最速下降曲線實驗

徐雷

摘要：物理學是一門以實驗為基礎的學科。物理實驗是科學實驗的先驅，體現了大多數科學實驗的共性，而實驗教學則是培養學生的一個非常重要的環節，它不僅可以培養學生的基本實驗技能和素養，還可以培養其科學思維和創新意識，提高學生的綜合能力和創新能力。本文從理論模型出發，采用變分法推導出最速下降曲線的解并設計實驗予以驗證。

關鍵詞：最速下降曲線；變分法；擺線

中圖分類號：O369 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）04-0190-02

一、前言

最速下降曲線問題在歷史上具有顯赫聲名。其問題的內容為：設有A、B兩點通過一條曲線連接，讓一個質點沿著此曲線由A點下滑到B點，那么質點沿著什么樣的曲線下滑所需的時間最短（下滑過程中摩擦力和阻力均不考慮）？這就是著名的最速下降曲線問題（也叫擺線問題）[1，2]。在很早以前，牛頓和伽利略都研究過這個問題，他們通過大量的實驗研究發現，質點從A點滑到B點耗時最短的軌跡曲線是圓弧線。直到1696年Johann Bernoulli采用了一種非常巧妙的方法解決了最速下降曲線問題，并就此問題向全歐洲發出挑戰。而到1697年時，牛頓、萊布尼茨以及Jakob Bernoulli（Johann Bernoulli的哥哥）都同時給出了此問題的解。Jakob Bernoulli所提出的方法比較麻煩但是更具有普適性，也因此引發了他們兄弟倆長達數年的爭執。直到1744年，Leonhard Euler提出了曲線極值問題的微分方程并建立變分法，這一問題才畫上圓滿句號[3，4]。

二、實驗原理

最速下降曲線是求解泛函極值問題，可以通過變分法求解此類問題。如圖1所示，質點從A點滑到B點，并選取坐標系。設質點滑過的曲線方程為y=y（x），質點的質量為m，重力加速度為g，質點的下滑的速度為v（t），其中t為質點下滑的時間。根據能量守恒定律可知，在下滑過程中的任意一點P（x，y）都有：

三、實驗設計

驗證重力作用下的最速下降曲線。采用三個光滑小鋼球做實驗：一個沿著直線槽下滑，一個沿著圓弧槽下滑，另外一個沿著擺線槽下滑。滑槽均采用硬質金屬或者鋼化玻璃等材料做成，可以避免實驗過程中滑槽變形[6]。

在一個木塊兩端固定兩塊高低不一樣的木塊，然后將三個滑槽并排固定在木質框架上，則三個滑槽的起點（終點）的位置高度相同，并且起點高于終點，如圖2所示。將小鋼球分別沿著三個不同的滑槽由靜止開始同時釋放，記錄它們滑落到終點所需要的時間，比較時間長短，從而找出哪個滑槽下落用時最短。為使小球下落時間差增大易于測量和觀察，在設計實驗裝置時，應確保起點與終點之間的水平和垂直距離盡量大一些，水平距離大于80cm，垂直距離大于60cm。實驗過程中要將整個實驗裝置固定在桌面上，并保存模板底部處于水平狀態，這樣可以避免小球滑落過程中裝置移動。同時，由于采用硬質金屬或者鋼化玻璃滑槽可以有效避免滑槽變型帶來的實驗誤差。除此之外，滑槽在生產加工過程中應盡量使其內表面光滑，這樣可以有效地減小摩擦力，從而減小摩擦力帶來的實驗誤差。

四、結束語

本實驗首先從理論模型出發建立微分方程，然后用變分法求解方程，最終給出最速下降曲線方程的解，并根據方程的解來設計實驗進行驗證。通過本實驗可以培養學生根據實際問題建立微分方程模型并求解的能力。學會根據實際問題提出猜想，然后通過動手設計實驗進行驗證并得出合理結論的能力和思維方式，為今后處理實際問題奠定基礎。

參考文獻：

[1]塞蒙斯G F.微分方程——附應用及歷史注記[M].張理京，譯.北京：人民教育出版社，1981.

[2]王東.應用斯涅爾公式求解最速下降曲線問題研究[J].科技資訊，2008，（8）：168-188.

[3]斯哥爾茲ЛЭ.變分法[M].李世晉，譯.北京：高等教育出版社，1958.

[4]尤慶明.最速降線求解和摩擦力影響的研究[J].河南理工大學學報，2005，24（1）：83-88.

[5]唐旭清，翁昊年.變分法在最優控制問題中的一個應用[J].江南大學學報，2003，2（5）：521-525.

[6]江興方，高惠濱，郭小建，吳志賢.物理演示實驗[M].南京大學出版社，2011.endprint