情況中，ADC可能沒有偏置調節控制器，這時仍然利用式(10)求出各個子ADC的偏置，然后通過數字校正的方法在ADCm的量化輸出值上減(Om-O0)來校正偏置誤差。

3.3 偏置誤差的二次校正

實際校正中發現，采用數理統計方法能較好地校正TIADC的偏置誤差，但是僅僅一次校正不能將誤差降為最低，一次校正后仍然存在誤差，并且通過對一次校正后的量化數據作FFT，在相應的頻點仍然存在偏置誤差帶來的誤差譜，這將在后面給出詳細結果。這是由于實際的ADC器件不能夠做到完全的控制均勻。如同樣是發送控制字的變化為85，如果當前控制器的起點不同，如一個是400，一個是800，那么實際系統中偏置的變化量不完全相等。尤其是對偏置誤差本來就較大的TIADC系統這種影響更加嚴重。

本文提出了一種對于偏置誤差的二次校正算法，即對一次校正的結果進一步進行二次校正，用以消除誤差校正系統控制不均勻的問題。第二次校正方法跟一次校正方法基本相同，不同的是初始ADC控制字為第一次校正的結果。整體來看，第一次校正是一個粗校正，第二次校正是一個精校正。所以整個偏置誤差的校正包括一次校正、二次校正兩次校正過程，兩次校正后誤差校正精度非常高。

4 頻譜分析的增益誤差、時間誤差校正方法

4.1 增益、時間誤差的估計

由式(8)可知，如果輸入模擬角頻率為Ω0的單一正弦信號到TIADC的各個子ADC，單個ADCm在Ω0處的輸出頻譜與Gm成比例關系，因此通過Ω0處的頻譜幅度來估算Gm的值。同時，設定ADC0的采樣點對應初相為0的采樣時刻，那么ADCm在Ω0處頻譜的相位是mΩ0Ts-Ω0ΔTm-π/2。進而可以得到增益誤差和時間誤差的具體表達式為：

式中，Amplitudem、Amplitude0分別表示ADCm、ADC0在Ω0處的頻譜的幅度值。

式中，phaseADCm、phaseADC0為子ADCm、ADC0輸出頻譜在輸入頻率Ω0處的相位。

由于FFT系統的精度及截斷誤差等的影響，對ADCm的采樣數據作頻譜分析時，每次得到的頻譜幅度會有差異，需要進行相應的數字處理。本文采用做10次FFT，去掉兩個最大、最小值求平均的方法得到最終的幅值。

4.2 增益誤差和時間誤差的校正

誤差的校正是發送校正控制字到ADCm，根據前面的介紹，增益的控制字步進stepgain是0.02%，則發送的增益校正控制字為：

另外，由于增益誤差體現在Ω0頻點的幅度上，不存在誤差時，各個子ADC在Ω0頻點上的幅度應相等。也可以通過連續發送控制字的方式來校正，如果發送的控制字最終使ADCm在Ω0頻點上的幅度值與ADC0的相應幅度值相等，則校正完畢。

在ADC沒有增益控制器的特殊情況中，利用式(12)求出增益誤差，通過數字校正的方法來校正增益誤差。

接下來要校正時間誤差，為了能更準確地估計和校正時間誤差，需要先保證TIADC系統已經按照前面的方法校正完偏置和增益誤差。首先根據式(13)得到ADCm的時間誤差估計，然后對時間誤差發送相應的控制字來校正誤差。一個控制字的步進stepphase是30 fs，則發送的校正控制字為：

同樣，由于時間誤差ΔTm為0時，ADCm與ADC0輸出頻譜在Ω0處的相位差為定值mΩ0Ts，也可以通過連續發送控制字的校正方式，直到ADCm與ADC0在Ω0處的相位差為定值mΩ0Ts，校正完畢。

在ADC沒有相位控制器的特殊情況中，利用式(13)求出時間誤差，通過數字校正的方法設計分數延遲濾波器來校正時間誤差。分數延遲濾波器已有大量研究，限于篇幅和文章的重點，不再討論。

5 實驗驗證及結果分析

5.1 偏置誤差的驗證及結果分析

將TIADC系統輸入量設置為0，對TIADC系統進行校正，對校正前后的信號作FFT。由文獻[12]可知，偏置誤差在nfs/M處存在誤差譜，而增益與時間誤差在nfs/M±fin處存在誤差譜，為了更清楚直觀地觀察到偏置誤差造成的影響，在作FFT時同樣對TIADC系統的輸入設置為0，這樣增益和時間誤差的影響不會顯示在頻譜上，即只觀察偏置誤差的影響。圖5為校正前的信號頻譜圖、偏置誤差進行一次校正后的頻譜圖和偏置誤差進行二次校正后的頻譜圖，圖中縱坐標單位為dB，是對FFT的結果X(k)，k=0,1,2,…,N-1的幅度值取對數后的值。

圖5 校正前、偏置誤差一次校正后、偏置誤差二次校正后的頻譜圖

校正前的信號頻譜如圖5a所示，可以看到，在1.25、2.5 GHz頻點上存在明顯的失真，這正是由于偏置帶來的誤差譜。

圖5b為對偏置誤差進行一次校正后的頻譜圖，從圖中可以看出通過一次校正后頻譜得到了明顯改善，在1.25 GHz頻點上幅度由原來的73.023 6 dB下降到了52.084 5 dB，2.5 GHz頻點上的幅度由64.562 9 dB下降到了28.299 5 dB。可見，一次校正取得了較好的效果。

圖5c為對偏置誤差進行二次校正后的頻譜圖，從圖中可以看出經過二次校正后頻譜得到了進一步的改善，1.25、2.5 GHz頻點處偏置誤差大大減小，沒有明顯的誤差譜，幅度與噪底基本一致。

再來觀察校正前后示波器輸入為0時實際波形的變化，圖6a為校正前示波器輸入為0時的波形情況，可以看出波形由于4片子ADC偏置誤差較大，導致波形拼合顯示出來極其糟糕。

圖6 校正前、一次校正后、二次校正后的信號波形

圖6b為一次校正之后的信號波形，看到波形效果有了明顯的改善，但是仔細觀察也會發現在波形邊緣仍然存在部分由于偏置帶來的誤差。圖6c為二次校正后的信號波形，可以看出波形平整，僅出現個別隨機噪聲的影響，顯示效果非常好。

下面將本文數理統計的偏置校正方法與文獻[11]中的正弦擬合算法做一個對比。

圖7是正弦擬合算法校正后的結果，通過對比發現，正弦擬合算法雖然能夠較好地校正偏置誤差，但是校正結果遠不如本文算法，甚至比一次校正的結果還要略差。在1.25 GHz處誤差譜是56.110 0 dB，2.5 GHz處的誤差譜也有45.153 6 dB。可見，數理統計的偏置誤差校正方法能夠很好地校正偏置誤差且精度高、效果非常好。

圖7 正弦擬合算法校正后的結果

5.2 增益和時間誤差的驗證及結果分析

將輸入信號設置為156.25 MHz，同時將ADC0作為參考通道，進行增益和時間誤差的校正，同樣通過對比校正前后頻譜說明本文算法的有效性。選擇156.25 MHz作為輸入信號的原因是，1.25 GS/s的子ADC剛好可以在輸入信號的一個周期內采集整數個點，并且作FFT時156.25 MHz是固定在FFT輸出序列的特定點上，這樣輸入信號的能量集中在FFT的一個點上，使幅度相位信息更加準確。

由文獻[12]可知，增益和時間誤差在nfs/M±fin處存在誤差譜，可知輸入156.25 MHz的情況下在1.09、1.40、2.34 GHz頻點出現誤差譜。

為了清楚觀察增益與時間誤差，TIADC系統首先較正好偏置。圖8a是校正前的誤差頻譜，可以看出在1.09、1.40、2.34 GHz頻點均出現了明顯的誤差譜，這是增益和時間的誤差造成的。此時系統的SNR為38.212 dB(已經對偏置誤差進行校正)，對應有效位數為6.05 bit。

圖8b是用頻譜分析的誤差校正算法校正后的頻譜圖，可以看到誤差譜得到明顯改善。校正后的SNR提高到了41.019 4 dB，有效位數提高到了6.52 bit。可見，頻譜分析的誤差校正方法能夠起到很好的作用，大大降低誤差譜，提高了TIADC系統的SNR和有效位數。

同時將本文算法與文獻[11]中的正弦擬合算法進行對比。為了僅對比增益與時間誤差，同樣將偏置誤差先校正完畢，并且兩種算法輸入相同頻率相同幅度的正弦信號進行校正。圖9是用正弦擬合算法校正后的信號頻譜，可以看出正弦擬合算法同樣使誤差頻譜得到明顯改善，在nfs/M±fin頻點處兩種校正方法結果基本一致。使用校正后系統的SNR變為40.794 4 dB，與文獻[11]中的結果基本一致。

圖8 增益時間誤差校正前、后頻譜

圖9 用正弦擬合算法校正后的信號頻譜

通過分析結果可看出頻譜分析的增益校正方法能夠很好地校正TIADC的增益和時間誤差，由于可以采用FPGA的FFT IP core，實現較簡單，且精度高。

6 結 束 語

本文的最大特點是從工程出發，講究實用性。數理統計的偏置誤差校正方法實現簡單，精度很高，明顯優于常用的的正弦擬合算法，并且它的校正不需外接信號，結合數理統計的數據分析優勢能很好估計誤差值。該方法可以排除控制不完全線性的二次誤差校正方法，誤差譜能降到與噪底一致。缺點是受ADC偏置誤差控制器的精度制約，二次校正的優勢在偏置控制器精度高時才能充分體現出來。頻譜分析的增益和時間誤差校正算法原理簡單，實現較容易，校正精度達到了正弦擬合算法的精度。該算法雖然有做FFT來獲取子ADC頻譜信息的缺點，而FFT需要比較長的時間，這樣降低了時效性，但是可以通過FPGA內部的IP核來最大限度地簡化設計難度、減少運算時間，將會成為工程中實用的增益和時間誤差校正方法。

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